高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專(zhuān)用）第13講 二項(xiàng)式定理（教師卷）

第13講二項(xiàng)式定理【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1二項(xiàng)式定理概念公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理.二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).通項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，是展開(kāi)式中的第k＋1項(xiàng)，可記做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).二項(xiàng)展開(kāi)式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式.知識(shí)點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)是一組僅與二項(xiàng)式的冪指數(shù)n有關(guān)的n＋1個(gè)組合數(shù)，與a，b無(wú)關(guān).其性質(zhì)如下：(1)對(duì)稱(chēng)性：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)__得到.直線r＝eq\f(n,2)將函數(shù)f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的圖象分成對(duì)稱(chēng)的兩部分，它是圖象的對(duì)稱(chēng)軸.(2)增減性與最大值：當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減少.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開(kāi)式中間一項(xiàng)，即Teq\f(n,2)＋1的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開(kāi)式中間兩項(xiàng)T與Teq\f(n＋1,2)＋1的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.知識(shí)點(diǎn)3楊輝三角楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)組成的三角形數(shù)表(如下)，是我國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大成就，教材設(shè)專(zhuān)題“探究”，這里列出一些最基本的結(jié)論.(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1，2，3，4，…，第三層(含1，3)是三角形數(shù)列1，3，6，10，15，….(2)對(duì)稱(chēng)性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某個(gè)1開(kāi)始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜左(右)下方的那個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)4賦值法求和①“賦值法”普遍運(yùn)用于恒等式，是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題比較常用的方法.對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可；對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一展開(kāi)式的特定項(xiàng)（一）二項(xiàng)展開(kāi)式1．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┰诙?xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是_______.【答案】60【分析】首先寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，并求指定項(xiàng)的值，代入求常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是，當(dāng)時(shí)，.故答案為602．（2023秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．40 D．80【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)論.【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得：，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為：，故選：D3．（2023秋·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）若的二項(xiàng)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，則n=___________.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式中一共有項(xiàng)，所以，解得；故答案為：4．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校┮阎恼归_(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的展開(kāi)通項(xiàng)公式，從而得到關(guān)于的方程，解之即可求得展開(kāi)式中的第3項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，由性質(zhì)得，故，所以展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為.故選：D.5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知二項(xiàng)式，求展開(kāi)式中的：(1)第6項(xiàng)；(2)第3項(xiàng)的系數(shù)；(3)含的項(xiàng)；(4)常數(shù)項(xiàng)．【答案】(1)；(2)9；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)二項(xiàng)式寫(xiě)出其展開(kāi)式通項(xiàng)，進(jìn)而求對(duì)應(yīng)項(xiàng)或系數(shù)即可.（1）通項(xiàng)公式..（2）因?yàn)椋缘?項(xiàng)的系數(shù)為9；（3）由知：，所以；（4）由知：，所以，即常數(shù)項(xiàng)為．6．（2023·高二單元測(cè)試）若展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值是______．【答案】4【分析】寫(xiě)出通項(xiàng)公式，由常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為0得出n與k的關(guān)系式，即可進(jìn)一步得出的最小值【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)通項(xiàng)公式可得，要含有常數(shù)項(xiàng)且最小，則，即，∵，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，為4.故答案為：4（二）兩個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式7．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式定理將展開(kāi)，然后得出，即可求出的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式定理：觀察可知的系數(shù)為.故選：B.8．（2023春·河南南陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】因?yàn)?，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，∵，∴，解得，故選：B.9．（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．40 B．60 C．80 D．120【答案】A【分析】先確定的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再由求解.【詳解】解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，而，令，得，令，得，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：A．10．（2023春·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校瑒t_________.【答案】－20【分析】根據(jù)乘法分配律以及二項(xiàng)式展開(kāi)式的特征即可求解.【詳解】由，要得，則，所以，故答案為：11．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二項(xiàng)式定理求出的展開(kāi)式通項(xiàng)，再利用多項(xiàng)式相乘進(jìn)行求解.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，因?yàn)?，在中，令，得，在中，令，得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.（三）三項(xiàng)展開(kāi)式12．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中，共有多少項(xiàng)？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【分析】按照展開(kāi)式項(xiàng)含有字母?jìng)€(gè)數(shù)分類(lèi)，即可求出項(xiàng)數(shù).【詳解】解：當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)只含有1個(gè)字母時(shí)，有3項(xiàng)，當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)只含有2個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)含有3個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),所以的展開(kāi)式共有45項(xiàng)；故選：A.13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（

