2024版高考物理一輪復(fù)習(xí)第四章曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力與航天第3講圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案新人教版

PAGE14-2024版高考物理一輪復(fù)習(xí)第四章曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力與航天第3講圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案新人教版第3講圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)1描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量及其相互關(guān)系1．描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量主要有線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速、向心加速度、向心力等，現(xiàn)比較如下表意義、方向公式、單位線速度(1)描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(v)(2)方向與半徑垂直，和圓周相切(1)v＝eq\f(Δl,Δt)＝eq\f(2πr,T)(2)國(guó)際單位：m/s角速度(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(ω)(2)中學(xué)不研究其方向(1)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)(2)國(guó)際單位：rad/s周期頻率和轉(zhuǎn)速(1)周期是物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間(T)(2)轉(zhuǎn)速是物體在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(n)(3)頻率(f)是物體在1s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(4)周期與頻率的關(guān)系為T＝eq\f(1,f)(1)T＝eq\f(2πr,v)；單位：s(2)n的單位r/s，r/min(3)f的國(guó)際單位：Hz向心加速度(1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)(2)方向指向圓心(1)an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝vω(2)國(guó)際單位：m/s2向心力(1)作用效果是產(chǎn)生向心加速度，只改變線速度的方向，不改變線速度的大小(2)方向指向圓心(1)Fn＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r(2)國(guó)際單位：N2．各物理量之間的相互關(guān)系(1)v＝ωr＝eq\f(2πr,T)＝2πrf。(2)an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝ωv＝eq\f(4π2r,T2)＝4π2f2r。(3)Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)＝mωv＝m4π2f2r。思考：如圖所示，圓盤上的物體隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在光滑漏斗內(nèi)壁上，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)它們運(yùn)動(dòng)所需要的向心力分別由什么力提供？(2)要計(jì)算漏斗內(nèi)壁上小球的角速度時(shí)還需要哪些信息？[答案](1)圓盤上的物體是由靜摩擦力提供向心力，漏斗內(nèi)壁的物體由重力和支持力的合力提供向心力。(2)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和漏斗內(nèi)壁的傾角。知識(shí)點(diǎn)2勻速圓周運(yùn)動(dòng)和非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的比較項(xiàng)目勻速圓周運(yùn)動(dòng)非勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)是速度大小不變而方向時(shí)刻變化的變速曲線運(yùn)動(dòng)，是加速度大小不變、方向變化的變加速曲線運(yùn)動(dòng)是速度大小和方向都變化的變速曲線運(yùn)動(dòng)，是加速度大小、方向都變化的變加速曲線運(yùn)動(dòng)加速度方向與速度垂直，即只存在向心加速度，沒有切向加速度由于速度大小和方向都變化，所以不僅存在向心加速度，而且存在切向加速度，合加速度的方向不指向圓心向心力F合＝F向＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r),mω2r,m\f(2π,T)2r))F合＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(沿半徑方向的分力Fn＝man,沿切向的分力Fτ＝maτ))知識(shí)點(diǎn)3離心運(yùn)動(dòng)1．定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，所做的逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。2．本質(zhì)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的傾向。3．受力特點(diǎn)①當(dāng)Fn＝mω2r時(shí)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。②當(dāng)Fn＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出。③當(dāng)Fn<mω2r時(shí)，物體逐漸遠(yuǎn)離圓心，做離心運(yùn)動(dòng)。④當(dāng)Fn>mω2r時(shí)，物體將逐漸靠近圓心，做近心運(yùn)動(dòng)。注意：物體做圓周運(yùn)動(dòng)還是偏離圓形軌道完全是由實(shí)際提供的向心力和所需的向心力間的大小關(guān)系決定的。雙基自測(cè)一、堵點(diǎn)疏通1．做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，一定受到向心力的作用，所以分析做圓周運(yùn)動(dòng)物體的受力，除了分析其受到的其他力，還必須指出它受到向心力的作用。(×)2．一物體以4m/s的線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為2s，則速度變化率的大小為4πm/s2。(√)3．在絕對(duì)光滑的水平路面上汽車可以轉(zhuǎn)彎。(×)4．火車轉(zhuǎn)彎速率小于規(guī)定的數(shù)值時(shí)，內(nèi)軌受到的壓力會(huì)增大。(√)5．飛機(jī)在空中沿半徑為R的水平圓周盤旋時(shí)，飛機(jī)機(jī)翼一定處于傾斜狀態(tài)。(√)二、對(duì)點(diǎn)激活1．(2021·湖北模擬)手指轉(zhuǎn)球是指使籃球在指尖上轉(zhuǎn)動(dòng)，以手腕之力讓球體旋轉(zhuǎn)，然后單指頂住球體。如圖所示，假設(shè)某同學(xué)讓籃球在指尖上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，指尖剛好靜止在籃球球心的正下方，下列判斷正確的是(A)A．籃球上各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同B．籃球上各點(diǎn)的向心力是由手指提供的C．籃球上的各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心均在指尖與籃球的接觸處D．籃球上各點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸越近，做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度越大[解析]本題考查對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)的理解?；@球上的各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，是繞著轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度相同，圓心均在轉(zhuǎn)軸上，籃球上各點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸越近，做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度越小，故A正確，C、D錯(cuò)誤；籃球要?jiǎng)蛩傩D(zhuǎn)，是靠手的撥動(dòng)，提供籃球上各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所需的向心力，故B錯(cuò)誤。2．(2020·江蘇蘇州期中)如圖所示，一輛轎車正在水平路面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(B)A．水平路面對(duì)轎車的彈力方向斜向上B．靜摩擦力提供向心力C．重力、支持力的合力提供向心力D．轎車受到的重力、支持力和摩擦力的合力為零[解析]本題考查汽車拐彎問題。在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力充當(dāng)向心力，彈力的方向始終垂直于接觸面，故水平路面對(duì)轎車的彈力方向垂直于路面豎直向上，故A錯(cuò)誤。重力和支持力是一對(duì)平衡力，轎車靠水平路面對(duì)車輪的靜摩擦力提供向心力，轎車受到的重力、支持力和摩擦力的合力不為零，故B正確，C、D錯(cuò)誤。3．(多選)如圖所示，豎直平面上，質(zhì)量為m的小球在重力和拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)P點(diǎn)時(shí)，拉力F發(fā)生變化，下列關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)情況說(shuō)法中正確的是(BC)A．若拉力突然變大，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)B．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)C．若拉力和重力突然消失，小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng)D．