余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

大慶實驗中學(xué)

王曼鈴教學(xué)內(nèi)容價值余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，主要指解三角形在實際問題中的應(yīng)用.通過對實際問題的分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高學(xué)生分析和解決實際問題的能力.本節(jié)課是在學(xué)習了余弦定理、正弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應(yīng)用課，讓學(xué)生體會應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實際問題，因此本節(jié)課的學(xué)習具有理論聯(lián)系實際的重要作用.用數(shù)學(xué)建模的思想作支撐，以具體問題、具體分析作指導(dǎo)，既訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維，又讓學(xué)生在自主探究解決實際問題中感悟世界，引導(dǎo)學(xué)生遵守學(xué)術(shù)規(guī)范，樹立正確的人生觀.教學(xué)內(nèi)容內(nèi)涵教學(xué)內(nèi)容地位一、教學(xué)內(nèi)容分析課程目標幾何與代數(shù)應(yīng)用過程、價值數(shù)形結(jié)合思想體會單元目標平面向量及其應(yīng)用課堂教學(xué)目標正、余弦定理的應(yīng)用二、教學(xué)目標設(shè)置

課堂具體教學(xué)目標1.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的測量問題，加深對基礎(chǔ)知識的理解，增強基本活動經(jīng)驗；2.會用數(shù)學(xué)語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)中的測量問題，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想；3.會用多種方法解決實際測量問題，樹立嚴謹求實的科學(xué)精神，不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識，綜合提升合作交流的水平和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).實際操作與展示，自主總結(jié)與歸納.設(shè)置問題鏈、小組合作探究.教學(xué)手段重點：運用余弦定理和正弦定理解決實際問題.難點：如何從實際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型.重點難點三、教學(xué)重難點知識掌握情況:學(xué)生熟悉三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理，能夠根據(jù)已知條件解三角形；能力具備情況：掌握了高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想、應(yīng)用意識，可以獨立完成一些二次函數(shù)的應(yīng)用和建模問題，初步具備將現(xiàn)實條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力。四、學(xué)生學(xué)情分析1.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的測量問題，加深對基礎(chǔ)知識的理解，增強基本活動經(jīng)驗；2.會用數(shù)學(xué)語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)中的測量問題，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想；3.會用多種方法解決實際測量問題，樹立嚴謹求實的科學(xué)精神，不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識，綜合提升合作交流的水平和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).課前準備，協(xié)作探究學(xué)生主體，以學(xué)定教基于問題，目標明確及時反饋，數(shù)據(jù)分析五、教學(xué)策略分析課前任務(wù)布置，資源整理課后六、教學(xué)流程1、復(fù)習回顧，引出課題2、問題探究，成果展示3、體系架構(gòu)，突出本質(zhì)課中后測反饋，反思整理課前前測試題課前任務(wù)單課前導(dǎo)學(xué)資源【設(shè)計意圖】既可以讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，又可以了解學(xué)生的學(xué)情，為本節(jié)課的實際應(yīng)用做好充足的知識儲備.（一）復(fù)習回顧、引出課題方法：課堂提問課中【設(shè)計意圖】鞏固知識了解學(xué)情，為本節(jié)課做好充足的知識儲備.邊—距離角—方向1旗桿高度提出問題猜想構(gòu)建2對岸兩點距離變式深化建立模型3地月距離學(xué)以致用提升自我總結(jié)提升（二）問題探究，成果展示問題1.這個實際問題的已知條件是什么?要求解什么?問題2.如何用數(shù)學(xué)語言表達這個問題?【設(shè)計意圖】通過設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生將實際問題向數(shù)學(xué)問題進行轉(zhuǎn)化，為解決實際測量問題做出鋪墊．問題3.測量過程中需要用到哪些工具？【設(shè)計意圖】學(xué)生自主尋找需要測量到的工具，讓學(xué)生對生活中的測繪問題有個感官認識，同時激發(fā)學(xué)生的好奇心．問題4.請同學(xué)畫出示意圖.問題5.請簡單描述測量的過程，以及在測量過程中遇到的問題？問題6.以上問題是如何解決的？問題7.