）A．120 B．-120 C．60 D．30【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，求得的第3項(xiàng)為，繼續(xù)求得的展開(kāi)式第3項(xiàng)為，即可求得的系數(shù).【詳解】，展開(kāi)式的第項(xiàng)為，令，可得第3項(xiàng)為，的展開(kāi)式的第項(xiàng)為，令，可得第3項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．故選：A．14．（2023秋·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．-6【答案】C【分析】，然后按照二項(xiàng)式展開(kāi)可得結(jié)論．【詳解】解：，可知含項(xiàng)的系數(shù)是．故選：C．15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______．【答案】28【分析】將化為，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，再利用的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，,令，可得，,故展開(kāi)式中的系數(shù)為,故答案為:2816．（2023秋·山東濟(jì)寧·高二鄒城市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．480 C． D．240【答案】A【分析】將看成是6個(gè)相乘，要得到分析每個(gè)因式中所取的項(xiàng)情況.【詳解】看成是6個(gè)相乘，要得到.分以下情況:6個(gè)因式中，2個(gè)因式取，1個(gè)因式取，3個(gè)因式取，此時(shí)的系數(shù)，所以的系數(shù)為.故選：A17．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）展開(kāi)式中的系數(shù)是___________.【答案】【分析】結(jié)合乘法運(yùn)算以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.【詳解】的展開(kāi)式中，含有的項(xiàng)為：，所以展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：18．（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┑恼归_(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)_____；展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）【答案】

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－200【分析】第一空，根據(jù)賦值法，令，即可求得答案；第二空，將變?yōu)?，展開(kāi)后可利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式確定答案.【詳解】令，則，即的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32；∵，由此可得和中會(huì)出現(xiàn)含項(xiàng)，所以含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】51【分析】令可得所有項(xiàng)的系數(shù)和，求出，再利用組合的知識(shí)確定含的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】令，則，解得，由組合知識(shí)可得，的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，，，故展開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：51．考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和（一）二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果，則______.【答案】127【分析】依題意可得，計(jì)算，然后計(jì)算即可.【詳解】由題可知:，所以所以，由，所以結(jié)果為127故答案為：12721．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式可得,,…,,又由組合數(shù)的性質(zhì)有，可得，再結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為即可得解.【詳解】解：由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，可得,,…,,由組合數(shù)的性質(zhì)，，則，又因?yàn)椋?，故選B.22．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝中學(xué)?？计谀┤舳?xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．25 B． C．15 D．【答案】A【分析】先由賦值法令求得系數(shù)和，進(jìn)而解出，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，解得，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，則，即常數(shù)項(xiàng)為25.故選：A.23．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二統(tǒng)考期末）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）觀察等式，令即可求出的值；（2）根據(jù)題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出的值，再相加即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以令?（2）由二項(xiàng)式定理，得因?yàn)樗裕裕?4．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知．求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用賦值法即可得解；（2）先由二項(xiàng)式定理判斷系數(shù)的正負(fù)情況，再由賦值法求得奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之差，從而得解；（3）利用導(dǎo)數(shù)及賦值法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以令，得，即，令，得，所?（2）因?yàn)榈亩?xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)為，所以，，故，令，得，即，又因?yàn)?，所?（3）令，則，且，令，則，且，所以.25．（2023秋·廣東江門(mén)·高二校聯(lián)考期中）已知，則（

）A．224 B． C． D．448【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)的特點(diǎn)，應(yīng)將其變形成項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式形式，再借助通項(xiàng)求解系數(shù).【詳解】令，得，則可化為：，二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為：所以故選：D.26．（2023秋·河北滄州·高二滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先令，求出，再令，求出，從而可求得結(jié)果，（2）對(duì)兩求導(dǎo)后，再令可求得結(jié)果(1)令，可得，令，可得所以；所以；(2)因?yàn)椋瑒t，令，則27．【多選】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等式右邊的系數(shù)為1求出；B選項(xiàng)，求出中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，求出；CD選項(xiàng)，賦值法求解各項(xiàng)系數(shù)和與，從而判斷CD選項(xiàng)【詳解】因?yàn)榈仁接疫叺南禂?shù)為1，所以，A正確；中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，所以，B錯(cuò)誤；中，令得：，所以，令得：，所以，C錯(cuò)誤；中，令得：，即，而，所以，，D正確.故選：AD28．【多選】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二?？茧A段練習(xí)）若，則正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合賦值法逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】依題意，令，，A不正確；，，則，B正確；顯然，，則，C正確；，D不正確.故選：BC29．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992，則下列結(jié)論正確的為（