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPc做近心運(yùn)動(dòng)[解析]若拉力突然變大，實(shí)際提供的向心力大于所需的向心力，小球?qū)⒆鼋倪\(yùn)動(dòng)，AD均錯(cuò)誤；若拉力突然變小，實(shí)際提供的向心力小于所需的向心力，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)，B正確；若拉力和重力突然消失，小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng)，C正確。核心考點(diǎn)·重點(diǎn)突破HEXINKAODIANZHONGDIANTUPO考點(diǎn)一圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析常見的三種傳動(dòng)方式及特點(diǎn)1．皮帶傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。2．摩擦傳動(dòng)：如圖丙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無(wú)打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。3．同軸傳動(dòng)：如圖丁所示，兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小相等，即ωA＝ωB。例1現(xiàn)在許多高檔汽車都應(yīng)用了無(wú)級(jí)變速裝置，不用離合就能連續(xù)變換速度，下圖為截錐式無(wú)級(jí)變速模型示意圖，兩個(gè)錐輪之間有一個(gè)滾動(dòng)輪，主動(dòng)輪、滾動(dòng)輪、從動(dòng)輪靠彼此之間的摩擦力帶動(dòng)，當(dāng)位于主動(dòng)輪和從動(dòng)輪之間的滾動(dòng)輪從左向右移動(dòng)時(shí)，從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速降低；滾動(dòng)輪從右向左移動(dòng)時(shí)，從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速增加?，F(xiàn)在滾動(dòng)輪處于主動(dòng)輪直徑為D1、從動(dòng)輪直徑為D2的位置，則主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1與從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n2的關(guān)系是(B)A．eq\f(n1,n2)＝eq\f(D1,D2) B．eq\f(n1,n2)＝eq\f(D2,D1)C．eq\f(n1,n2)＝eq\f(D\o\al(2,2),D\o\al(2,1)) D．eq\f(n1,n2)＝eq\r(\f(D1,D2))[解析]本題考查傳動(dòng)問題。角速度ω＝2πn，則主動(dòng)輪的線速度v1＝eq\f(D1,2)ω1＝πD1n1，從動(dòng)輪的線速度v2＝eq\f(D2,2)ω2＝πD2n2。因?yàn)橹鲃?dòng)輪和從動(dòng)輪的線速度相等，則πD1n1＝πD2n2，所以eq\f(n1,n2)＝eq\f(D2,D1)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。方法技巧同軸與同緣傳動(dòng)的聯(lián)系同軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相等，同緣傳動(dòng)邊緣點(diǎn)線速度大小相等，角速度與線速度的關(guān)系式為v＝rω?！沧兪接?xùn)練1〕某機(jī)器的齒輪系統(tǒng)如圖所示，中間的輪叫作太陽(yáng)輪，它是主動(dòng)輪。從動(dòng)輪稱為行星輪，主動(dòng)輪、行星輪與最外面的大輪彼此密切嚙合在一起，如果太陽(yáng)輪一周的齒數(shù)為n1，行星輪一周的齒數(shù)為n2，當(dāng)太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，最外面的大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為(A)A．eq\f(n1,n1＋2n2)ω B．eq\f(n2,n1＋n2)ωC．eq\f(n1,n1－n2)ω D．eq\f(n2,n1－n2)ω[解析]由行星輪、主動(dòng)輪、最外面的大輪三部分彼此密切嚙合在一起可知，齒輪的周長(zhǎng)之比等于齒數(shù)之比。大輪、太陽(yáng)輪、行星輪分別用A、B、C表示，eq\f(2πRC,2πRB)＝eq\f(n2,n1)，所以eq\f(RC,RB)＝eq\f(n2,n1)，則eq\f(RA,RB)＝eq\f(2RC＋RB,RB)＝eq\f(2n2＋n1,n1)，因?yàn)槿啽舜嗣芮袊Ш显谝黄?，三輪轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度相等，則角速度與半徑成反比，即eq\f(ω,ωA)＝eq\f(RA,RB)＝eq\f(2n2＋n1,n1)，得到ωA＝eq\f(n1,n1＋2n2)ω，A項(xiàng)正確。考點(diǎn)二圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)分析向心力公式是牛頓第二定律對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，求解圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題與應(yīng)用牛頓第二定律的解題思路相同，但要注意幾個(gè)特點(diǎn)：1．向心力是沿半徑方向的合力，是效果力，不是實(shí)際受力。2．向心力公式有多種形式：F＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，要根據(jù)已知條件選用。3．正交分解時(shí)，要注意圓心的位置，沿半徑方向和切線方向分解。4．對(duì)涉及圓周運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，要用隔離法分析，不要用整體法。例2如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球，細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔，(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖中P位置，圓錐擺)?，F(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖中P′位置)，兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點(diǎn)，則后一種情況與原來(lái)相比較，下面的判斷正確的是(B)A．細(xì)線所受的拉力變小B．小球運(yùn)動(dòng)的角速度變大C．Q受到桌面的靜摩擦力變小D．Q受到桌面的支持力變小[解析]設(shè)OP長(zhǎng)度為l，與水平面的夾角為θ，豎直方向平衡，有Fsinθ＝mg，水平方向由牛頓第二定律得Fcosθ＝mω2lcosθ，由以上方程分析可得，隨θ角減小，F(xiàn)增大，A錯(cuò)誤；結(jié)合Q受力平衡得Q受到桌面的靜摩擦力變大，受到的桌面的支持力不變，C，D錯(cuò)誤；由F＝mω2l知，ω隨F的增大而增大，B正確。名師點(diǎn)撥解決圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題的一般步驟(1)首先要明確研究對(duì)象。(2)確定其運(yùn)動(dòng)軌道所在的平面、圓心的位置以及半徑。(3)對(duì)其受力分析，明確向心力的來(lái)源。(4)將牛頓第二定律應(yīng)用于圓周運(yùn)動(dòng)，得到圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)方程，有以下各種情況：F＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mvω＝mreq\f(4π2,T2)＝4π2mrf2。解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知條件進(jìn)行選擇?！沧兪接?xùn)練2〕(2021·遼寧沈陽(yáng)模擬)我國(guó)高鐵技術(shù)發(fā)展迅猛，目前處于世界領(lǐng)先水平。已知某路段為一半徑為5600米的彎道，設(shè)計(jì)時(shí)速為216km/h(此時(shí)車輪輪緣與軌道間無(wú)擠壓)，已知我國(guó)的高鐵軌距約為1400mm，且角度較小時(shí)可近似認(rèn)為tanθ＝sinθ，重力加速度g取10m/s2，則此彎道內(nèi)、外軌高度差應(yīng)為(B)A．8cm B．9cmC．10cm D．11cm[解析]本題考查火車轉(zhuǎn)彎問題。由題可知半徑R＝5600m，時(shí)速為v＝216km/h＝60m/s；根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ＝meq\f(v2,R)，解得tanθ＝eq\f(9,140)，由幾何關(guān)系得tanθ＝sinθ＝eq\f(h,L)，而L＝1400mm，聯(lián)立得h＝90mm＝9cm，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)三豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的“輕繩”和“輕桿”模型在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類：一是無(wú)支撐類，如輕繩和單軌道模型；二是有支撐類，如輕桿和雙軌道模型。對(duì)比見下表：輕繩模型輕桿模型常見模型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點(diǎn)的臨界條件由mg＝meq\f(v2,r)得v臨＝eq\r(gr)由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝0討論分析(1)過最高點(diǎn)時(shí)，v≥eq\r(gr)，F(xiàn)＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力F(2)不能過最高點(diǎn)時(shí)，v<eq\r(gr)，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心(2)當(dāng)0<v<eq\r(gr)時(shí)，mg－FN＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N背離圓心，隨v的增大而減小(3)當(dāng)v＝eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)N＝0(4)當(dāng)v>eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)指向圓心并隨v的增大而增大例3(2020·河北石家莊月考)(多選)如圖所示，輕桿長(zhǎng)為3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L(zhǎng)處的O點(diǎn)。外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力，忽略空氣阻力。