總結(jié)實際測量過程中需要注意哪些問題？任務(wù)一：如何測量學(xué)校旗桿的高度？1、提出問題，猜想建構(gòu)方法：構(gòu)建情境設(shè)置“問題鏈”問題1.這個實際問題的已知條件是什么?要求解什么?問題2.如何用數(shù)學(xué)語言表達這個問題?問題3.測量過程中需要用到哪些工具？問題4.請同學(xué)畫出示意圖.問題5.請簡單描述測量的過程，以及在測量過程中遇到的問題？問題6.以上問題是如何解決的？問題7.總結(jié)實際測量過程中需要注意哪些問題？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生對生活中的測繪問題產(chǎn)生感官認識，激發(fā)好奇心；通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生將實際問題向數(shù)學(xué)問題進行轉(zhuǎn)化．【設(shè)計意圖】教師合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生自主討論突破難點；學(xué)生在實踐中，從識別問題到表述問題，再到轉(zhuǎn)化問題，體現(xiàn)了學(xué)生分析和解決問題能力的層次性發(fā)展，符合學(xué)生的認知規(guī)律．第一小組展示任務(wù)一評價【突出】問題的發(fā)現(xiàn)與解決、實際測量的注意事項。【設(shè)計意圖】1.數(shù)據(jù)賦能、及時了解學(xué)生的知識理解水平；2.聯(lián)系實際，讓學(xué)生再次體會用余弦定理和正弦定理解決實際問題的過程，認識學(xué)習數(shù)學(xué)知識的意義；3.考察數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴謹求實的科學(xué)精神。概念規(guī)范、隨堂練習【設(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生分析情境Ⅱ中的問題與情境Ⅰ中的問題的異同點，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷一個由淺入深的發(fā)展過程；由解單個三角形上升到解多個三角形，再一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力；學(xué)生對比不同小組的解決方案，深刻體會從實際問題到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化過程，提高了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．任務(wù)二：尋找解決兩點不可到達問題的測量方案2、變式深化、建立模型問題1.哪些數(shù)據(jù)可以通過測量得到？問題2.請簡單描述測量的過程，用文字和公式寫出計算A、B兩點間的距離的步驟.問題3.在計算過程中可能遇到哪些問題？問題4.以上問題是如何解決的？問題5.如何比較多種測量方法的優(yōu)劣？【設(shè)計意圖】通過問題引導(dǎo)學(xué)生分析情境Ⅱ中的問題與情境Ⅰ中的問題的異同點，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷由淺入深的發(fā)展過程.方法：構(gòu)建情境設(shè)置“問題鏈”由解單個三角形上升到解多個三角形，再一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力；第二小組展示【設(shè)計意圖】由解單個三角形上升到解多個三角形，再一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。第三小組展示【設(shè)計意圖】學(xué)生對比不同小組的解決方案，深刻體會從實際問題到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化過程，提升了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等的核心素養(yǎng)．任務(wù)二評價【突出】1.測量方法優(yōu)劣的比較；2.基于現(xiàn)實背景，驗證模型、完善模型.由解單個三角形上升到解多個三角形，再一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力；3、歸納總結(jié)反思提煉【設(shè)計意圖】總結(jié)數(shù)學(xué)建模的步驟，形成完整思維體系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì).方法：課堂提問任務(wù)三：設(shè)計一個方案測算地月距離4、學(xué)以致用提升自我【設(shè)計意圖】增加實際問題測量難度，再次將學(xué)生引入到探究之中，切實提升學(xué)生的創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)建模能力，訓(xùn)練學(xué)生的思辨能力，將本節(jié)課的教學(xué)目標的落實推向極致.第四小組展示【設(shè)計意圖】既可以讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，又可以了解學(xué)生的學(xué)情，為本節(jié)課的實際應(yīng)用做好充足的知識儲備.【設(shè)計意圖】整體掌握本節(jié)課的學(xué)習內(nèi)容，明確數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識在建模過程中的體現(xiàn).方法：思維導(dǎo)圖（三）體系架構(gòu)、突出本質(zhì)【設(shè)計意圖】既可以讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，又可以了解學(xué)生的學(xué)情，為本節(jié)課的實際應(yīng)用做好充足的知識儲備.課后【設(shè)計意圖】對學(xué)生的掌握情況及時反饋，有助于教師及時調(diào)整下節(jié)課的授課內(nèi)容及方式.方法：pad發(fā)布【設(shè)計意圖