集合學(xué)習提綱

集合學(xué)習提綱一、 學(xué)習內(nèi)容每個學(xué)生都應(yīng)該用的?集合概念及表示法。2?子集。3?交集。4?并集。每個學(xué)生都應(yīng)該用的二、 知識點解析?集合集合概念：和幾何中的點、線、面一樣，集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，不能用其他基本概念來定義，它們也叫做不定義的概念或原始概念。對于一個集合，有以下三個特性：確定性：“對于一個給定的集合，集合中的元素都是確定的”，也就是說，對于任何一個作為具體研究對象的元素，都能確定這個元素是這個集合的元素或不是這個集合的元素，兩種情況有且只有一種成立。因此，諸如“高一(1)班個子高的同學(xué)”，“比較大的角”等，就不能構(gòu)成集合，因為“個子高”和“比較大”沒有一個確定的標準?；ギ愋裕簩τ诮o定集合中的任意兩個元素，它們必定不相同，即同一集合中元素不能重復(fù)出現(xiàn)。這個特性在解某些問題時非常重要。無序性：由于集合是指一組對象的全體，而不論這些對象的先后順序，因此在表示集合時，元素排列的先后順序不影響集合的表示。集合的表示法。表示集合常用下列兩種方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法叫做列舉法，當元素個數(shù)較多，或集合為無限集，在用列舉法表示集合時，可以采用省略號，但應(yīng)能很容易看出該集合中元素的規(guī)律。女如“小于100的正奇數(shù)”集合可表示為｛1,3,5,7,……，99｝「'負整數(shù)”集合可表示為｛-1，-2，-3，-4，…｝?！撼墝W(xué)習筆記』描述法：把集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法叫做描述法。豎線前面是這個集合的元素的一般形式，豎線后面是這個集合的元素的公共屬性?！撼墝W(xué)習筆記』如｛x|x+3=3x-1｝，表示元素x是方程x+3=3x-1的解，即x=2。亦即｛x|x+3=3x-1｝=｛x|x=2｝=｛2｝。所有整數(shù)組成的集合可以寫成｛整數(shù)｝，而｛所有整數(shù)｝的寫法就不正確了。符號“e”與“電”。表示“屬于”的符號“w”和表示“不屬于”的符號電?！半姟?或“e”)僅表示元素和集合之間的關(guān)系，不能表示兩個集合之間的關(guān)系。由集合中元素的確定性，對于任意的元素a和集合M，在“aGM”和“a電M”這兩種關(guān)系中必有且只有一種關(guān)系成立。常用的數(shù)集記號。以數(shù)為元素的集合叫數(shù)集。按約定，在通常情況下常用的數(shù)集符號有N——自然數(shù)集；Z——整數(shù)集；Q——有理數(shù)集；R——實數(shù)集，還有Z——負整數(shù)集；Q+ 正有理數(shù)集等。?子集子集的定義：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。即若xGA，就必有xGB，則稱A為B的子集。但不能說“集合B中的部分元素組成的集合A叫集合B的子集”，因為這和“空集是任何集合的子集”的

