小學奧數(shù)教程-換元法

換元法

對于六年級的同學來說，分數(shù)乘法算式的一些計算技巧必須開始掌握.這既與基礎課程進度結合，

更是小學奧數(shù)經(jīng)典內(nèi)容.裂項、換元與通項歸納這三項內(nèi)容，通稱“分數(shù)計算之三大絕招”.考察近年來的

小升初計算部分，分數(shù)計算成為熱點.可以這么說：“一道非常難的分數(shù)運算，要么是裂項，要么是換元，

要么是通項歸納.如果都不是，那它一定是比較簡單的分數(shù)小數(shù)混合運算.”

三'換元思想

解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.換

元的實質是轉化，將復雜的式子化繁為簡.

【例1】計算：(1+：+：)嗎+；+/-(l+；+：+>xg+f

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【解析】令1+』+'+,=。，-+-+-=/?,則：

246246

原式=(〃_2)x〃-qxS-

66

,1,1

=ab——bf-ab-\--a

66

1,.11

=—(za—b)=—xl=—

666

【答案】-

6

s國“111、/111、“1111、/11、

【鞏固Y](l+_+_+_)x(_+_+_+_)_(l+_+_+_+_)x(_+_+_)

23423452345234

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【解析】設4=』+2+1,則原式化簡為：(1+a)(a+-)-a(l+a+-)=-

234555

【答案】-

5

回+變+駕^至+/+%]-隹1739458378Y/739458]

【鞏固】計算:d-----1-----------F207jXl358+947j

126358947J(358947207；1126358947

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

，科」小人621739458739458,

【解析】令——+——+——=a;——+——=b,

126358947358947

…,378378生(〃叫X堊=也、%=9

原式==czxbH----Q+---

I207207'7207126207

【答案】9

【鞏固】計算：(0.1+0.21+0.321+0.4321”(0.21+0.321+0.4321+054321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.5432l)x(0.21+0.321+0.4321)

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【解析】設x=0.21+0.321+04321,y=0.21+0.321+0.4321+0.54321,

原式=(0.1+x)xy-(0.1+y)xx=0.1x(y-x)=0.054321

【答案】0.054321

【鞏固】計算下面的算式

(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，2試

【解析】換元的思想即“打包”，令4=7.88+6.77+5.66,6=9.31+10.98,則原式

=ax(6+10)-(a+10)xb=(a￡>+10a)-(a￡>+10￡>)=ab+10ci-a￡>-10i>=10x(a-b)

=10x(7.88+6.77+5.66-9.31-10.98)=10x0.02=0.2

【答案】0.2

【鞏固】(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，六年級，二試

【解析】亍殳0.12+0.23=4,0.12+0.23+0.34=&

原式=(l+a)xb-(l+b)xa=Z>-a=0.34

【答案】0.34

【鞏固】計算：⑴(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)-(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

,?<621739458、r739458378、<621739458378、<739458、

(126358947J(358947207)(126358947207)(358947)

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】迎春杯

【解析】⑴該題相對簡單，盡量湊相同的部分，即能簡化運算.設“=0.45+0.56,6=0.45+0.56+0.67,

有原式=(l+a)x/>—(l+/?)xa=/?+q/?-a-a/?=b-a=0.67

621739458、(739458)

⑵設a=+------F947J,b=l358+947j

126358

店.(378、(378xb=(j)x堊=%>我=9

原式=47xbtH------a+---

I207；I207207126207

【答案】⑴0.67(2)9

(』+工+』34573

【鞏固】計算:—十———+——+——+

1232171713123217

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級

57373

【解析】設a——+——+——b=——+——則有

1232173217

a.[±4

原式=b+xb

【1313

444,

=——a-——b=—(a-b)

131313

455

=——x——=—

131239

5

【答案】

39

11111111

【例2】計算:1+—+,??+一+-+???+1+-+...+x—+-+?-?+

2200723200822008232007

【考點】換元法【難度】3星【題型】計算

111?+4+1

【解析】令Cl=-d----F?—I----------???H-----

232007232008

1

2008

【答案】

2008

11111111

【鞏固】一+—+一+一4--4--十一+一+一+——F---1----1---

11213121314151213141213141

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

設"+—=

【解析】

11213141213141

原式二。x

=ab+-a-ab-—h

5151

1/,、111

=—(a-b)=—x——=-----

515111561

1

【答案】

561

【鞏固】4+H+^-(rrl

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】清華附中

【解析】設2+，+1+，=/4,-+-+—=B,

579117911

原式=Ax(BH---

A+—|xB

I1313j

AxB+—A-AxB--B

1313

=-(A—B)=-x—=—

13'713565

【答案】—

65

1111

【鞏固】計算lll-LlVfilll-LlX

23452+3+4+5+6八+2+3+4+5+62345

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

設1+工+111.1111n

【解析】-+—+-=A,-+-+-+-=B

23452345

原式=Ax（3++

xB=AxB+-xA-AxB--xB=—xA--xB=-x(/A-B)=-

666666

]_

【答案】

6

【例3】計算:

123912391+W.239

—I—H—+-------十—I—-------1-***d-------.?+2X—F—F,??H-------

234102341023103410

【考點】換元法【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】迎春杯

,則有產(chǎn)+/x；-(l+/)[219I￡JI

【解析】2+Tt+t——

234102222

【答案】

計算----------11

【例4】+——丁

2+------------------1+

1

3+-—11+

1

4+3+

1

???H—4+

I

2009...4------------

2009

【考點】換元法【難度】4星【題型】計算

]1111_N?N+17

【解析】設N=3+.原式二---------+

4+-^-2N+\2N+T一?

2+—一口

…+-----NN+1

2009

【答案】

11

【例5】計算:1+

~8

【考點】換元法【難度】3星【題型】計算

1

Q—X——

【解析】（法一）設x=t，則原式==88.

1Xx-2+"J

xx88

,吐811282ll2c的一82ll22r

(＞去'—)1又X=----1—,刃卜4X=——H----r-4-2,所以——4----——X—2.

118ll282II282