則球B在最高點(diǎn)時(shí)(BC)A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\f(1,2)eq\r(2gL)C．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mgD．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg[解析]球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(v\o\al(2,B),2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A錯(cuò)誤；由于球A，B的角速度相等，則球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B正確；球B在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無(wú)作用力，此時(shí)球A所受重力和桿的作用力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(v\o\al(2,A),L)，解得F＝1.5mg，則水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mg，故C正確，D錯(cuò)誤。輕繩模型例4(多選)如圖(甲)所示，一長(zhǎng)為l的輕繩，一端穿在過O點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量未知的小球，整個(gè)裝置繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。小球通過最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球的拉力F與其速度平方v2的關(guān)系如圖(乙)所示，重力加速度為g，下列判斷正確的是(BD)A．圖像函數(shù)表達(dá)式為F＝meq\f(v2,l)＋mgB．重力加速度g＝eq\f(b,l)C．繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量較小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更大D．繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量較小的球做實(shí)驗(yàn)，b值不變[解析]由受力分析得F＝meq\f(v2,l)－mg，A錯(cuò)誤；由圖像可知，v2＝b，當(dāng)F＝0時(shí)，mg＝meq\f(v2,l)，即v2＝gl，得g＝eq\f(b,l)，B正確；結(jié)合圖像和F＝meq\f(v2,l)－mg可知，圖像的斜率k＝eq\f(m,l)，所以m減小，斜率減小，C錯(cuò)誤；由前述討論可知b＝gl，當(dāng)m減小時(shí)，b值不變，D正確。名師點(diǎn)撥豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)類問題的解題技巧(1)定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點(diǎn)的臨界條件不同。(2)確定臨界點(diǎn)：抓住輕繩模型中最高點(diǎn)v≥eq\r(gR)及輕桿模型中v≥0這兩個(gè)臨界條件。(3)研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。(4)受力分析：對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，F(xiàn)合＝F向。(5)過程分析：應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)列方程?！沧兪接?xùn)練3〕(2020·安徽黃山段考)如圖所示，長(zhǎng)均為L(zhǎng)的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間的距離也為L(zhǎng)。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，若小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí)，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí)，每根輕繩的拉力大小為(A)A．eq\r(3)mg B．eq\f(4\r(3),3)mgC．3mg D．2eq\r(3)mg[解析]本題考查豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的分析。若小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí)，兩根輕繩的拉力恰好均為零，根據(jù)牛頓第二定律得mg＝meq\f(v2,R)，若小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，2Tcosθ＋mg＝meq\f(2v2,R)，式中θ為輕繩與豎直方向的夾角，根據(jù)幾何關(guān)系可知，θ＝30°，解得T＝eq\r(3)mg，BCD錯(cuò)誤，A正確。名師講壇·素養(yǎng)提升MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界極值問題1．與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，靜摩擦力的方向一定指向圓心。(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。2．與彈力有關(guān)的臨界極值問題(1)壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題例5(2020·四川內(nèi)江開學(xué)考試)(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)繩相連的質(zhì)量均為m的兩個(gè)物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，與圓心間的距離分別為RA＝r，RB＝2r，與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，則下列說(shuō)法正確的是(AC)A．此時(shí)細(xì)繩的張力為3μmgB．此時(shí)A所受摩擦力方向沿半徑指向圓內(nèi)C．此時(shí)圓盤的角速度為eq\r(\f(2μg,r))D．此時(shí)燒斷細(xì)繩，A仍相對(duì)圓盤靜止，B將做離心運(yùn)動(dòng)[解析]本題考查水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題。兩物體A和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力提供向心力，則F＝mω2r，B做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑比A的大，所以B所需向心力大，細(xì)繩上拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，B所受的靜摩擦力方向沿半徑指向圓心，A所受的靜摩擦力方向沿半徑指向圓外，根據(jù)牛頓第二定律得FT－μmg＝mω2r，F(xiàn)T＋μmg＝mω2·2r，解得FT＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，故A、C正確，B錯(cuò)誤。燒斷細(xì)繩瞬間，A所需的向心力為2μmg，B所需的向心力為4μmg，A、B所受的最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則A、B均做離心運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。與彈力有關(guān)的臨界極值問題例6(2020·湖北荊州中學(xué)、宜昌一中等三校聯(lián)考)細(xì)繩一端系住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定在光滑水平桌面上方h處，繩長(zhǎng)l大于h，使小球在桌面上做如圖所示的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若要小球不離開桌面，其轉(zhuǎn)速不得超過(D)A．eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,l)) B．2πeq\r(gh)C．eq\f(1,2π)eq\r(\f(h,g)) D．eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,h))[解析]本題考查圓錐擺模型問題。對(duì)小球受力分析，小球受三個(gè)力的作用，重力mg、水平桌面的支持力N和細(xì)繩的拉力F，在豎直方向合力為零，在水平方向合力提供向心力，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知，R＝htanθ，則有Fcosθ＋N＝mg，F(xiàn)sinθ＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htanθ；當(dāng)小球即將離開水平桌面時(shí)，N＝0，轉(zhuǎn)速n有最大值，此時(shí)n＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,h))，故選D。2年高考·1年模擬2NIANGAOKAO1NIANMONI1．(2020·課標(biāo)Ⅰ，16)如圖，一同學(xué)表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長(zhǎng)均為10m，該同學(xué)和秋千踏板的總質(zhì)量約為50kg。繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。當(dāng)該同學(xué)蕩到秋千支架的正下方時(shí)，速度大小為8m/s，此時(shí)每根繩子平均承受的拉力約為(B)A．200N B．400NC．600N D．800N[解析]本題考查圓周運(yùn)動(dòng)中的受力問題。該同學(xué)在蕩秋千過程中的最低點(diǎn)，同學(xué)和踏板整體受到的重力和兩根繩的拉力的合力提供同學(xué)和踏板做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)每根繩子上平均承受的拉力大小為F，由牛頓第二定律得2F－mg＝meq\f(v2,R)，解得F＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mg＋m\f(v2,R)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50×10＋50×\f(82,10)))N＝410N，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。2．(2019·江蘇，6)(多選)如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。座艙的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)半徑為R，角速度大小為ω，重力加速度為g，則座艙(BD)A．