高二數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）第13講 二項式定理（教師卷）

第13講二項式定理【【考點目錄】【【知識梳理】知識點1二項式定理概念公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項式定理.二項式系數(shù)各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數(shù).通項Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項展開式的通項，是展開式中的第k＋1項，可記做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).二項展開式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二項展開式.知識點2二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)是一組僅與二項式的冪指數(shù)n有關的n＋1個組合數(shù)，與a，b無關.其性質如下：(1)對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.事實上，這一性質可直接由Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)__得到.直線r＝eq\f(n,2)將函數(shù)f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸.(2)增減性與最大值：當k<eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；當k>eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減少.如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項，即Teq\f(n,2)＋1的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項T與Teq\f(n＋1,2)＋1的二項式系數(shù)相等且最大.(3)各二項式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.知識點3楊輝三角楊輝三角是二項式系數(shù)組成的三角形數(shù)表(如下)，是我國數(shù)學史上一個偉大成就，教材設專題“探究”，這里列出一些最基本的結論.(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1，2，3，4，…，第三層(含1，3)是三角形數(shù)列1，3，6，10，15，….(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜左(右)下方的那個數(shù).知識點4賦值法求和①“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關問題比較常用的方法.對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【【考點剖析】考點一展開式的特定項（一）二項展開式1．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實驗學校?？计谥校┰诙椪归_式中，常數(shù)項是_______.【答案】60【分析】首先寫出二項展開式的通項公式，并求指定項的值，代入求常數(shù)項.【詳解】展開式的通項公式是，當時，.故答案為602．（2023秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）二項式展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C．40 D．80【答案】D【分析】根據二項式的通項公式即可得出結論.【詳解】由二項式展開式的通項公式得：，令，得，所以常數(shù)項為：，故選：D3．（2023秋·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）若的二項展開式共有8項，則n=___________.【答案】【分析】根據二項式的性質計算可得；【詳解】解：二項式展開式中一共有項，所以，解得；故答案為：4．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校┮阎恼归_式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的第3項為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項式定理求得的展開通項公式，從而得到關于的方程，解之即可求得展開式中的第3項.【詳解】因為的展開通項為，所以的展開式的第項的二項式系數(shù)為，因為的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，所以，由性質得，故，所以展開式中的第3項為.故選：D.5．（2023·高二課時練習）已知二項式，求展開式中的：(1)第6項；(2)第3項的系數(shù)；(3)含的項；(4)常數(shù)項．【答案】(1)；(2)9；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）根據二項式寫出其展開式通項，進而求對應項或系數(shù)即可.（1）通項公式..（2）因為，所以第3項的系數(shù)為9；（3）由知：，所以；（4）由知：，所以，即常數(shù)項為．6．（2023·高二單元測試）若展開式中含有常數(shù)項，則的最小值是______．【答案】4【分析】寫出通項公式，由常數(shù)項指數(shù)為0得出n與k的關系式，即可進一步得出的最小值【詳解】由二項式展開項通項公式可得，要含有常數(shù)項且最小，則，即，∵，則當時，取得最小值，為4.故答案為：4（二）兩個多項式積的展開式7．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學?？茧A段練習）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項式定理將展開，然后得出，即可求出的系數(shù).【詳解】由二項式定理：觀察可知的系數(shù)為.故選：B.8．（2023春·河南南陽·高二校考階段練習）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】因為，結合二項展開的通項公式運算求解.【詳解】的展開式的通項公式為，，∵，∴，解得，故選：B.9．（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考期末）的展開式中的常數(shù)項為（

）A．40 B．60 C．80 D．120【答案】A【分析】先確定的展開式的通項公式，再由求解.【詳解】解：的展開式的通項公式為，而，令，得，令，得，所以的展開式中的常數(shù)項為．故選：A．10．（2023春·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學校考期中），則_________.【答案】－20【分析】根據乘法分配律以及二項式展開式的特征即可求解.【詳解】由，要得，則，所以，故答案為：11．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二校聯(lián)考期末）的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二項式定理求出的展開式通項，再利用多項式相乘進行求解.【詳解】的展開式的通項為，因為，在中，令，得，在中，令，得，所以展開式中項的系數(shù)為.故選：B.（三）三項展開式12．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習）的展開式中，共有多少項？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【分析】按照展開式項含有字母個數(shù)分類，即可求出項數(shù).【詳解】解：當展開式的項只含有1個字母時，有3項，當展開式的項只含有2個字母時，有項,當展開式的項含有3個字母時，有項,所以的展開式共有45項；故選：A.13．（2023·高二課時練習）的展開式中，的系數(shù)是（

