四川省眉山市仁壽第一中學南校區(qū)2023-2024學年高二上學期12月月考數(shù)學試題

2023-2024學年高二數(shù)學上學期12月月考考試（考試時間：120分鐘，試卷滿分：150分）第I卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列是首項，公差均為1的等差數(shù)列，則（）A.9 B.8 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式求解.【詳解】，.故選：D2.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把拋物線方程化成標準方程，再求其準線.【詳解】拋物線方程化成標準方程為：，所以，且拋物線開口向上.所以拋物線準線為：.故選：B3.甲、乙兩個雷達獨立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標的概率分別是0.9和0.8，飛行目標被雷達發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98【答案】D【解析】【分析】設事件表示“甲雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標”，事件表示“乙雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標”，飛行目標被雷達發(fā)現(xiàn)的概率為，從而即可求解.【詳解】設事件表示“甲雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標”，事件表示“乙雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標”，因為甲乙兩個雷達獨立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標的概率分別是和，所以，所以飛行目標被雷達發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D4.在等差數(shù)列中，，則的值是（）A.36 B.48 C.72 D.24【答案】A【解析】【分析】利用等差中項的性質求得，再由即可得結果.【詳解】由題設，，則，所以故選：A5.已知是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，且平面平面，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷，求得，，可得，再根據(jù)投影向量公式求解即可.【詳解】因為是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，且平面平面，所以得，則，得，，所以所以在上的投影向量為，故選：B.6.已知直線與雙曲線無公共交點，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線的幾何形狀可得，結合離心率的定義分析求解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，因為直線與C無公共點，所以，則，且，所以C的離心率的取值范圍為.故選：D.7.已知為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質以及通徑，可得，，再根據(jù)已知列式，結合橢圓的關系，求出離心率即可.【詳解】為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，由橢圓的性質，可得.過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.8.在平面直角坐標系中，點，若點滿足，則的最小值為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點的軌跡方程為，設，整理可得，從而將所求轉化為點到點和點的距離之和的一半，再結合圖象進行求解即可.【詳解】設，由，得，化簡整理得，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，設，則，故，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：設，得出，將問題轉化為點到點和點的距離之和的一半是解決本題的關鍵.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知曲線：，：，則（）A.的長軸長為4 B.的漸近線方程為C.與的焦點坐標相同 D.與的離心率互為倒數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標準方程，結合它們的幾何性質逐項判斷即可.【詳解】可知曲線：是焦點在軸上的橢圓，設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距長為，則，可得，離心率為，故曲線的長軸長，故A不正確；可知曲線：是焦點在軸上的雙曲線，設雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，半焦距長為，則，可得，離心率為，故與曲線的焦點位置不同，故C不正確；雙曲線：的漸近線方程為，故B正確；又因為，所以與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10.已知點是圓上的任意一點，直線，則下列結論正確的是（）A.直線與圓的位置關系只有相交和相切兩種B.圓的圓心到直線距離的最大值為C.點到直線距離的最小值為D.點可能在圓上【答案】ACD【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，判斷點與圓的位置關系，可判斷A選項；利用當直線與圓相切時，圓的圓心到直線距離最大可判斷B選項；求出圓心到直線的距離，利用圓的幾何性質可判斷C選項；判斷兩圓的位置關系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為直線的方程可化為．令解得，所以直線過定點，直線是過點的所有直線中除去直線外的所有直線，圓心到直線的距離為，即直線與圓相交，又點在圓上，所以直線與至少有一個公共點，所以直線與圓的位置關系只有相交和相切兩種，A正確；對于B選項，當直線為圓的切線時，點到直線的距離最大，且最大值為，B錯誤；對于C選項，因為圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線距離的最小值為，C正確；對于D選項，圓的圓心為原點，半徑為，因為，所以，圓與圓內(nèi)切，故點可能在圓上，D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB的中點，則下列結論正確的是（）A.點B到直線的距離為B.直線CF到平面的距離為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法即可結合選項逐一求解．【詳解】在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，則點到直線的距離為：，故A正確；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，設平面的法向量,,，則，取，得,2,，由于分別為的中點，所以且，因此四邊形為平行四邊形，故,又平面,平面,所以平面，直線到平面的距離為，故B正確；設直線與平面所成角為，則，故C錯誤；,2,，,,，設直線與直線所成角為，則，故D正確．故選：ABD．12.我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓C：，，，，為頂點，，為焦點，P為橢圓上一點，下列條件能使橢圓C為“黃金橢圓”的有（）A.長軸長為4，短軸長為 B.C.