運(yùn)動(dòng)周期為eq\f(2πR,ω)B．線速度的大小為ωRC．受摩天輪作用力的大小始終為mgD．所受合力的大小始終為mω2R[解析]A錯(cuò)：座艙的周期T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2π,ω)。B對(duì)：根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系，v＝ωR。C錯(cuò)，D對(duì)：座艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，摩天輪對(duì)座艙的作用力與重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小為F合＝mω2R。3．(2019海南單科，6)如圖，一硬幣(可視為質(zhì)點(diǎn))置于水平圓盤上，硬幣與豎直轉(zhuǎn)軸OO′的距離為r，已知硬幣與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，重力加速度大小為g。若硬幣與圓盤一起繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為(B)A．eq\f(1,2)eq\r(\f(μg,r)) B．eq\r(\f(μg,r))C．eq\r(\f(2μg,r)) D．2eq\r(\f(μg,r))[解析]設(shè)硬幣質(zhì)量為m，對(duì)硬幣受力分析，如圖所示。由摩擦力提供向心力可得f＝mω2r而f≤fm＝μFN＝μmg聯(lián)立可得mω2r≤μmg解得ω≤eq\r(\f(μg,r))，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤。4．(2020·山東新泰一中質(zhì)檢)如圖所示，水平傳送帶與水平軌道在B點(diǎn)平滑連接，傳送帶AB長(zhǎng)度L0＝2.0m，一半徑R＝0.2m的豎直圓形光滑軌道與水平軌道相切于C點(diǎn)，水平軌道CD長(zhǎng)度L＝1.0m，在D點(diǎn)固定一豎直擋板。小物塊與傳送帶AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1＝0.9，BC段光滑，CD段動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2。當(dāng)傳送帶以v0＝6m/s沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將質(zhì)量m＝1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊輕放在傳送帶左端A點(diǎn)，小物塊通過傳送帶、水平軌道、圓形軌道、水平軌道后與擋板碰撞，并以原速率彈回，經(jīng)水平軌道CD返回圓形軌道。已知小物塊從傳送帶滑到水平軌道時(shí)機(jī)械能不損失，重力加速度g＝10m/s2。求：(1)小物塊第一次滑到傳送帶B點(diǎn)時(shí)的速度大小；(2)若小物塊第二次能沖上圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道，求μ2的取值范圍。[答案](1)6m/s(2)0≤μ2≤0.65或0.8≤μ2<0.9[解析](1)物塊速度小于傳送帶速度時(shí)，物塊受到傳送帶的摩擦力f＝μ1mg，那么由牛頓第二定律可知物塊做加速度a＝μ1g＝9m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由2aL0＝veq\o\al(2,0)，可知物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)剛好達(dá)到傳送帶速度，所以物塊滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大小vB＝v0＝6m/s。(2)要使物塊能第二次沖上圓形軌道且不會(huì)脫離圓軌道，那么物塊第二次在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)可能通過最高點(diǎn)，也可能在圓軌道上達(dá)到的最高點(diǎn)的高度0<h≤R;故當(dāng)物塊能通過最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)其在最高點(diǎn)速度大小為v，在最高點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得mg≤eq\f(mv2,R)；對(duì)物塊從B到第二次到最高點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理可得－2μ2mgL－2mgR＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，則μ2＝eq\f(\f(1,2)mv\o\al(2,B)－2mgR－\f(1,2)mv2,2mgL)≤0.65；當(dāng)物塊在圓軌道上能到達(dá)的最高點(diǎn)的高度0<h≤R時(shí)，由動(dòng)能定理可得－2μ2mgL－mgh＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，μ2＝eq\f(\f(1,2)mv\o\al(2,B)－mgh,2mgL)，解得0.8≤μ2<0.9；所以為了使物塊能第二次沖上圓形軌道且不會(huì)脫離圓軌道，需滿足條件為0≤μ2≤0.65或0.8≤μ2<0.9。第4講萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用一、選擇題(本題共10小題，1～7題為單選，8～10題為多選)1．(2020·浙江物理7月)火星探測(cè)任務(wù)“天問一號(hào)”的標(biāo)識(shí)如圖所示。若火星和地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3︰2，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的(C)A．軌道周長(zhǎng)之比為2︰3B．線速度大小之比為eq\r(3)︰eq\r(2)C．角速度大小之比為2eq\r(2)︰3eq\r(3)D．向心加速度大小之比為9︰4[解析]本題考查萬(wàn)有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用。火星與地球均視為繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比eq\f(r火,r地)＝eq\f(3,2)，則軌道周長(zhǎng)之比為eq\f(L火,L地)＝eq\f(2πr火,2πr地)＝eq\f(3,2)，故A錯(cuò)誤；由萬(wàn)有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比為eq\r(2)︰eq\r(3)，故B錯(cuò)誤；由ω＝eq\f(v,r)可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的角速度大小之比為2eq\r(2)︰3eq\r(3)，故C正確；向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比為4︰9，故D錯(cuò)誤。2．(2021·廣東廣州天河區(qū)模擬)假定太陽(yáng)系內(nèi)有一顆質(zhì)量均勻且可看成球體的小行星，起初小行星自轉(zhuǎn)可以忽略。現(xiàn)若該行星自轉(zhuǎn)加快，當(dāng)其自轉(zhuǎn)的角速度增加為ω時(shí)，該行星表面“赤道”上的物體對(duì)星球的壓力減小至原來(lái)的eq\f(2,3)。已知引力常量為G，則該行星密度ρ為(B)A．eq\f(9ω2,8πG) B．eq\f(9ω2,4πG)C．eq\f(3ω2,2πG) D．eq\f(ω2,3πG)[解析]本題考查行星密度的求解。忽略行星自轉(zhuǎn)的影響時(shí)，該行星表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，自轉(zhuǎn)不可忽略時(shí)，萬(wàn)有引力提供重力及物體隨行星自轉(zhuǎn)的向心力，則自轉(zhuǎn)角速度為ω時(shí)，有Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(2,3)mg＋mω2R，行星的密度為ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，解得ρ＝eq\f(9ω2,4πG)，故選B。3．(2019·天津，1)2018年12月8日，肩負(fù)著億萬(wàn)中華兒女探月飛天夢(mèng)想的嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功發(fā)射，“實(shí)現(xiàn)人類航天器首次在月球背面巡視探測(cè)，率先在月背刻上了中國(guó)足跡”。已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，探測(cè)器的質(zhì)量為m，引力常量為G，嫦娥四號(hào)探測(cè)器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器的(A)A．周期為eq\r(\f(4π2r3,GM)) B．動(dòng)能為eq\f(GMm,2R)C．角速度為eq\r(\f(Gm,r3)) D．向心加速度為eq\f(GM,R2)[解析]探測(cè)器繞月運(yùn)動(dòng)由萬(wàn)有引力提供向心力，對(duì)探測(cè)器，由牛頓第二定律得，Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得周期T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知，動(dòng)能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2得，角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，C錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，D錯(cuò)誤。4．(2019·全國(guó)卷Ⅱ，14)2019年1月，我國(guó)嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸。在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是(D) A B C D[解析]由萬(wàn)有引力公式F＝Geq\f(Mm,R＋h2)可知，探測(cè)器與地球表面距離h越大，F(xiàn)越小，排除B、C；而F與h不是一次函數(shù)關(guān)系，排除A。5．(2020·廣東六校聯(lián)考)“中國(guó)天眼”FAST，由我國(guó)天文學(xué)家南仁東于1994年提出構(gòu)想，歷時(shí)22年建成。2018年4月28日FAST第一次發(fā)現(xiàn)了一顆距地球4000光年的毫秒脈沖星，震驚了世界。雙脈沖星系統(tǒng)是由兩個(gè)質(zhì)量不同的脈沖星形成的雙星系統(tǒng)。假設(shè)這兩個(gè)脈沖星繞它們連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，且兩星間距緩慢減小。