）A．120 B．-120 C．60 D．30【答案】A【分析】利用二項式定理展開，求得的第3項為，繼續(xù)求得的展開式第3項為，即可求得的系數(shù).【詳解】，展開式的第項為，令，可得第3項為，的展開式的第項為，令，可得第3項為，所以的展開式中，的系數(shù)是．故選：A．14．（2023秋·廣東佛山·高二?？茧A段練習）在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．-6【答案】C【分析】，然后按照二項式展開可得結論．【詳解】解：，可知含項的系數(shù)是．故選：C．15．（2023·高二課時練習）在的展開式中的系數(shù)為________．【答案】28【分析】將化為，寫出其通項公式，再利用的通項公式，即可求得答案.【詳解】的展開式的通項為，的展開式的通項為，,令，可得，,故展開式中的系數(shù)為,故答案為:2816．（2023秋·山東濟寧·高二鄒城市第二中學?？茧A段練習）在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A． B．480 C． D．240【答案】A【分析】將看成是6個相乘，要得到分析每個因式中所取的項情況.【詳解】看成是6個相乘，要得到.分以下情況:6個因式中，2個因式取，1個因式取，3個因式取，此時的系數(shù)，所以的系數(shù)為.故選：A17．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習）展開式中的系數(shù)是___________.【答案】【分析】結合乘法運算以及組合數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】的展開式中，含有的項為：，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：18．（2023秋·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考期中）的展開式中各項系數(shù)之和為______；展開式中含項的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】

32

－200【分析】第一空，根據賦值法，令，即可求得答案；第二空，將變?yōu)?，展開后可利用二項展開式的通項公式確定答案.【詳解】令，則，即的展開式中各項系數(shù)之和為32；∵，由此可得和中會出現(xiàn)含項，所以含項的系數(shù)為．故答案為：19．（2023·高二課時練習）的展開式的所有項的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)為______.【答案】51【分析】令可得所有項的系數(shù)和，求出，再利用組合的知識確定含的項的系數(shù)即可.【詳解】令，則，解得，由組合知識可得，的展開式中含的項為，，，故展開式中的系數(shù)為．故答案為：51．考點二二項式系數(shù)的性質與各項的和（一）二項式系數(shù)和與系數(shù)和20．（2023·高二課時練習）如果，則______.【答案】127【分析】依題意可得，計算，然后計算即可.【詳解】由題可知:，所以所以，由，所以結果為127故答案為：12721．（2023·高二課時練習）已知，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項式展開式通項公式可得,,…,,又由組合數(shù)的性質有，可得，再結合二項式展開式二項式系數(shù)和為即可得解.【詳解】解：由二項式展開式通項公式，可得,,…,,由組合數(shù)的性質，，則，又因為，所以，故選B.22．（2023秋·江蘇揚州·高二揚州市江都區(qū)丁溝中學?？计谀┤舳検降恼归_式中所有項的系數(shù)和為1024，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．25 B． C．15 D．【答案】A【分析】先由賦值法令求得系數(shù)和，進而解出，再由二項展開式的通項求出常數(shù)項即可.【詳解】令可得展開式中所有項的系數(shù)和為，解得，則二項式的展開式的通項為，令，解得，則，即常數(shù)項為25.故選：A.23．（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）觀察等式，令即可求出的值；（2）根據題意利用二項展開式的通項公式，求出的值，再相加即可.【詳解】解：（1）因為，所以令得.（2）由二項式定理，得因為所以．所以．24．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學校考期末）已知．求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用賦值法即可得解；（2）先由二項式定理判斷系數(shù)的正負情況，再由賦值法求得奇數(shù)項與偶數(shù)項系數(shù)之差，從而得解；（3）利用導數(shù)及賦值法即可得解.【詳解】（1）因為，所以令，得，即，令，得，所以.（2）因為的二項式展開通項為，所以，，故，令，得，即，又因為，所以.（3）令，則，且，令，則，且，所以.25．（2023秋·廣東江門·高二校聯(lián)考期中）已知，則（

）A．224 B． C． D．448【答案】D【分析】根據二項展開式的項的特點，應將其變形成項所對應的二項式形式，再借助通項求解系數(shù).【詳解】令，得，則可化為：，二項展開式通項為：所以故選：D.26．（2023秋·河北滄州·高二滄縣中學校考階段練習）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先令，求出，再令，求出，從而可求得結果，（2）對兩求導后，再令可求得結果(1)令，可得，令，可得所以；所以；(2)因為，則，令，則27．【多選】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）若，則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】A選項，根據等式右邊的系數(shù)為1求出；B選項，求出中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，求出；CD選項，賦值法求解各項系數(shù)和與，從而判斷CD選項【詳解】因為等式右邊的系數(shù)為1，所以，A正確；中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，所以，B錯誤；中，令得：，所以，令得：，所以，C錯誤；中，令得：，即，而，所以，，D正確.故選：AD28．【多選】（2023秋·重慶萬州·高二校考階段練習）若，則正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】利用二項式定理，結合賦值法逐項分析計算作答.【詳解】依題意，令，，A不正確；，，則，B正確；顯然，，則，C正確；，D不正確.故選：BC29．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知展開式中，各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，則下列結論正確的為（

）A．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16B．展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第三項C．展開式中沒有常數(shù)項D．展開式有理項為第四項、第六項【答案】AC【分析】根據題意求得，再結合二項式系數(shù)的性質，以及展開式的通項公式，逐項判定，即可求解.【詳解】令，可得二項式的展開式的各項系數(shù)和為，因為各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，可得，解得，所以展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，所以A正確；由二項式系數(shù)的單調性知第三項、第四項的二項式系數(shù)最大，所以B錯誤；由二項展開式的通項公式為，其中令，解得，所以展開式中沒有常數(shù)項，所以C正確；當或時，展開式為有理項，即第三項、第六項的二項式系數(shù)最大，所以D錯誤，故選：AC30．（2023·高二課時練習）已知，下列命題中，不正確的是（