軸，且 D.四邊形的內(nèi)切圓過焦點，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓性質結合解直角三角形一一計算判定即可.【詳解】對于A項，若長軸長為4，短軸長為，可知此時，即A錯誤；對于B項，若，此時，即，符合定義，即B正確；對于C項，若軸，且，易得，且，則，即C錯誤；對于D項，若四邊形的內(nèi)切圓過焦點，，則O到直線的距離為，此時，解之得，又，符合定義，即D正確.故選：BD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的首項__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推關系，分別令和，代入運算求解即可.【詳解】因為，令，則，解得；令，則，解得.故答案為：214.“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的游戲，游戲時雙方每次任意出“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢中的一種，那么游戲時“雙方所出的手勢不同”的概率為______.【答案】【解析】【分析】首先確定所有手勢的結果種數(shù)和手勢相同的種數(shù)，根據(jù)古典概型和對立事件概率公式可求得結果.【詳解】游戲時，雙方所出的手勢共有種；其中“雙方所出的手勢相同”有種；“雙方所出的手勢不同”的概率.故答案為：.15.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，曲線為圓的右半圓，作出直線與曲線的圖象，可知直線是過點且斜率為的直線，求出當直線與曲線相切時的值，利用數(shù)形結合思想可得出當直線與曲線有兩個公共點時實數(shù)的取值范圍.【詳解】對于直線，則直線是過點且斜率為的直線，對于曲線，則，曲線方程兩邊平方并整理得，則曲線為圓的右半圓，如下圖所示：當直線與曲線相切時，，且有，解得，當直線過點時，則有，解得.結合圖象可知，當時，直線與曲線有兩個交點.故答案為：.【點睛】本題考查利用直線與曲線的交點個數(shù)求參數(shù)，解題的關鍵就是將曲線化為半圓，利用數(shù)形結合思想求解，同時要找出直線與曲線相切時的臨界位置，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.16.已知直線：，：，，若和交于點，則的最大值是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的性質分析可知點M的軌跡為以為直徑的圓，結合圓的性質分析求解.【詳解】對于直線：，當時，恒成立，即過定點，記為A，對于直線：，當時，恒成立，則恒過定點，記為，因為，無論m取何值，與都互相垂直，和交于點M，所以，即點M的軌跡為以為直徑的圓，可知圓心為，半徑為，所以的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列等差數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用給定的前項和求出通項即得.（2）令，再利用等差數(shù)列定義判斷即可.【小問1詳解】數(shù)列的前項和，當時，，當時，，滿足上式，所以的通項公式為.【小問2詳解】設，其中，因此，則，數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列是首項為12，公差為的等差數(shù)列.18.某市為了解社區(qū)新冠疫菌接種的開展情況，擬采用分層抽樣的方法從三個行政區(qū)抽出6個社區(qū)進行調查．已知三個行政區(qū)中分別有個社區(qū)．（1）求從三個行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個數(shù)；（2）若從抽得的6個社區(qū)中隨機抽取2個進行調查．①試列出所有可能的抽取結果；②設事件M為“抽取2個社區(qū)中至少有一個來自A行政區(qū)”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）從三個行政區(qū)中應分別抽取的社區(qū)個數(shù)為；（2）①答案見解析；②．【解析】【分析】（1）求出抽樣比，即可求出從三個行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個數(shù)；（2）①設為在A行政區(qū)中抽得的2個社區(qū)，為在B行政區(qū)中抽得的3個社區(qū)，為在C行政區(qū)中抽得的社區(qū)，即可用有序數(shù)對表示出所有結果；②根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】（1）社區(qū)總數(shù)為，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為所以從三個行政區(qū)中應分別抽取的社區(qū)個數(shù)為（2）①設為在A行政區(qū)中抽得的2個社區(qū)，為在B行政區(qū)中抽得的3個社區(qū)，為在C行政區(qū)中抽得的社區(qū)，在這6個社區(qū)中隨機抽取2個，全部可能的結果有，共有15種．②設事件“抽取的2個社區(qū)至少有1個來自A行政區(qū)”為事件M，則事件M所包含的所有可能的結果有：，共有9種．所以這2個社區(qū)中至少有1個來自A行政區(qū)的概率為19.已知圓的圓心坐標，直線被圓截得弦長為．（1）求圓的方程；（2）從圓外一點向圓引切線，求切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；（2）對切線的斜率是否存在進行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗證即可；在第二種情況下，設出切線方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方程.【小問1詳解】解：圓心到直線的距離為，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問2詳解】解：當切線的斜率不存在時，則切線的方程為，且直線與圓相切，合乎題意；當切線的斜率存在時，設切線方程為，即，由題意可得，解得，此時，切線的方程為.綜上所述，所求切線的方程為或.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設.（1）寫出、的坐標，利用空間向量法計算出直線與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可計算得出直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設.以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線、所成角的余弦值為；（2）設平面的一個法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（3）設平面的一個法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.21.已知橢圓C：的離心率為，左頂點坐標為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，設點，問：直線BM，BN的斜率之和是否為定值？若是，請求出該值；否則，請說明理由．【答案】（1）（2）為定值，定值為-2【解析】【分析】（1）由題意，先求得a值，根據(jù)離心率，可得c值，根據(jù)a，b，c的關系，可得的值，即可得答案.（2）當直線l斜率存在時，設直線l：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得的表達式，根據(jù)斜率公式，求得的表達式，化簡整理，即可得答案；