若在短暫的運(yùn)動(dòng)過程中，各自質(zhì)量不變且不受其他星系影響，則下列說(shuō)法正確的是(B)A．兩星運(yùn)行的線速度之比是1︰1B．兩星運(yùn)行的角速度大小始終相等C．兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小始終相等D．隨著兩星的間距緩慢減小，它們的周期逐漸增大[解析]本題考查雙星問題。雙星系統(tǒng)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)模型，角速度、周期相等，由于Geq\f(Mm,L2)＝MRω2＝mrω2，半徑之比R︰r＝m︰M，即半徑之比等于質(zhì)量的反比，由v＝ωr知線速度之比等于質(zhì)量的反比，由于兩星質(zhì)量不同，故A錯(cuò)誤，B正確；兩星運(yùn)行的向心力為二者間的萬(wàn)有引力，兩星質(zhì)量不等，則向心加速度不等，故C錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,L2)＝MReq\f(4π2,T2)＝mreq\f(4π2,T2)，r＋R＝L，聯(lián)立解得周期T＝eq\r(\f(4π2L3,GM＋m))，間距L減小，則周期減小，故D錯(cuò)誤。6．(2019·江蘇，4)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)。如圖所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則(B)A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))[解析]衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，由開普勒第二定律知，近地點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，即v1>v2。若衛(wèi)星以近地點(diǎn)時(shí)的半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，則有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,近),r)，得運(yùn)行速度v近＝eq\r(\f(GM,r))，由于衛(wèi)星在近地點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，則v1>v近，即v1>eq\r(\f(GM,r))，選項(xiàng)B正確。7．火星探測(cè)器“火星2020”有了自己的新名字——“毅力號(hào)”。它的目標(biāo)是在2021年登陸火星的杰澤羅隕石坑，并嘗試將樣本從火星上帶回地球。已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，下列說(shuō)法中正確的是(C)A．火星與地球的第一宇宙速度之比為4︰3B．火星與地球的第一宇宙速度之比為2︰3C．火星上的重力加速度與地球上的重力加速度之比為4︰9D．以相同軌道半徑繞火星的衛(wèi)星與繞地球的衛(wèi)星運(yùn)行速度之比為1︰9[解析]根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有，eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(M1,M2)×\f(R2,R1))＝eq\r(\f(1,9)×\f(2,1))＝eq\r(2)︰3，故A、B錯(cuò)；根據(jù)eq\f(GMm,R2)＝mg，可得：eq\f(g1,g2)＝eq\f(M1,M2)×eq\f(R\o\al(2,2),R\o\al(2,1))＝4︰9，故C對(duì)；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，r相同，故eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(M1,M2))＝eq\r(\f(1,9))＝1︰3，故D錯(cuò)。8．(2020·江蘇物理)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有(CD)A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍[解析]本題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用。人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，已知甲的軌道半徑是乙的2倍，則乙的速度大小是甲的eq\r(2)倍，A錯(cuò)誤；由eq\f(GMm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，已知甲的軌道半徑是乙的2倍，則乙的向心加速度大小是甲的4倍，又兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相同，則甲的向心力大小是乙的eq\f(1,4)，B錯(cuò)誤，C正確；由開普勒第三定律可知eq\f(r3,T2)＝k，兩顆人造衛(wèi)星環(huán)繞同一天體(地球)運(yùn)動(dòng)，已知甲的軌道半徑是乙的2倍，則甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，D正確。9．荷蘭某研究所推出了2023年讓志愿者登陸火星、建立人類聚居地的計(jì)劃。登陸火星需經(jīng)歷如圖所示的變軌過程，已知引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是(ACD)A．飛船在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠB．飛船在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能C．飛船在P點(diǎn)從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，需要在P點(diǎn)朝速度方向噴氣D．若軌道Ⅰ貼近火星表面，已知飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的角速度，可以推知火星的密度[解析]本題考查衛(wèi)星變軌、星球密度的計(jì)算問題。根據(jù)開普勒第三定律可知，飛船在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ，選項(xiàng)A正確；飛船在P點(diǎn)從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，需要在P點(diǎn)朝速度方向噴氣，從而使飛船減速到達(dá)軌道Ⅰ，則飛船在軌道Ⅰ上的機(jī)械能小于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mω2R以及M＝eq\f(4,3)πR3ρ，解得ρ＝eq\f(3ω2,4πG)，已知飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的角速度，可以推知火星的密度，選項(xiàng)D正確。10．(2020·貴州黔南州2月考)在中國(guó)航天驕人的業(yè)績(jī)中有這些記載：“天宮一號(hào)”在離地面343km的圓形軌道上飛行；“嫦娥一號(hào)”在距月球表面高度為200km的圓形軌道上飛行；“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由“同步衛(wèi)星”(地球靜止軌道衛(wèi)星，在赤道平面，距赤道的高度約為36000千米)和“傾斜同步衛(wèi)星”(周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，但不定點(diǎn)于某地上空)等組成。則以下分析正確的是(AC)A．設(shè)“天宮一號(hào)”繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，用G表示引力常量，則用表達(dá)式eq\f(3π,GT2)求得的地球平均密度比真實(shí)值要小B．“天宮一號(hào)”的飛行速度比“同步衛(wèi)星”的飛行速度小C．“同步衛(wèi)星”和“傾斜同步衛(wèi)星”同周期、同軌道半徑，但兩者的軌道平面不在同一平面內(nèi)D．“嫦娥一號(hào)”與地球的距離比“同步衛(wèi)星”與地球的距離小[解析]本題考查地球同步衛(wèi)星和其他衛(wèi)星的參數(shù)對(duì)比。衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(m·4π2r,T2)，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，根據(jù)密度公式得地球平均密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3πr3,GT2R3)，由于“天宮一號(hào)”的軌道半徑大于地球半徑R，所以用表達(dá)式eq\f(3π,GT2)求得的地球平均密度比真實(shí)值要小，故A正確；衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，“天宮一號(hào)”的軌道半徑比“同步衛(wèi)星”的小，所以“天宮一號(hào)”的飛行速度比“同步衛(wèi)星”的飛行速度大，故B錯(cuò)誤；“同步衛(wèi)星”和“傾斜同步衛(wèi)星”同周期、同軌道半徑，“同步衛(wèi)星”定點(diǎn)在赤道正上方，“傾斜同步衛(wèi)星”不定點(diǎn)于某地上空，且兩者的軌道平面不在同一平面內(nèi)，故C正確；“嫦娥一號(hào)”在距月球表面高度為200km的圓形軌道上飛行，“同步衛(wèi)星”繞地球運(yùn)動(dòng)，所以“嫦娥一號(hào)”與地球的距離比“同步衛(wèi)星”與地球的距離大，故D錯(cuò)誤。二、非選擇題11．(2020·陜西期末)如圖甲所示，宇航員在某星球上將一輕彈簧豎直固定在水平地面上，把物體輕放在彈簧上端，由靜止釋放。物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖乙所示(圖中a0為已知量)。假設(shè)星球?yàn)橘|(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，引力常量為G。求：(1)星球的質(zhì)量M；(2)若發(fā)射一個(gè)探測(cè)器圍繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求該探測(cè)器的環(huán)繞速度v的大小。[答案](1)eq\f(a0R2,G)(2)eq\r(a0R)[解析]本題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用。(1)由題圖乙可知，當(dāng)彈簧壓縮量為零時(shí)，物體只受重力，則有mg＝ma0，對(duì)星球表面的物體，有eq\f(GMm,R2)＝mg，解得M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(a0R2,G)。(2)對(duì)環(huán)繞星球表面運(yùn)動(dòng)的探測(cè)器，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(a0R)。12．