33北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

石景山區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高二期末試卷數(shù)學(xué)第一部分一?選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.若直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，故選A.2.直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線斜率之間的關(guān)系，以及所求直線過已知直線與x軸交于點(diǎn)可得.【詳解】直線的斜率為2，與x軸交于點(diǎn)，則與關(guān)于x軸對稱的直線斜率為，并過點(diǎn)，所以，所求方程為，即.故選：D3.已知，是兩個不同的平面，直線m滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷．【詳解】充分性：根據(jù)面面平行的定義知充分性成立；必要性：設(shè)，當(dāng)，且，，此時，但是與相交，故必要性不成立．故選：A．4.已知雙曲線的離心率是2，則（）A.12 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，故選：B.5.用可以組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為（）A.25 B.20 C.16 D.15【答案】C【解析】【分析】利用間接法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】從中任選兩個數(shù)字，組成兩位數(shù)的個數(shù)有個，其中數(shù)字0排首位的有4個，所以滿足條件的兩位數(shù)有個.故選：C6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（）A.直線坐標(biāo)平面 B.直線坐標(biāo)平面C.直線坐標(biāo)平面 D.直線坐標(biāo)平面【答案】C【解析】【分析】首先求向量的坐標(biāo)，再判斷向量與坐標(biāo)平面的法向量的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知，，平面法向量為，因?yàn)?，且所以與既不平行也不垂直，所以直線與坐標(biāo)平面既不平行也不垂直，故AB錯誤；坐標(biāo)平面的法向量為，，所以，且平面，故C正確，D錯誤.故選：C7.已知直線，直線.若，則實(shí)數(shù)（）A.-3 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：D8.棱長為2的正方體中，是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】的中點(diǎn)為，有，余弦定理求即可；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成的角.【詳解】解法一：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，

分別是的中點(diǎn)，，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角.正方體棱長為2，面對角線長為，由正方體的結(jié)構(gòu)可知，中，，，則，同理，在中，，，由余弦定理可知.所以異面直線與所成角的余弦值是.解法二：以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，有，，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：A.9.為直線上一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最小值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線與圓相切或相離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過總能作圓的切線，可得直線與圓相切或相離，則滿足圓心到直線的距離，解得，即，所以的最小值為.故選：D.10.廡殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級建筑上，廡殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五脊殿”．圖2是根據(jù)廡殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面是矩形，且四個側(cè)面與底面的夾角均相等，則（）．A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，作，，垂足分別為，，設(shè)四個側(cè)面與底面的夾角為，即可得到，根據(jù)三角形全等得到方程，整理即可.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，作，，垂足分別為，．則為側(cè)面與底面的夾角，為側(cè)面與底面的夾角，設(shè)四個側(cè)面與底面的夾角為，則在和中，，又為公共邊，所以，即，整理得．故選：A第二部分二?填空題共5小題．11.在的展開式中，的系數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式求通項(xiàng)，再求對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】設(shè)展開式中通項(xiàng)為：令，則.故答案為：12.直線與直線之間的距離為__________.【答案】【解析】【分析】代入平行線間的距離公式，即可求解.【詳解】直線，則與之間的距離.故答案為：13.已知圓的半徑為3，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】首先將圓一般方程，寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用半徑為3，即可求解.【詳解】圓的一般方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓的半徑為可知，，得.故答案為：14.方程表示的曲線是__________，其標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】①.橢圓②.【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義即可得解.【詳解】方程，表示點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于，而，所以方程表示的曲線是橢圓，且長軸長，焦距，所以，所以半短軸長，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：橢圓；.15.如圖，在正四棱柱中，為棱上的一個動點(diǎn)，給出下列四個結(jié)論：①；②三棱錐的體積為定值；③存在點(diǎn)，使得平面；④存在點(diǎn)，使得平面.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②③【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及空間向量的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以①正確；由，因?yàn)榈拿娣e為定值，點(diǎn)到平面的距離也是定值，所以為定值，所以②正確；又由設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)?，由，解得，所以③正確；又因?yàn)?，，則，所以不存在點(diǎn)，使得平面，所以④錯誤.故選：①②③.三?解答題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為邊所在直線過點(diǎn).（1）求邊所在直線的方程；（2）求對角線所在直線的方程.【答案】16.BC所在直線方程為，AD所在直線方程為17.【解析】【分析】（1）求出，由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直關(guān)系得到，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，得到答案.【小問1詳解】由菱形的性質(zhì)可知，則.所以邊所在直線的方程為，即；邊所在直線的方程為，即.【小問2詳解】線段的中點(diǎn)為，由菱形的幾何性質(zhì)可知，且為的中點(diǎn)，則，所以對角線所在直線的方程為，即.17.如圖正方體的棱長為2，E是棱的中點(diǎn)，過的平面與棱相交于點(diǎn)F.（1）求證：F是的中點(diǎn)；（2）求點(diǎn)D到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到，結(jié)合E是棱的中點(diǎn)，得到結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)空間向量求解出點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，故，故，又E是棱的中點(diǎn)，所以F是的中點(diǎn).【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，故，點(diǎn)D到平面的距離為.18.已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程，確定，即可求拋物線方程；（2）首先直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)以及弦長，即可求解圓的方程.【小問1詳解】由題意知，所以.所以拋物線的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立，得，其中，設(shè)，線段的中點(diǎn)為.則，所以.，所以以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為4，所以以線段為直徑的圓的方程為.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．求二面角的大小.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，證得，得到四邊形為平行四邊形，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）選擇條件①：根據(jù)題意，證得，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；選擇條件②：以為原點(diǎn)，連接，求得，分別求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以且，在菱形中，因?yàn)榍遥?所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?【小問2詳解】解：選擇條件①：因?yàn)槠矫?，平面，所?連接，因，且，所以，在菱形中，，即為正三角形，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榍?又因?yàn)闉檎切吻?，所以，則，則，由平面，可得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，所以二面角的大小為.選擇條件②：因?yàn)槠矫妫移矫?，所?又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，因?yàn)榍?，又因?yàn)橛譃橹悬c(diǎn)，所以，所以為正三角形且，所以，則，則，由平面，可得平面法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，所以二面角的大小為.20.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求解；（2）首先討論時的特殊情況，再討論當(dāng)時，再求直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，再讓直線與直線聯(lián)立方程，求點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】由題意可得，解得，橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)則直線的斜率為，（i）當(dāng)時，則直線與軸垂直，點(diǎn)即