小學(xué)五年級下冊數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識點講解第5課 同余數(shù)的概念和性質(zhì) 試題附答案

小學(xué)五年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第5課《同余數(shù)的概念和性質(zhì)》試題附答案

第五講同余的慨念和性質(zhì)

你會解答下面的問題嗎？

問題1：今天是星期日，再過15天就是“六?一”兒童節(jié)了，問“六?

一”兒童節(jié)是星期幾？

這個問題并不難答.因為，一個星期有7天，而15+7=2…1,即15=7X

2+1,所以“六?一”兒童節(jié)是星期一。

問題2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期幾？

這個問題也難不倒我們.因為，1993年有365天，而365=7X52+1,所以

1994年的元旦應(yīng)該是星期六。

問題1、2的實質(zhì)是求用7去除某一總的天數(shù)后所得的余數(shù).在日常生活中，

時常要注意兩個整數(shù)用某一固定的自然數(shù)去除，所得的余數(shù)問題.這樣就產(chǎn)生

了“同余”的概念.如問題1、2中的15與365除以7后，余數(shù)都是1,那么我們就

說15與365對于模7同余。

同余定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)解有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于

模in同余，用式子表示為：

a=b(modm).(*)

上式可讀作：

a同余于b,模:m。

同余式(*)意味著(我們假設(shè)a》b)：

a-b=mk,k是整數(shù)，即mI(a~b).

例如：①15M365(mod7),因為365-15=350=7X50。

②56=20(mod9),因為56-20=36=9X4。

③90mo(modlO),因為90-0=90=10X9。

由例③我們得到啟發(fā)，a可被m整除，可用同余式表示為：(modm)o

例如，表示a是一個偶數(shù)，可以寫

a=0(mod2)

表示b是一個奇數(shù)，可以寫

b—1(mod2)

補(bǔ)充定義：若m*(a-b),就說a、b對模m不同余，用式子表示是：

a盧b(modin)

我們書寫同余式的方式，使我們想起等式，而事實上，同余式與等式在其

性質(zhì)上相似.同余式有如下一些性質(zhì)(其中a、b、c、d是整數(shù)，而提自然

數(shù))。

性質(zhì)1：a^a(modm),(反身性)

這個性質(zhì)很顯然.因為a-a=0=m?0。

性質(zhì)2：若a三b(modm),那么b^a(roodm),(對稱性)。

性質(zhì)3：若a^b(modm),b=c(modm),那么a=c(modm),(傳遞

性)。

性質(zhì)4：若a^b(modm),c—d(modm),那么a士c^b士d(modm),

(可加減性)o

性質(zhì)5：若a=b(modm),c=d(modm),那么ac=bd(modm)(可乘

性)。

性質(zhì)6：若a=b(modm),那么理三h(modm),(其中n為自然數(shù))。

性質(zhì)7：若ac=bc(modm),(c,m)=1,那么a=b(modm),(記號

(c,ID)裴示c與m的最關(guān)公藥數(shù))o

注意同余式性質(zhì)7的條件(c,m)=1,否則像普通等式一樣，兩邊約去，

就是錯的。

例如6=10(mod4),而3卉5(mod4),因為(2,4)

請你自己舉些例子驗證上面的性質(zhì)。

例1判定288和214對于模37是否同余，74與20呢？

例2求乘積418X814X1616除以13所得的余數(shù)。

例3求143E稱以7的余數(shù)。

例4四盞燈如圖所示組成舞臺彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上

下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，

…，這樣一直進(jìn)行下去.請問開燈1小時四盞燈的顏色如何排列？

H回30秒回國3。秒H囿

開始第一次第二次

例5設(shè)自然數(shù)N=anan-l，，，ala0,其中a。、a：az、…，an分別是個位,

十位，…上的數(shù)碼，再設(shè)M=a0+al+…+an,求證：N=M(mod9)。

例6用棄九法檢驗下面的計算是否正確：

23372458+7312=3544。

例7求自然數(shù)2100+3101+4102的個位數(shù)字。

答案

例1判定288和214對于模37是否同余，74與20呢？

解：:288-214=74=37X2。

二288=214(mod37)。

V74-20=54,而37*54,

二.74盧20(rood37)。

例2求乘積418X814XI616除以13所得的余數(shù)。

分析若先求乘積，再求余數(shù)，計算量太大.利用同余的性質(zhì)可以使“大數(shù)化

小”，減少計算量。

解：7418=2(modi3),

814=8(modi3),1616—4(modi3),

,根據(jù)同余的性質(zhì)5可得：

418X814X1616=2X8X4=64=12(modi3)。

答：乘積418X814X1616除以13余數(shù)是12。

例3求143*滁以7的余數(shù)。

分析同余的性質(zhì)能使“大數(shù)化小”，凡求大數(shù)的余數(shù)問題首先考慮用同余的

性質(zhì)化大為小.這道題先把底數(shù)在同余意義下變小，然后從低次嘉入手，重復(fù)

平方，找找有什么規(guī)律。

解法1：,二143三3(mod?)