(2021·湖南雅禮中學(xué)月考)我國(guó)的“天鏈一號(hào)”衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，可為中低軌道衛(wèi)星提供數(shù)據(jù)中繼服務(wù)。如圖為“天鏈一號(hào)”衛(wèi)星a、赤道平面內(nèi)的低軌道衛(wèi)星b、地球三者間的位置關(guān)系示意圖，O為地心，地球相對(duì)衛(wèi)星a、b的張角分別為θ1和θ2(θ2圖中未標(biāo)出)，衛(wèi)星a的軌道半徑是b的4倍。已知衛(wèi)星a、b繞地球同向運(yùn)行，衛(wèi)星a的周期為T，在運(yùn)行過程中由于地球的遮擋，衛(wèi)星b會(huì)進(jìn)入與衛(wèi)星a通信的盲區(qū)。衛(wèi)星間的通信信號(hào)視為沿直線傳播，信號(hào)傳輸時(shí)間可忽略。求：(1)衛(wèi)星b的周期；(2)衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時(shí)間。[答案](1)eq\f(T,8)(2)eq\f(θ1＋θ2,14π)T[解析]本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用。(1)設(shè)衛(wèi)星a、b的軌道半徑分別為r1和r2，地球半徑為R，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，而r1＝4r2，聯(lián)立解得衛(wèi)星b的周期為eq\f(T,8)。(2)如圖，A、B是衛(wèi)星盲區(qū)的兩個(gè)邊緣位置。由幾何知識(shí)可得∠AOB＝θ1＋θ2，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2π,T),8)－\f(2π,T)))t＝∠AOB＝θ1＋θ2，解得b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時(shí)間為t＝eq\f(θ1＋θ2,14π)T。第4講萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1開普勒三定律開普勒第一定律：所有的行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。開普勒第二定律：行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。注意：面積定律是對(duì)同一個(gè)行星而言的，不同的行星相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積不等。開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即eq\f(a3,T2)＝k。(1)對(duì)于橢圓軌道，公式eq\f(a3,T2)＝k中的a是半長(zhǎng)軸，即長(zhǎng)軸的一半，注意橢圓軌道的對(duì)稱性；(2)對(duì)于圓軌道，公式eq\f(a3,T2)＝k中的a是軌道半徑，圓周上的任何位置，萬(wàn)有引力等于向心力；(3)公式eq\f(a3,T2)＝k中的k是一個(gè)只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)的量，與行星的質(zhì)量無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)2萬(wàn)有引力定律1．內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，引力的大小跟它們質(zhì)量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比。2．公式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G為萬(wàn)有引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3．適用條件：適用于相距很遠(yuǎn)，可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體之間的相互作用。質(zhì)量分布均勻的球體可以認(rèn)為質(zhì)量集中于球心，也可用此公式計(jì)算，其中r為兩球心之間的距離。思考：卡文迪許把他的實(shí)驗(yàn)說(shuō)成是可以“稱量地球的質(zhì)量”。閱讀教材，怎樣通過推導(dǎo)公式來(lái)證明卡文迪許的實(shí)驗(yàn)是能夠稱量地球質(zhì)量的。[答案]若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則mg＝Geq\f(Mm,R2)，由此得到M＝eq\f(gR2,G)。地球表面的重力加速度g和地球半徑R在卡文迪許之前就已知道，卡文迪許通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得了引力常量G，所以就可以算出地球的質(zhì)量M。知識(shí)點(diǎn)3人造衛(wèi)星表達(dá)式：應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分析天體運(yùn)動(dòng)的方法Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mr(eq\f(2π,T))2應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析和計(jì)算?；咎卣鳎喊烟祗w運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需的向心力由天體間的萬(wàn)有引力提供。知識(shí)點(diǎn)4宇宙速度1．第一宇宙速度(環(huán)繞速度)指人造衛(wèi)星近地環(huán)繞速度，它是人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速度，是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是最大的線速度，其大小為v1＝7.9km/s。2．第二宇宙速度在地面上發(fā)射物體，使之能夠脫離地球的引力作用，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星或飛到其他行星上去所必需的最小發(fā)射速度。其大小為v2＝11.2km/s。3．第三宇宙速度在地面上發(fā)射物體，使之能夠脫離太陽(yáng)的引力范圍，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙空間所必需的最小發(fā)射速度，其大小為v3＝16.7km/s。思考：發(fā)射衛(wèi)星，要有足夠大的速度才行，請(qǐng)思考：(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何計(jì)算第一宇宙速度？(2)把衛(wèi)星發(fā)射到更高的軌道上需要的發(fā)射速度越大還是越小？[答案](1)不同。圍繞星球表面運(yùn)轉(zhuǎn)衛(wèi)星的線速度即為第一宇宙速度。(2)越大。雙基自測(cè)一、堵點(diǎn)疏通1．當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大。(×)2．牛頓根據(jù)前人的研究成果得出了萬(wàn)有引力定律，并測(cè)量得出了萬(wàn)有引力常量。(×)3．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，其軌道平面一定過地心。(√)4．在地球上，若汽車的速度達(dá)到7.9km/s，則汽車將飛離地面。(√)5．“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則周期較小的軌道半徑一定較小。(√)二、對(duì)點(diǎn)激活1．(2021·山東質(zhì)檢)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律為萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，下列對(duì)于開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解，正確的是(C)A．開普勒定律只適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，不適用于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)B．行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在近日點(diǎn)處的線速度小于在遠(yuǎn)日點(diǎn)處的線速度C．若人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道都是橢圓(共面)，則地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上D．同一人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行與繞月球運(yùn)行，其軌道半徑的三次方與其運(yùn)動(dòng)周期的平方之比相同[解析]本題考查對(duì)開普勒三大定律的理解。開普勒定律適用于一切類太陽(yáng)系行星的運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在近日點(diǎn)處的線速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)處的線速度，故B錯(cuò)誤；若人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道都是橢圓(共面)，則地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故C正確；開普勒第三定律適用于繞同一中心天體的運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。2．由于萬(wàn)有引力定律和庫(kù)侖定律都滿足平方反比規(guī)律，因此引力場(chǎng)和電場(chǎng)之間有許多相似的性質(zhì)，在處理問題時(shí)可以將它們進(jìn)行類比，例如電場(chǎng)中反映各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)弱的物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度，其定義式為E＝eq\f(F,q)，在引力場(chǎng)中可以用一個(gè)類似的物理量來(lái)反映各點(diǎn)引力場(chǎng)的強(qiáng)弱，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G，如果一個(gè)質(zhì)量為m的物體位于距離地心2R處的某點(diǎn)，則下列表達(dá)式中能反映該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)弱的是(A)A．eq\f(g,4) B．Geq\f(m,2R2)C．Geq\f(Mm,2R2) D．eq\f(g,2)[解析]本題借助電場(chǎng)強(qiáng)度的定義得出“引力場(chǎng)強(qiáng)度”的表達(dá)式。