高考數(shù)學一輪復習 練案（41）第六章 不等式、推理與證明 第四講 基本不等式（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

[練案41]第四講基本不等式A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．若3x＋2y＝2，則8x＋4y的最小值為(A)A．4 B．4eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2eq\r(23x·22y)＝2eq\r(23x＋2y)＝4，當且僅當3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,2)時等號成立，∴8x＋4y的最小值為4，故選A.2．(2020·遼寧鐵嶺六校聯(lián)考協(xié)作體聯(lián)考)若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lg(eq\f(a＋b,2))，則(B)A．R<P<Q B．P<Q<RC．Q<P<R D．P<R<Q[解析]由于函數(shù)y＝lgx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又a>b>1，則lga>lgb>0，由基本不等式可得P＝eq\r(lga·lgb)<eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lg(ab)＝lgeq\r(ab)<lgeq\f(a＋b,2)＝R因此，P<Q<R，故選B.3．(2020·全國聯(lián)考)若log3(2a＋b)＝1＋logeq\r(3)eq\r(ab)，則4a＋2b的最小值為(C)A．6 B．eq\f(8,3)C．eq\f(16,3) D．eq\f(17,3)[解析]因為log3(2a＋b)＝1＋logeq\r(3)eq\r(ab)，所以2a＋b＝3ab，且a>0，b所以eq\f(2,3)(2a＋b)＝2ab≤(eq\f(2a＋b,2))2，因為2a＋b>0，所以2a＋b≥eq\f(8,3)，當且僅當2a＝b，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時取等號，故4a＋2b的最小值為eq\f(16,3).4．(2020·安徽黃山質(zhì)檢)已知f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)(x>0)，則f(x)的最小值是(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由題意知，f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq\f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋1，因為x>0，所以x＋1>0，則x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5，(當且僅當x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1時取“＝”)故f(x)的最小值是5.5．(2020·山西大同聯(lián)考)已知正實數(shù)m，n滿足eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝4，則m＋n的最小值是(D)A．4 B．2C．9 D．eq\f(9,4)[解析]由題意知m＋n＝eq\f(1,4)(eq\f(1,m)＋eq\f(4,n))(m＋n)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n))≥eq\f(1,4)(5＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n)))＝eq\f(9,4)，(當且僅當m＝eq\f(3,4)，n＝eq\f(3,2)時取等號)∴m＋n的最小值為eq\f(9,4)，故選D.6．(2020·遼寧葫蘆島協(xié)作校聯(lián)考)“?x，y>0，(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))≥a”是“a≤8”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵x，y>0，∴(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝1＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(4)＝9，當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)，即y＝2x>0時，等號成立．∴a≤9.∴“?x，y>0，(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))≥a”是“a≤8”的必要不充分條件，故選B.7．(2020·陜西綏德中學階段測試)已知：x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，則x－3y的最小值是(A)A．8 B．6C．eq\f(15,2) D．eq\f(13,2)[解析]由題意3y＝eq\f(x＋8,1－x)且x－1>0，∴x－3y＝x＋eq\f(x＋8,x－1)＝x－1＋eq\f(9,x－1)＋2≥2eq\r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8，(當且僅當x－1＝eq\f(9,x－1)即x＝4時取等號)∴x－3y的最小值為8，故選A.8．(2020·廣東期中)已知a>1，b>0，a＋b＝2，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值為(A)A．eq\f(3,2)＋eq\r(2) B．eq\f(3,4)＋eq\f(\r(2),2)C．3＋2eq\r(2) D．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),3)[解析]由題意知a>1，b>0，a＋b＝2，可得：(a－1)＋b＝1，a－1>0，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)＝[(a－1)＋b](eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b))＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(a－1,2b)＋eq\f(b,a－1)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(a－1,2b)·\f(b,a－1))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，當且僅當eq\f(a－1,2b)＝eq\f(b,a－1)且a＋b＝2時，即a＝3－eq\r(2)，b＝eq\r(2)－1時等號成立，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值為eq\f(3,2)＋eq\r(2).故選A.9．(2020·四川眉山一中辦學共同體期中)圓x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在兩點關(guān)于直線ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)對稱，則eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為(D)A．3＋2eq\r(2) B．9C．16 D．18[解析]由圓的對稱性可得，直線ax－2by＋1＝0必過圓心(－2,1)，所以a＋b＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝2(5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))≥18，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且a＋b＝eq\f(1,2)時，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)時取等號，故選D.