.?.143.=3折(mod7)

89=64+16+8+1

而于=2(rood7),

31—4(mod?),

3—16—2(mod7),

3ie—4(mod7),

16—2(mod7),

3J4=4(mod7)。

V3E5=3w3~.3―3三4義4X2X3三5(mod7),

/.143￡5=5(rood7)。

答：14小滁以7的余數(shù)是5。

解法2：證得143野三3的(rood7)后,

3*=32X3」M2X4=1(mod7),

.?⑶』(3s)—I(mod7)o

.?，3?=3E4.34.3=IX4X3=5(mod7)。

.-.143=5=5(mod7)。

例4四盞燈如圖所示組成舞臺彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上

下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，

…，這樣一直進(jìn)行下去.請問開燈1小時四盞燈的顏色如何排列？

-[Ue]f[M

固百ho秒回葡30秒匿囿

開始第一次第二次

分析與解答經(jīng)觀察試驗我們可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過4次互換，四盞燈的顏色排列重

復(fù)一次，而1小時=60分鐘=120X30秒，所以這道題實質(zhì)是求120除以4的余數(shù)，

因為120三0(rood4),所以開燈1小時四盞燈的顏色排列剛好同一開始一樣。

例5設(shè)自然數(shù)N=anan-l，，，ala0,其中a。、a「az、…，an分別是個位,

十位，…上的數(shù)陰，再設(shè)M=a0+al+…+an,求證：N三M(mod9)。

分析首先把整數(shù)N改寫成關(guān)于10的嘉的形式，然后利用10三1(rood9)。

證明：:N=4a1rl…a】a。

壯O,nT-0,,1個0

=、X100-0+、_1x100-0+???+、X10+a0

=，X10n+an_1X10衣_1+???+&1X10+a0

又二1三1(mod9),

10=1(inod9),

102=1(mod9),

10r—1(mod9),

上面這些同余式兩邊分別同乘以、、⑦、勺、??,、4,再相加得：

an+a,X10+a-X10^-+aX10

=a0+ax+a：4—+、(mod9),

即N—M(mod9).

這道例題證明了十進(jìn)制數(shù)的一個特有的性質(zhì)：

任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。

以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之

和，再求這個和被9除的余數(shù)即可。

例如，求1827496被9除的余數(shù)，只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求

和被9除的余數(shù)。

再觀察一下上面求和式.我們可以發(fā)現(xiàn)，和不一定要求出.因為和式中1+

8,2+7,9被9除都余0,求余數(shù)時可不予考慮.這樣只需求4+6被9除的余數(shù).因

此，1827496被9除余數(shù)是1。

有人時常利用十進(jìn)制數(shù)的這個特性檢驗幾個數(shù)相加、相減、相乘的結(jié)果對

不對，這種檢查方法叫：棄九法。

棄九法最經(jīng)常地是用于乘法.我們來看一個例子。

用棄九法檢驗乘式5483*9117曰49888511是否正確？

因為5483=5+4+8+3=11—2(mod9),

9117—9+1+1+7=0(mod9),

所以5483X9117=2X0=0(rood9)。

但是49888511=4+9+8+8+8+5+1+1

—8(mod9),

所以5483X9117^49888511,即乘積不正確。

要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確，但不能保證一定正

確。

例如，9875三9+8+7+5=2(mod9),

4873—4+8+7+3=4(mod9),

32475689=3+2+4+74-5+6+8+9

=8(mod9),

這時，9875X4873=2X4=32475689(mod9)。

但觀察個位數(shù)字立刻可以判定9875X4873r32475689.因為末位數(shù)字5和3

相乘不可能等于9。

棄九法也可以用來檢驗除法和乘方的結(jié)果。

例6用棄九法檢驗下面的計算是否正確：

23372458+7312=3544。

解：把除式轉(zhuǎn)化為：

3544X?312=23372458o

3544=3+5+4+4=7(mod9),

7312=7+3+1+2-(mod9),

?.3544X7312=7X4=1(mod9),

但23372458三2+3+3+8三7(rood9)。

而1盧7(rood9)

.-.3544X7312戶23372458,

即23372458+7312戶3544。

例7求自然數(shù)2100+3101+4102的個位數(shù)字。

分析求自然數(shù)的個位數(shù)字即是求這個自然數(shù)除以10的余數(shù)問題。

解：21OC=24X：5=62--6(mod10),

31C1=34X：5??3:=3(mod10),

41cz=(2:)100?4:=6?6=6(mod10),

.，.210°+3101+4102=6+3+6=5(mod10),

即自然數(shù)218+3】。1+4儂的個位數(shù)字是5.

習(xí)題五

1.驗證對于任意整數(shù)a、b,式子a^b(modi)成立，并說出它的含義。

2.已知自然數(shù)a、b,c,其中c〉3,以c余1,b除以c余2,則ab除以c余

多少？

3.1993年的六月一日是星期二，這一年的十月一日是星期幾？

4.求3333”*+5555”交被7除的余數(shù)。

5.所有自然數(shù)如下圖排列.問300位于哪個字母下面？

ABCDEFG

~~~2_3_

765

891011

141312

1516…

1993個1

6.五二1數(shù)，被13除余多少？(提示：先試除，可知131111111,而1993M

1(mod6))。

7.用棄九法檢驗下面運(yùn)算是否正確：

①8