離地心2R處的物體受到的萬(wàn)有引力為F＝eq\f(GMm,2R2)，因此“引力場(chǎng)強(qiáng)度”可表示為eq\f(F,m)＝eq\f(GM,2R2)，又因忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)在地球表面的物體滿足eq\f(GMm′,R2)＝m′g，得GM＝gR2，故該處的“引力場(chǎng)強(qiáng)度”也可表示為eq\f(g,4)，故A正確。3．(2020·山東泰安二模)(多選)中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，是繼美國(guó)全球定位系統(tǒng)(GPS)、俄羅斯格洛納斯衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GLONASS)之后第三個(gè)成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。如圖所示是北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中部分衛(wèi)星的軌道示意圖，已知a、b、c三顆衛(wèi)星均做圓周運(yùn)動(dòng)，a是地球同步衛(wèi)星，則(AD)A．衛(wèi)星a的角速度小于c的角速度B．衛(wèi)星a的加速度大于b的加速度C．衛(wèi)星a的運(yùn)行速度大于第一宇宙速度D．衛(wèi)星b的周期等于24h[解析]本題考查不同軌道衛(wèi)星運(yùn)行參數(shù)的比較。根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可得角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知軌道半徑r越大，角速度ω越小，由于a的軌道半徑大于c的軌道半徑，所以衛(wèi)星a的角速度小于c的角速度，選項(xiàng)A正確。由Geq\f(Mm,r2)＝ma可得向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，由于衛(wèi)星a的軌道半徑與衛(wèi)星b的軌道半徑相等，所以衛(wèi)星a的加速度等于b的加速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，軌道半徑r越大，v越小，而第一宇宙速度為軌道半徑等于地球半徑的近地衛(wèi)星的速度，所以衛(wèi)星a的運(yùn)行速度一定小于第一宇宙速度，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，可得周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，而衛(wèi)星a的軌道半徑與衛(wèi)星b的軌道半徑相等，所以衛(wèi)星b的周期等于衛(wèi)星a的周期，即等于地球自轉(zhuǎn)周期24h，選項(xiàng)D正確。4．(2019·北京，18)2019年5月17日，我國(guó)成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星(D)A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少[解析]A錯(cuò)：同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方。B錯(cuò)：由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，環(huán)繞速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)。C錯(cuò)：同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度。D對(duì)：若該衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較少。核心考點(diǎn)·重點(diǎn)突破HEXINKAODIANZHONGDIANTUPO考點(diǎn)一中心天體質(zhì)量和密度的估算1．“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．“T、r”法：測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)。故只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。例1假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道處的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。則地球的密度為(B)A．eq\f(3πg(shù)0－g,GT2g0) B．eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g)C．eq\f(3π,GT2) D．eq\f(3π,GT2\f(g0,g))[解析]在兩極處萬(wàn)有引力等于重力，則有mg0＝Geq\f(Mm,R2)，在赤道處，萬(wàn)有引力與支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,R2)－mg＝meq\f(4π2,T2)R，而密度公式ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立得ρ＝eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g)，故B正確，A，C，D錯(cuò)誤。名師點(diǎn)撥萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F有兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：萬(wàn)有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。〔變式訓(xùn)練1〕(多選)公元2100年，航天員準(zhǔn)備登陸木星，為了更準(zhǔn)確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學(xué)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)航天器與木星表面相對(duì)靜止時(shí)，航天員對(duì)木星表面發(fā)射一束激光，經(jīng)過時(shí)間t，收到激光傳回的信號(hào)，測(cè)得相鄰兩次看到日出的時(shí)間間隔是T，測(cè)得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則(AD)A．木星的質(zhì)量M＝eq\f(v3T,2πG)B．木星的質(zhì)量M＝eq\f(π2c3t3,2GT2)C．木星的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)D．木星的密度ρ＝eq\f(3πv3T,GvT－πct3)[解析]由題意知，航天器到木星表面的距離h＝eq\f(ct,2)，航天器繞木星運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)v＝eq\f(2πr,T)可得，航天器的軌道半徑r＝eq\f(vT,2π)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，得M＝eq\f(v3T,2πG)，故A正確，B錯(cuò)誤；木星的半徑R＝r－h(huán)＝eq\f(vT,2π)－eq\f(ct,2)，所以木星的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πv3T,GvT－πct3)，故C錯(cuò)誤，D正確。考點(diǎn)二人造衛(wèi)星問題1．人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(1)一種模型：無(wú)論自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看作質(zhì)點(diǎn)，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)兩條思路①萬(wàn)有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝ma。②天體對(duì)其表面的物體的萬(wàn)有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應(yīng)用廣泛，稱“黃金代換”。(3)四個(gè)關(guān)系：人造衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度、周期與軌道半徑的關(guān)系。eq\f(GMm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\r(\f(1,r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))越高越慢2．地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)(1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h＝86400s。(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。(4)高度一定：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。(5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。3．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s。(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。例2如圖所示，A為近地氣象衛(wèi)星，B為遠(yuǎn)地通訊衛(wèi)星，假設(shè)它們都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知地球半徑為R，衛(wèi)星A距地面高度可忽略不計(jì)，衛(wèi)星B距地面高度為h，不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力。則下列說(shuō)法正確的是(D)A．若兩衛(wèi)星質(zhì)量相等，發(fā)射衛(wèi)星B需要的能量少B．衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運(yùn)行周期之比為eq\f(R3,R＋h3)C．衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運(yùn)行的加速度大小之比為eq\f(R＋h,R)D．衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運(yùn)行速度大小之比為eq\r(\f(R＋h,R))[解析]若兩衛(wèi)星質(zhì)量相等，圓軌道半徑越大，衛(wèi)星所具有的機(jī)械能越大，所以發(fā)射衛(wèi)星B需要的能量大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運(yùn)行周期之比為eq\r(\f(R3,R＋h3))，故B錯(cuò)誤；由eq\f(GMm,R2)＝ma，則a＝eq\f(GM,R2)，所以衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運(yùn)行的加速度大小之比為eq\f(R＋h2,R2)，故C錯(cuò)誤；由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，得v＝eq\r(\f(GM,R))，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運(yùn)行速度大小之比為eq\r(\f(R＋h,R))，所以D正確。〔變式訓(xùn)練2〕(2020·北京西城一模)2019年11月5日，我國(guó)成功發(fā)射了“北斗三號(hào)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”的第3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星?！氨倍啡?hào)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”由靜止地球同步軌道衛(wèi)星、傾斜地球同步軌道衛(wèi)星、中圓地球軌道衛(wèi)星組成?！巴杰壍馈毙l(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，衛(wèi)星運(yùn)行軌道面與地球赤道面的夾角叫作軌道傾角。根據(jù)軌道傾角的不同，可將“同步軌道”分為靜止軌道(傾角為零)、傾斜軌道(傾角不為零)和極地軌道。根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法中正確的是(D)A．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的高度大于靜止地球同步軌道衛(wèi)星的高度B．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的線速度小于靜止地球同步軌道衛(wèi)星的線速度C．可以發(fā)射一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，靜止在北京上空D．可以發(fā)射一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，每天同一時(shí)間經(jīng)過北京上空[解析]傾斜地球同步軌道衛(wèi)星與靜止地球同步軌道衛(wèi)星具有相同的周期(24h)，則由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r可知，兩種衛(wèi)星的軌道半徑相等，即傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的高度等于靜止地球同步軌道衛(wèi)星的高度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；兩種衛(wèi)星具有相同的周期和角速度，運(yùn)轉(zhuǎn)半徑相同，則根據(jù)v＝ωr可知，兩種衛(wèi)星具有相同的線速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；靜止地球同步軌道衛(wèi)星相對(duì)于地球靜止，軌道所在平面必須與地球赤道面共面，由于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的軌道為傾斜軌道，因此不能與地球保持相對(duì)靜止，但因?yàn)橹芷诳倿?4h，則可以每天同一時(shí)間經(jīng)過北京上空，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。故選D?！沧兪接?xùn)練3〕(2021·湖南衡陽(yáng)八中月考)據(jù)報(bào)道，未來(lái)幾年我國(guó)將發(fā)射首顆“人造月亮”，其亮度是月球亮度的8倍，可為城市提供夜間照明。假設(shè)“人造月亮”在距離地球表面500km的軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響)，下列有關(guān)“人造月亮”的說(shuō)法正確的是(B)A．發(fā)射速度小于第一宇宙速度B．角速度大于月球繞地球運(yùn)行的角速度C．向心加速度大于地球表面的重力加速度D．在運(yùn)行軌道上處于完全失重狀態(tài)，重力加速度為零[解析]本題考查第一宇宙速度的計(jì)算、不同軌道運(yùn)行天體的物理量對(duì)比問題。第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)行的最大環(huán)繞速度，所以“人造月亮”的發(fā)射速度不可能小于第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，由于“人造月亮”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑小于月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑，所以“人造月亮”的角速度大于月球繞地球運(yùn)行的角速度，故B正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，由于“人造月亮”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大于地球半徑，所以“人造月亮”的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C錯(cuò)誤；“人造月亮”在繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，加速度等于重力加速度，處于完全失重狀態(tài)，但重力加速度g＝eq\f(GM,r2)不為零，故D錯(cuò)誤。名師講壇·素養(yǎng)提升MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG多星運(yùn)動(dòng)模型(一)雙星模型繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示，雙星系統(tǒng)模型有以下特點(diǎn)：(1)各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)(5)雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))(6)雙星的總質(zhì)量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)例3(2020·山東淄博七中期中)2016年2月11日，美國(guó)科學(xué)家宣布探測(cè)到了引力波，證實(shí)了愛因斯坦的預(yù)測(cè)，彌補(bǔ)了愛因斯坦廣義相對(duì)論中缺失的最后一塊“拼圖”。雙星的運(yùn)動(dòng)是引力波的來(lái)源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由a、b兩顆星體組成，這兩顆星體繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬(wàn)有引力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得a的周期為T，a、b兩顆星體的距離為l，a、b兩顆星體的軌道半徑之差為Δr(a星的軌道半徑大于b星)，則(B)A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．a(chǎn)星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)＋Δr,T)C．a(chǎn)、b兩顆星體的軌道半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩顆星體的質(zhì)量之比為eq\f(l＋Δr,l－Δr)[解析]本題考查雙星運(yùn)行參數(shù)的計(jì)算。雙星系統(tǒng)中星體的角速度大小相等，周期相同，故b的周期為T，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題意得ra－rb＝Δr，ra＋rb＝l，可得ra＝eq\f(l＋Δr,2)，rb＝eq\f(l－Δr,2)，所以eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，a星的線速度v＝eq\f(2πra,T)＝eq\f(πl(wèi)＋Δr,T)，選項(xiàng)B正確，C錯(cuò)誤；由maω2ra＝mbω2rb得eq\f(ma,mb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。名師點(diǎn)撥萬(wàn)有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，向心力表達(dá)式中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，不可混淆。(二)三星模型1．直線模型如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動(dòng)，另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動(dòng)。這三顆行星始終位于同一直線上。兩行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，角速度、線速度的大小相等。運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,2r2)＝ma。2．三角形模型如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)。三顆行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，角速度、線速度的大小相等。每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星的萬(wàn)有引力的合力來(lái)提供：eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＝ma其中L＝2rcos30°。例4(多選)三顆質(zhì)量均為M的星球分別(可視為質(zhì)點(diǎn))位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。如圖所示，如果他們中的每一顆都在相互的引力作用下沿等邊三角形的外接圓軌道運(yùn)行，引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是(BD)A．其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力大小為eq\f(\r(3)GM2,2L2)B．其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力指向圓心OC．它們運(yùn)行的軌道半徑為eq\f(\r(3),2)LD．它們運(yùn)行的線速度大小為eq\r(\f(GM,L))[解析]本題考查多星系統(tǒng)問題。根據(jù)萬(wàn)有引力定律，任意兩個(gè)星體間的引力大小為F＝Geq\f(M2,L2)，每個(gè)星球所受的合力為F合＝2Fcos30°＝eq\f(\r(3)GM2,L