規(guī)定矛盾，也和“任何一個集合是它本身的子集”的結(jié)論矛盾。如集合A是集合B的子集，我們記作A匸B（或BRA），讀為“A包含于B”（或“B包含A”）。如果集合A不是集合B的子集，相應(yīng)地記作A匸B。每個學(xué)生都應(yīng)該用的由子集的定義，A匸A,即任何一個集合是它本身的子集。每個學(xué)生都應(yīng)該用的若集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不屬于A，則稱集合A是集合B的真子集，記作A匚B（或B^A），讀為“A真包含于B”（或“B真包含A”），如A不是B的真子集，相應(yīng)地記作A^B。由此規(guī)定，空集是任何非空集合的真子集，但不能說“空集是任何集合的真子集”，因為空集不是空集的真子集，只能說“空集是任何集合的子集”，即f匸A。由子集和真子集的定義，很容易證明集合的包含關(guān)系有傳遞性，即：若A匸B,B匸C，則A匸C，若A^B,B^C,則A^C。（2） 空集：不含任何元素的集合叫做空集。用符號“（p”表示，如{x|x2+l=0，xGR}是空集。但“{p}”不是空集，它是以集合為元素的集合（這個元素是空集），{0}也不是空集，它有一個元素0。（3） 符號“匸”、“R”、“U”、“二”。這幾個符號僅適用于兩個集合之間的關(guān)系，而“w”、“纟”是用于元素與集合之間的關(guān)系。（4） 集合的相等，若集合A和B,既滿足A匸B，又滿足BRA，則稱這兩個集合相等，記作A=B，讀作“A等于B”，因此，要證明A=B只要證明A匚B，同時B匚A就可以了。（5） 韋恩圖。如兩個集合A和B有關(guān)系A(chǔ)^B，可以用圖形象地表示如右圖，這個圖常稱為韋恩圖，其中兩條封閉曲線內(nèi)部分別表示集合A和B，韋恩圖可以形象地幫助我們思考集合的一些問題。（6） 集合的子集個數(shù)。一個有n個元素（n已N）的有限集A,它有2n個子集，『超級學(xué)習筆記』其中包含空集Q和它本身A。因此，集合A有2n-1個非空子集（不含Q，含A），有2n-1個真子集（不含A，含Q），有2n-2個非空真子集（不含Q,A）?！撼墝W(xué)習筆記』?交集（1）交集的定義，由所有屬于集合A且屬于B的元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，用符號“AAB”表示，讀作“A交B”。實際上AAB是由所有集合A和集合B的公共元素所組成的集合。用集合的寫法，可以表示為AAB={x|xGA，且xGB}。AAB也可以用韋恩圖表示如下。⑵交集的性質(zhì)。由交集的定義和集合相等的定義，很容易得到：AAA=A,AAe=e,AAB=BAA。對AAe=e證明如下：假設(shè)存在元素xG（AAe），則由交集定義得xGe，與空集e的定義矛盾，所以ane中不存在任何元素，即Ane=e。此外，還容易證明，AnB=B與B匸A等價。每個學(xué)生都應(yīng)該用的(3)交集與方程組，不等式組，求方程組的解集，即求方程組中每一個方程的解集的交集。求不等式組的解集，即求不等式組中每一個不等式的解集的交集。每個學(xué)生都應(yīng)該用的?并集并集的定義。由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與B的并集，用符號“AUB”表示，讀作“A并B”。實際上AUB是由集合A和集合B中所有元素組成的集合，但集合A與B的公共元素在AUB中只能出現(xiàn)一次，用集合的寫法，可以表示為AUB={x|xGA，或xGB}。注意“XeA，或xeB”中“或”的意義包含三種情況：Xea,但x電B；A，但x電B,xeA,且xeBoAUB可以用韋恩圖中的陰影部分表示。并集的性質(zhì)，由并集的定義和集合相等的定義，很容易得到： AUA=A,AUf=A,AUB=BUAo由交集和并集的定義，也容易得到(AnB)匸A匸(AUB),(AnB)匸B匸(AUB)。三、典型例題【例1】用另一種表示法寫出下列各集合：(1){3的整數(shù)倍}；(2){1,6,11,16,?}o解：(1){x|x=3n,nGZ}；(2){被5除余1的自然數(shù)}。x【例2】已知集合A={x|—ez,xeZ},B={x|6xeQ,xeQ}；6『超級學(xué)習筆記』判斷集合A、B是有限集還是無限集；⑵判斷-2,V2,10與集合A、B的關(guān)系。『超級學(xué)習筆記』解：(1)A={-6,-3,-2,-1,1,2,3,6},B={有理數(shù)}，所以A是有限集，B是無限集。-2eA, 2電A,10電A；-2eb,%2eA,10eb。【例3】已知集合{2,x-1,2x2-5x+5},求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件。解：由集合中元素的互異性，2Hx-1解得xH3。32工2x2-5x+5解得x工1，且x工―。③x-1工2x2-5x+5,2x2-6x+6工0,A=36-48<0。

3所以xH3，且xHl，且x豐—。2【例4】例4?指出下列集合之間的關(guān)系：每個學(xué)生都應(yīng)該用的A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等邊三角形}；每個學(xué)生都應(yīng)該用的A={x|x2-x-2=0},B={x|-1WxW2}，C={x|x2+4=4x}解：⑴CUBUA(2)A={-1，2}，B={x|-1WxW2}，C={2}，所以CUAUB。【例5】已知集合A={1,2},B={4,k2},且AABH?，求實數(shù)k的值。解：丁AABH?，4纟A,.°.k2=1或k?=2。k=土1或k=± ?！纠?】已知平面上的點集A={(x，y)|y=2x+1}， B={(x，y)|y=2x-1}，求AAB和AUB,并說明它們的幾何意義。y=2x+1解:AAB={(x,y)|< }因直線l:y=2x+1和直線l:y=2x-1互相平行，y二2x-1 1 2Jl和l沒有公共點，所以aab=?。12AUB={(x,y)|y=2x+1，或y=2x-1}，它的幾何意義是兩條平行直線?！撼墝W(xué)習筆記』【例7】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-4x+r=0}