）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用二項式定理及性質，結合賦值法逐項分析、計算判斷作答.【詳解】對于A，二項式展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為，A正確；對于B，令，則，，所以展開式中所有奇次項系數(shù)的和為，B不正確；對于C，由選項B知，展開式中所有偶次項系數(shù)的和為，C正確；對于D，由選項B知，，，D正確.故選：B（二）二項式系數(shù)的最值問題31．（2023秋·浙江溫州·高二溫州中學校聯(lián)考期末）在二項式的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的第項系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意得，則，分析求解即可.【詳解】由的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大可知，則的展開式的通項為，則展開式中的第項為，系數(shù)為，故選：B．32．（2023·高二課時練習）已知在二項式的展開式中，僅有第9項的二項式系數(shù)最大，則展開式中，有理項的項數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由二項式系數(shù)最大項確定，然后利用二項式展開式的通項公式即可求得有理項.【詳解】二項式的展開式中，僅有第9項的二項式系數(shù)最大，則，當時，為有理項，且，符合要求，所以有理項有3項，分別為5，11，17項.故選：C33．（2023秋·全國·高二專題練習）已知的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992．求展開式中二項式系數(shù)最大的項．【答案】，【分析】由可得各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)和，結合題意可得，解得，則二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項，再結合二項展開式通項求相應項．【詳解】解：令，則展開式中各項系數(shù)和為，又∵展開式中二項式系數(shù)和為，∴，即．∵，展開式共6項，二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項，∴，．34．（2023秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎恼归_式的二項式系數(shù)和為64(1)求n的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項．【答案】(1)6；(2).【分析】（1）利用二項式系數(shù)的性質求解即可；（2）由（1）求出，根據展開式中間項的二項式系數(shù)最大，即可知道二項式系數(shù)最大的項為，即可求解.(1)由題意的展開式的二項式系數(shù)和為64，即，解得；(2)因為，且展開式中間項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)最大的項為，即.35．（2023春·湖南長沙·高二湘府中學?？茧A段練習）若二項式展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為______．【答案】【分析】由已知可得，根據二項式定理求二項式系數(shù)最大的項即可.【詳解】由展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為時的值，所以，故，則展開式通項為，其二項式系數(shù)最大項為第4項，所以，則.故答案為：考點三整除和余數(shù)問題36．（2023秋·山東·高二校聯(lián)考階段練習）若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是____________.【答案】0或7【解析】根據二項式定理可知，，又，分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論余數(shù)即可.【詳解】根據二項式定理可知，，又所以當n為偶數(shù)時，除以9的余數(shù)為0；當n為奇數(shù)時，除以9的余數(shù)為7.故答案為：0或737．（2023秋·廣東佛山·高二南海中學?？茧A段練習）設為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【分析】用二項式定理將原式化為，進而化為，再用二項式定理展開，即可得到答案.【詳解】因為為奇數(shù)，則上式=.所以除以13的余數(shù)是10.故選：C.38．（2023·高二單元測試）已知．求證：當為偶數(shù)時，能被64整除．【答案】證明見解析【分析】由題意得，因為為偶數(shù)，設可表示出，即，利用二項式定理展開，即可證明結論.【詳解】證明：,因為為偶數(shù)，設，所以當時，（*）,當時，，顯然能被64整除；當時，（*）式能被64整除,所以為偶數(shù)時，能被64整除．【【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知二項式展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C．15 D．20【答案】B【分析】首先利用求出，然后再利用二項式展開式的通項即可求解.【詳解】根據題意可得，解得，則展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為：.故選：B.2．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中各項系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】先根據二項式系數(shù)和公式得，再令特殊值即可求得答案.【詳解】解：因為二項式系數(shù)的和是16，所以，解得，所以，令得展開式中各項系數(shù)的和為．故選：A3．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項式展開式的性質可知，其中，則原等式等價于，對等式兩邊求導，再令，則可求出答案.【詳解】由題意知：，，，其中，所以，對上式兩邊求導得：，令，得：，故選：C.二、多選題4．（2023春·江蘇宿遷·高二沭陽如東中學校考期末）對任意實數(shù)x，有則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由二項式定理，采用賦值法判斷選項ACD，轉化法求指定項的系數(shù)判斷選項B.【詳解】由，當時，，，A選項錯誤；當時，，即，C選項正確；當時，，即，D選項正確；，由二項式定理，，B選項正確.故選：BCD5．（2023秋·云南曲靖·高二?？计谀┤?，則（

）A．B．C．展開式中的各項系數(shù)之和為0D．展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為【答案】ACD【分析】由二項式定理及二項式系數(shù)的性質，結合賦值法即可求解.【詳解】解：選項A：令，可得，故選項A正確；選項B：令，可得，所以，故選項B錯誤；選項C：令，可得展開式中