）A．展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16B．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)C．展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)D．展開(kāi)式有理項(xiàng)為第四項(xiàng)、第六項(xiàng)【答案】AC【分析】根據(jù)題意求得，再結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】令，可得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992，可得，解得，所以展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以A正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性知第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以B錯(cuò)誤；由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，其中令，解得，所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，所以C正確；當(dāng)或時(shí)，展開(kāi)式為有理項(xiàng)，即第三項(xiàng)、第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以D錯(cuò)誤，故選：AC30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，下列命題中，不正確的是（

）A．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為B．展開(kāi)式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為C．展開(kāi)式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理及性質(zhì)，結(jié)合賦值法逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，二項(xiàng)式展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，A正確；對(duì)于B，令，則，，所以展開(kāi)式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為，B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，展開(kāi)式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，，D正確.故選：B（二）二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題31．（2023秋·浙江溫州·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期末）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的第項(xiàng)系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，則，分析求解即可.【詳解】由的展開(kāi)式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可知，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式中的第項(xiàng)為，系數(shù)為，故選：B．32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，僅有第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)確定，然后利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求得有理項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，僅有第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，且，符合要求，所以有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別為5，11，17項(xiàng).故選：C33．（2023秋·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992．求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】，【分析】由可得各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和，結(jié)合題意可得，解得，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，再結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)求相應(yīng)項(xiàng)．【詳解】解：令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，又∵展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，∴，即．∵，展開(kāi)式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，∴，．34．（2023秋·廣東深圳·高二校考期中）已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)6；(2).【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）求出，根據(jù)展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即可知道二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，即可求解.(1)由題意的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得；(2)因?yàn)?，且展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，即.35．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二湘府中學(xué)校考階段練習(xí)）若二項(xiàng)式展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】由已知可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)即可.【詳解】由展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為時(shí)的值，所以，故，則展開(kāi)式通項(xiàng)為，其二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以，則.故答案為：考點(diǎn)三整除和余數(shù)問(wèn)題36．（2023秋·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是____________.【答案】0或7【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，，又，分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論余數(shù)即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，，又所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以9的余數(shù)為0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，除以9的余數(shù)為7.故答案為：0或737．（2023秋·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【分析】用二項(xiàng)式定理將原式化為，進(jìn)而化為，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉槠鏀?shù)，則上式=.所以除以13的余數(shù)是10.故選：C.38．（2023·高二單元測(cè)試）已知．求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被64整除．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由題意得，因?yàn)闉榕紨?shù)，設(shè)可表示出，即，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，即可證明結(jié)論.【詳解】證明：,因?yàn)闉榕紨?shù)，設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，（*）,當(dāng)時(shí)，，顯然能被64整除；當(dāng)時(shí)，（*）式能被64整除,所以為偶數(shù)時(shí)，能被64整除．【【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．15 D．20【答案】B【分析】首先利用求出，然后再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為：.故選：B.2．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）在的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得，再令特殊值即可求得答案.【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和是16，所以，解得，所以，令得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為．故選：A3．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的性質(zhì)可知，其中，則原等式等價(jià)于，對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，再令，則可求出答案.【詳解】由題意知：，，，其中，所以，對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得：，令，得：，故選：C.二、多選題4．（2023春·江蘇宿遷·高二沭陽(yáng)如東中學(xué)?？计谀?duì)任意實(shí)數(shù)x，有則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由二項(xiàng)式定理，采用賦值法判斷選項(xiàng)ACD，轉(zhuǎn)化法求指定項(xiàng)的系數(shù)判斷選項(xiàng)B.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，D選項(xiàng)正確；，由二項(xiàng)式定理，，B選項(xiàng)正確.故選：BCD5．（2023秋·云南曲靖·高二?？计谀┤?，則（

）A．B．C．展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0D．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為【答案】ACD【分析】由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法即可求解.【詳解】解：選項(xiàng)A：令，可得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：令，可得，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：令，可得展開(kāi)式中