地球物理計(jì)算方法秋一章插值

地球物理計(jì)算方法

地球物理與信息技術(shù)學(xué)院課堂情況反饋復(fù)習(xí)問(wèn)題（插值問(wèn)題）數(shù)值方法（拉格朗日插值）誤差分析（余項(xiàng)定理）上節(jié)課講了些什么？拉格朗日插值：?jiǎn)栴}：方法：復(fù)習(xí)已知函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,..xn，上的函數(shù)值y0,y1,y2,..yn，求任意一點(diǎn)x’的函數(shù)值f(x’),構(gòu)造一個(gè)n次代數(shù)多項(xiàng)式pn(x)函數(shù)來(lái)替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)y=f(x),則用pn(x’)為函數(shù)值f(x’),的近似值。設(shè)構(gòu)造pn(x)即是確定n+1個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)拉格朗日插值：方法：存在性復(fù)習(xí)當(dāng)n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,x1,x2,..xn互不相等，則總能夠構(gòu)造唯一的n次多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)，使pn(x)也過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn)，即pn(x)存在且唯一。拉格朗日插值：方法：線性插值復(fù)習(xí)插值基函數(shù)：插值系數(shù)：

y0，

y1拉格朗日插值：方法：拋物線插值復(fù)習(xí)拉格朗日插值：方法：n次插值復(fù)習(xí)拉格朗日插值：誤差分析：余項(xiàng)定理復(fù)習(xí)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且n+1階可導(dǎo)，則總存在，使得：其中：第1章插值方法1.5牛頓插值公式拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)造簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)緊湊內(nèi)容引入已知:函數(shù)在n+1個(gè)點(diǎn)的值(x0,y0),(x1,y1),….(xn,yn),求:當(dāng)x=x’時(shí)，y’的值。拉格朗日插值的缺點(diǎn)：無(wú)承襲性牛頓插值：具有承襲性的插值公式若計(jì)算發(fā)現(xiàn)插值精度不夠，想增加插值節(jié)點(diǎn)，則所有插值基函數(shù)lk(x)都要重新計(jì)算。泰勒插值具有承襲性：線性插值的結(jié)果不精確，那么再加上一項(xiàng)，就變成了泰勒拋物插值。其中：插值系數(shù)：把多項(xiàng)式Pn(x)表示為如下一般形式：1.1承襲性的插值公式基函數(shù)：

待定系數(shù)ci確定？辦法：可由個(gè)插值條件確定依次遞推可得c3,c4……cn,為給出一般表達(dá)式，引進(jìn)差商的定義：因變量之差和自變量之差之比叫差商。

一階差商：

二階差商：(一階差商的差商）定義2.差商及其性質(zhì)n階差商：……零階差商：

f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xj,xk]-f[xi,xj]xk-xi一般的,可定義區(qū)間[xi,xi+1,…,xi+n]上的n階差商為

差商計(jì)算可列差商表如下：

差商表xi=1,2,3,4,5時(shí)，f(xi)=1,4,7,8,6，求四階差商：-1/3-1/61/24-2ABCD提交單選題2分21(1)差商與函數(shù)值的關(guān)系：函數(shù)f(x)

的n階差商f[x0,x1,…,xn

]可由函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xn)

的線性組合表示為：差商的性質(zhì)：(2)差商與它所含節(jié)點(diǎn)次序無(wú)關(guān)．-----------

對(duì)稱性

223、差商表示牛頓插值多項(xiàng)式思路：對(duì)于n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其樣本值，我們可以計(jì)算各階差商;根據(jù)差商的概念，把差商與牛頓多項(xiàng)式的插值系數(shù)ci聯(lián)系起來(lái)；牛頓插值多項(xiàng)式用差商表示;令：其中：牛頓插值公式余項(xiàng)（截?cái)嗾`差）25由插值多項(xiàng)式的唯一性可知：n次牛頓插值多項(xiàng)式與n次拉格朗日插值多項(xiàng)式完全相同，只是表達(dá)形式不同。故，拉格朗日余項(xiàng)定理與牛頓余項(xiàng)定理相同：性質(zhì)3n階差商和n階導(dǎo)數(shù)之間有下列關(guān)系則牛頓插值公式又可以寫為：各插值節(jié)點(diǎn)全部趨近于x0時(shí)，有：

泰勒插值是牛頓插值在極限條件下的特例。28牛頓插值公式特點(diǎn)：（1）承襲性：每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，即（2）利用差商表，計(jì)算多點(diǎn)插值，比拉格朗日插值公式計(jì)算方便。29例1：已知函數(shù)f(x)當(dāng)x=-2,-1,0,1時(shí)，其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4。求f(0.5)的值。解：根據(jù)已知點(diǎn)，填寫以下差商表：xiyi一階差商二階差商三階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x30流程圖：（了解）差分形式的插值公式（了解）：

當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，利用差分的概念，可使Newton插值多項(xiàng)式得到簡(jiǎn)化。定義（向前差分）設(shè)有等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0是步長(zhǎng)。記fi=f(xi)(i=0,1…,n)⊿fi=fi+1-fi稱為f(x)在點(diǎn)xi處的一階向前差分。⊿nfi=⊿n-1fi+1-⊿n-1fi稱為f(x)在點(diǎn)xi處的n階向前差分。規(guī)定fi=⊿0fi

為f(x)在點(diǎn)xi處的零階差分。定義(向后差分)設(shè)節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0

是步長(zhǎng)。記fi=f(xi)(i=0,1…,n)▽fi=fi-fi-1

稱為f(x)在點(diǎn)xi處的一階向后差分。▽nfi=▽n-1fi-▽n-1fi-1

稱為f(x)在點(diǎn)xi處的n階向后差分。規(guī)定fi=▽0fi

為f(x)在點(diǎn)xi處的零階差分。定義(中心差分)設(shè)節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0

是步長(zhǎng)。記fi+1/2=f(xi+1/2)

(i=0,1…,n)δfi=fi+1/2-fi-1/2

稱為f(x)在點(diǎn)xi處的一階中心差分。δnfi=δn-1fi+1/2-δn-1fi-1/2稱為f(x)在點(diǎn)xi處的n階中心差分。規(guī)定fi=δ0fi

為f(x)在點(diǎn)xi處的零階差分。33差分與差商的關(guān)系34Newton向前插分公式：Newton向后插分公式：以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是：拉格朗日插值與牛頓插值都是代數(shù)插值方法對(duì)于同一插值問(wèn)題，相同次數(shù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓插值多項(xiàng)式是相同的對(duì)于同一插值問(wèn)題，相同次數(shù)的拉格朗日插值基函數(shù)與牛頓插值基函數(shù)是相同的對(duì)于同一插值問(wèn)題，相同次數(shù)的拉格朗日插值與牛頓插值的截?cái)嗾`差是相同的ABCD提交多選題2分第1章插值方法1.6埃爾米特插值問(wèn)題已知:函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)的值x0,x1,x2,…xn,上的函數(shù)值y0,y1,….,yn,及其導(dǎo)數(shù)值y’0,y’1,….,y’n。求:當(dāng)x=x’時(shí)，y=f(x’)的值。1、pn(x)與f(x)在插值節(jié)點(diǎn)相等（插值的基本條件）2、在節(jié)點(diǎn)上