(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習3.6《利用導數(shù)證明不等式》(原卷版)

第第頁§3.6利用導數(shù)證明不等式題型一將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題例1已知函數(shù)g(x)＝x3＋ax2.(1)若函數(shù)g(x)在[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；(2)已知a>﹣1，x>0，求證：g(x)>x2lnx.教師備選已知函數(shù)f(x)＝1﹣eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)﹣bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個公共點是A(1,1)，且在點A處的切線互相垂直．(1)求a，b的值；(2)證明：當x≥1時，f(x)＋g(x)≥eq\f(2,x).思維升華待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當a>0時，證明：f(x)≥eq\f(2a－1,a).題型二將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值進行比較例2已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當a＝1時，證明：xf(x)<ex.教師備選已知函數(shù)f(x)＝ex2﹣xlnx．求證：當x>0時，f(x)<xex＋eq\f(1,e).思維升華若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標．本例中同時含lnx與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)＝elnx﹣ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當a＝e時，證明：xf(x)﹣ex＋2ex≤0.題型三適當放縮證明不等式例3已知函數(shù)f(x)＝ex.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)當x>﹣2時，求證：f(x)>ln(x＋2)．教師備選已知函數(shù)f(x)＝eq\f(xlnx,x＋m)，g(x)＝eq\f(x,ex)，且曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為x﹣2y＋n＝0.(1)求m，n的值；(2)證明：f(x)>2g(x)﹣1.思維升華導數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進行證明．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號．(2)lnx≤x﹣1，當且僅當x＝1時取等號．跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝aex﹣1﹣lnx﹣1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)證明：當a≥1時，f(x)≥0.課時精練1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x＋a)(a∈R)，曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為y＝eq\f(1,e).(1)求實數(shù)a的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當x>0時，f(x)≤x﹣1.2．已知f(x)＝xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx>eq\f(1,ex)﹣eq\f(2,ex)成立．3．已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；(2)