兩角和與差的余弦公式

第三章三角恒等變換3.1

兩角和與差的正弦.余弦和正切公式3.2簡單的三角恒等變換

變換是數(shù)學的重要工具，在初中，我們已經(jīng)學過代數(shù)的變換，在數(shù)學4的第一章也學習過同角三角函數(shù)式的變換，在此基礎上，本章將學習包含兩個角的三角函數(shù)式的變換。三角變換是“只變其形不變其質”的，它可以揭示某些外形不同但實質相同的三角函數(shù)式之間的內在聯(lián)系，幫助我們簡化三角函數(shù)式，從而使研究更加方便、有效。三角變換包括變換的對象、變換的目標以及變換的依據(jù)和方法等要素。兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據(jù)。通過對這些公式的探求，以及利用這些公式進行三角變換，我們將在怎樣預測變換目標，怎樣選擇變換公式，怎樣設計變換途徑等方面作出思考，這些都將幫助我們進一步提高推理能力和運算能力。

兩角和與差的正弦余弦公式3.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第一課時在本章開頭，給出了這樣一個問題：

某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上。如圖所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得A,C兩點間的距離約為67米，從A觀測電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為450。求這座電視發(fā)射塔的高度。設電視發(fā)射塔高CD=x米，則在Rt?ABD中，于是如果能由求得的值，那么就會ADBCα45030x67得到一個的一元二次方程，由此解得電視發(fā)射塔的高就十分容易了。

能不能由求得的值呢？或者說能不能用把表示出來呢？更一般地說,對于任意角,能不能用的三角函數(shù)值把或的三角函數(shù)值表示出來呢?下面我們來研究如何勝任意角的正弦余來表示的問題。兩角和與差的余弦大家可以猜想，是不是等于呢?（一）導入：我們在初中時就知道

，由此我們能否得到根據(jù)我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式，探究1試分別計算發(fā)現(xiàn)建構數(shù)學cos(75°－15°)=cos75°cos15°+

sin75°sin15°一般地,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ是否也成立呢???建構數(shù)學由于這里涉及三角函數(shù)的問題,是這個角的余弦問題,所以可以考慮聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線或向量的知識.我們先對簡單的情況進行討論.如圖,設角α，β為銳角,且β?α.角α的終邊與單位圓的交為P1,過點P作PM垂直于x軸,垂足為M,那么OM就是角的余弦線.這里就是要用角,的正弦線,余弦線來表示OM.過點P作PA垂直于OP1,垂足為A,過點A作AB垂直于軸,垂足為B,過點P作PC垂直于AB,垂足為C.那么yxoP1P

MBA并且于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα

值得注意的是，以上結果是在α、β、α-β都是銳角，且α>β的情況下得到的。要說明此結果是否對任意角α、β都成立，還要做不少工作。下面我們運用向量的知識進行探究。yxoP1P2

P０

在直角坐標系中xOy中，以Ｏx軸為始邊分別作角則設向量又建構數(shù)學則建構數(shù)學依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角必須符合條件，即在此條件下，以上推導才是正確的．由于都是任意角，也是任意角，因此就要研究當是任意角時，以上推導是否正確的問題．當是任意角時，由誘導公式，總可以找到一個角，使．若，則若，則，且于是，對于任意角α,β都有建構數(shù)學cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

簡記為C（α-β）=cc+ss注意:（１）為任意角;(2)知道cosα,cosβ,sinα,sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值.(3)右端是的同名三角函數(shù)積的和,左端為兩角差的余弦cos(α+β)=cosαcos

β-

sinαsin

βcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

簡記為C（α-β）兩角和與差的余弦公式那用-β替換β,我們可以得到?簡記為C（α+β）建構數(shù)學特征：（１）函數(shù)名（２）符號異號建構數(shù)學兩角和與差的余弦公式例1利用差角的余弦公式求cos15°,cos75°的值解法１：cos15°=cos(45°－30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

解法２：cos15°=cos(60°－45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°

數(shù)學運用例２數(shù)學運用數(shù)學運用例3分析

由公式cos(α+β)=cosαcos

β－

sinαsin

β可知，欲求cos(α+β)，應先計算cosα，sin

β的值。解由，得又由，得由余弦的和角公式得cos(α+β)=cosαcos

β－

sinαsin

β1利用兩角和(差)的余弦公式證明：⑴；⑵；BACK2利用兩角和(差)的余弦公式化簡：（1）cos78°cos33°+sin78°sin33°；（2）cos780sin570+sin780sin330；

（3）cos(600+θ)+cos(600-θ).

BACK數(shù)學運用(3)cosθ3(1)已知，求的值。BACK(2).在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,則△ABC是().

(A)直角三角形(B)鈍角三角形

(C)銳角三角形(D)不確定.4化簡：（1）cos58°sin37°+sin122°sin53°；（2）cos(α－β)cos(α+β)－sin(α－β)sin(α+β).BACK5已知，求的值。BACK6已知，求的值。BACKcos(α+β)=

cosαcos

β-

sinαsin

β

簡記為C（α+β）cos(α-β)=

cosαcosβ+

sinαsinβ

簡記為C（α-β）作業(yè)：P150A組1（1）、（3）；

3；4.小結同學們再見!

在平面直角坐標系xOy內,作單位圓,并作α、β

和–β角,使α角的始邊為Ox，交圓O于P1,終邊交圓O于P2;β角的始邊為OP2,終邊交圓O于P3;–β角的始邊為OP1,終邊交圓O于P4;

此時,P1.P2.P3.P4的坐標分別為P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)).

由︱P1P3︱=︱P2P4︱及兩點間距離公式,得：[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2.

整理得:

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.

證明:如圖所示cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ

公式的結構特征:

左邊是復角α+β

的余