專題08平面向量的應(yīng)用（知識梳理精講）原卷版

專題08平面向量的應(yīng)用知識點一正弦定理（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理公式常見變形（1），，；（2），，；（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r．）（3）正弦定理的應(yīng)用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（4）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．題型1：正弦定理的應(yīng)用例1．（1）、（2021上·云南大理·高二?？茧A段練習(xí)）已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（2）、（2022下·甘肅·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，角的對邊分別是，已知，則．（3）、（2023上·河北·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則．1．（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，若，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，則（

）A． B．或 C． D．或3．（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）在中，設(shè)角及所對邊的邊長分別為及，若，，，則邊長．知識點二余弦定理（1）余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，定理余弦定理公式；；．常見變形；；．【解題方法總結(jié)】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．題型2：余弦定理的應(yīng)用例2．（1）、（2023上·全國·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，則．（2）、（2023下·江西·高一校聯(lián)考期末）已知中角所對的邊分別為，若，則.（3）、（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．（4）、（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．1．（2023上·新疆·高二學(xué)業(yè)考試）在中，已知，，，則.2．（2023下·山東棗莊·高一統(tǒng)考期中）中，為邊的中線，，，，則中線的長為.3．（2023下·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且，則（

）A．1 B． C． D．24．（2023下·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的角，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A．4 B．6 C． D．題型3：判斷三角形的形狀例3．（1）、（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“”是“為等腰三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（2）、（2022上·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形（3）、（2023上·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則是直角三角形1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．則為（）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）對于，有如下判斷，其中正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，則符合條件的有兩個D．若，則是鈍角三角形題型4：正、余弦定理與的綜合應(yīng)用例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，已知．(1)求角的大小；(2)若是邊上的一點，且，，求面積的最大值．例5．（2022上·貴州黔東南·高二?？计谀┤鐖D，在中，已知點在邊上，且，，，．(1)求的長；(2)求．1．（2022上·河南省直轄縣級單位·高二河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？计谀┰冖傧蛄浚?，且，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并加以解答.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，______.(1)求角B的大小；(2)若，，求的面積.2．（2023上·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知平面四邊形中，對角線平分角與相交于點，且，(1)求的長；(2)若，求的面積.題型5：解三角形實際應(yīng)用例5．（1）、（2023上·河北承德·高三校聯(lián)考期中）河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產(chǎn)，是我國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證．一名身高的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據(jù)此估計該須彌塔的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）（2）、（2023上·江蘇淮安·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如圖1，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高，某同學(xué)受此法的啟發(fā)設(shè)計了另一種測量此山高度的方案（如圖2）；他站在水平線上，同時在水平線上放一個小鏡子（視為點），他在距離鏡子米點時，通過鏡子看到了山頂，然后沿水平線向靠近山的方向走了米，到達(dá)點，再將鏡子放在距離自己米的前方點處，此時又看到了山頂，若此人的眼睛到水平線的距離為米，則此山的高度約為（

）米A． B． C． D．1．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，某景區(qū)欲在兩山