二、多選題10．已知a，b∈R，且ab≠0，則下列結(jié)論恒成立的是(CD)A．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab) B．eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2C．|eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)|≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥2ab[解析]因為eq\f(a,b)和eq\f(b,a)同號，所以|eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)|＝|eq\f(a,b)|＋|eq\f(b,a)|≥2.∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，故選C、D.11．下列命題中正確的是(BD)A．函數(shù)y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)的最小值為4B．函數(shù)y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))的最小值為eq\f(3\r(2),2)C．函數(shù)y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的最小值為2－4eq\r(3)D．函數(shù)y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的最大值為2－4eq\r(3)[解析]A．sinx＝eq\f(4,sinx)取到最小值4，則sin2x＝4，顯然不成立．因為eq\r(x2＋2)≥eq\r(2)，所以取不到“＝”，設(shè)eq\r(x2＋2)＝t(t≥eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,t)在[eq\r(2)，＋∞)上為增函數(shù)，最小值為eq\f(3\r(2),2)，故B正確；因為x>0時，3x＋eq\f(4,x)≥2·eq\r(3x·\f(4,x))＝4eq\r(3)，當且僅當3x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\f(2\r(3),3)時取“＝”，所以y＝2－(3x＋eq\f(4,x))有最大值2－4eq\r(3)，故C項不正確，D項正確．故選B、D.12．(2020·四川成都新都區(qū)診斷改編)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(n,3a＋b)恒成立，則n的值可以為(BC)A．18 B．12C．16 D．20[解析]由題意知n≤(3a＋b)(eq\f(3,a)＋eq\f(1,b))＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)∵10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥10＋2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝16，(當且僅當a＝b時取等號)∴10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)的最小值為16，故n的最大值為16.選B、C.三、填空題13．(2020·廣東惠州調(diào)研)已知x>eq\f(5,4)，則函數(shù)y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值為__7__.[解析]∵x>eq\f(5,4)，∴4x－5>0，∴y＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋5≥2eq\r(4x－5·\f(1,4x－5))＋5＝7，當且僅當4x－5＝eq\f(1,4x－5)即x＝eq\f(3,2)時取等號，∴y的最小值為7.14．(2020·湖南模擬)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)品__80__件．[解析]由題意知平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是eq\f(800,x)元，則eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，當且僅當eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80時“＝”成立，所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件．15．(2020·湖北部分重點中學聯(lián)考)已知x>0，y>0，若eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__(－4,2)__.[解析]∵x>0，y>0，∴eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)≥2eq\r(\f(2y,x)·\f(8x,y))＝8(當且僅當y＝2x時取等號)∴eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)的最小值為8，由題意可知m2＋2m－8<0，解得－4<m即m的取值范圍是(－4,2)．B組能力提升1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋eq\f(1,4x)(0<x<1)的最小值為(C)A．eq\f(5,2) B．eq\f(7,3)C．eq\f(9,4) D．eq\f(11,5)[解析]∵0<x<1，∴1－x>0∴f(x)＝[(1－x)＋x](eq\f(1,1－x)＋eq\f(1,4x))＝eq\f(5,4)＋eq\f(x,1－x)＋eq\f(1－x,4x)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(x,1－x)·\f(1－x,4x))＝eq\f(9,4)(當且僅當2x＝1－x，即x＝eq\f(1,3)時取等號)∴f(x)的最小值為eq\f(9,4)，故選C.2．(2020·山東新泰一中質(zhì)檢)已知△ABC的面積是9eq\r(3)，角A，B，C成等差數(shù)列，其對應(yīng)邊分別是a，b，c，則a＋c的最小值是(A)A．12 B．12eq\r(2)C．10 D．10eq\r(2)[解析]由題意知B＝eq\f(π,3)，∴eq\f(1,2)acsinB＝9eq\r(3)，∴ac＝36，∴a＋c≥2eq\r(ac)＝12，(當且僅當a＝c＝6時取等號)∴a＋c的最小值為12，故選A.3．(2020·山東濟寧期末)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n)的最小值為(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．2 D．4[解析]由題意知A(－2，－1)，∴2m＋n∴2(m＋1)＋n＝6，∴eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n)＝eq\f(1,6)[2(m＋1)＋n](eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n))＝eq\f(1,6)(4＋eq\f(n,m＋1)＋eq\f(4m＋1,n))≥eq\f(1,6)(4＋2eq\r(\f(n,m＋1)·\f(4m＋1,n)))＝eq\f(4,3)，當且僅當n＝2(m＋1)，即m＝eq\f(1,2)，n＝3時取等號，∴eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n)的最小值為eq\f(4,3)，故選B.4．(2020·安徽宣城第二次調(diào)研)已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點，則eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值為(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由題意知m＋n＝