5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

§5.6函數(shù)一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象（一）“圖像變換法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象1.先平移后伸縮2.先伸縮后平移（二）“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象第一步：列表.ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)y0A0－A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點．第三步：用光滑曲線連接這些點，得到一個周期內(nèi)的圖象，再將圖象左右延伸．【典例1】畫出函數(shù)的圖象．【分析】第一種方法，先求周期再用“五點法”作出在一個周期內(nèi)的圖象,從圖象求值域;第二種方法，先從的圖象變換得到圖象再求周期和值域.【詳解】（方法一）先作出函數(shù)的圖象，將正弦曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將的圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，就得到函數(shù)的圖象，如下圖：（方法二）函數(shù)的周期，先用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象，列表如下：00200作出函數(shù)在上的簡圖，并左右連續(xù)地平移，就可以得到這個函數(shù)的圖象，如下圖：二、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)定義域R奇偶性當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時是奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時是偶函數(shù).值域[－A，A]周期性T＝eq\f(2π,ω)單調(diào)性由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得單調(diào)遞增區(qū)間由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，解得單調(diào)遞減區(qū)間對稱中心令ωx＋φ＝kπ，y＝0得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)對稱軸令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，得x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π－2φ,2ω)(k∈Z)【典例2】若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是1【答案】A【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：

不是的周期，錯誤；當(dāng)時，，關(guān)于點對稱，錯誤；當(dāng)時，

此時沒有最大值，錯誤.【典例3】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當(dāng)時，的值域為C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【答案】ACD【分析】先根據(jù)中，，的幾何意義，求得的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，逐一分析選項即可．【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；而，因為，所以，所以，，即，，又，所以，所以，對于B，當(dāng)時，，所以，所以的值域為，故B錯誤；對于C，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；對于D，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因為當(dāng)時，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確．【方法總結(jié)】由y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象確立三角函數(shù)的解析式：（1）A：一般可由圖象上的最大值、最小值來確定．（2）ω：因為T＝eq\f(2π,ω)，故往往通過求周期T來確定ω，相鄰的最高點與最低點之間的距離為eq\f(T,2)；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T.（3）φ：從“五點法”中的第一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個點的位置，同時注意題目中給出的φ的范圍，除使用初始點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))外，還可在五點中找兩個特殊點列方程組來求解φ.【變式】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（

）A．的圖象關(guān)于中心對稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【分析】由題意首先求出函數(shù)的表達(dá)式，對于A，直接代入檢驗即可；對于B，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對于CD，直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運算即可.【詳解】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達(dá)式為，對于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對稱