【初中數(shù)學(xué)】【二次函數(shù)】8通過(guò)圖像判斷abc代數(shù)式的正負(fù)

【初中數(shù)學(xué)】【二次函數(shù)】8通過(guò)圖像判斷abc代數(shù)式的正負(fù)匯報(bào)人：AA2024-01-24contents目錄引言二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)通過(guò)圖像判斷a的正負(fù)通過(guò)圖像判斷b的正負(fù)通過(guò)圖像判斷c的正負(fù)總結(jié)與拓展引言01幫助學(xué)生理解如何通過(guò)圖像判斷二次函數(shù)abc代數(shù)式的正負(fù)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高分析和解決問(wèn)題的能力為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用打下基礎(chǔ)目的和背景03c的正負(fù)決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)位置當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸；當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸。01a的正負(fù)決定了拋物線的開(kāi)口方向當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。02b的正負(fù)決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸位置當(dāng)b>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)b<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)。代數(shù)式abc正負(fù)的意義二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)02二次函數(shù)的一般形式為$y=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其形狀由系數(shù)$a$決定。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。二次函數(shù)的定義和圖像對(duì)稱(chēng)軸將拋物線分為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的部分，每部分與對(duì)稱(chēng)軸的距離相等。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$，頂點(diǎn)位于對(duì)稱(chēng)軸上。二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線$x=-frac{2a}$。對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)遞減，右側(cè)遞增。當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)遞增，右側(cè)遞減。無(wú)論$a$的正負(fù)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值，即當(dāng)$x=-frac{2a}$時(shí)，$y=c-frac{b^2}{4a}$。開(kāi)口方向和增減性通過(guò)圖像判斷a的正負(fù)03當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線。拋物線開(kāi)口向上對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)頂點(diǎn)在x軸下方對(duì)稱(chēng)軸x=-b/2a在y軸的左側(cè)，即-b/2a<0。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)在x軸的下方，即-(b^2-4ac)/4a<0。030201a>0時(shí)的圖像特征當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)的圖像是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線。拋物線開(kāi)口向下對(duì)稱(chēng)軸x=-b/2a在y軸的右側(cè)，即-b/2a>0。對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)在x軸的上方，即-(b^2-4ac)/4a>0。頂點(diǎn)在x軸上方a<0時(shí)的圖像特征案例二已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，頂點(diǎn)在x軸上方。根據(jù)這些特征可以判斷出a<0。案例一已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，頂點(diǎn)在x軸下方。根據(jù)這些特征可以判斷出a>0。案例三已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)和(3,0)，且開(kāi)口向上。根據(jù)這些條件可以列出方程組求解出a、b、c的值，并進(jìn)一步判斷出a>0。案例分析通過(guò)圖像判斷b的正負(fù)04010204b>0時(shí)的圖像特征二次函數(shù)圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線。對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，即x=-b/2a>0。頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）滿足h=-b/2a>0，k=(4ac-b^2)/4a。當(dāng)x=0時(shí)，y=c>0，即圖像與y軸交點(diǎn)在正半軸上。03二次函數(shù)圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線。對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，即x=-b/2a<0。頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）滿足h=-b/2a<0，k=(4ac-b^2)/4a。當(dāng)x=0時(shí)，y=c>0，即圖像與y軸交點(diǎn)在正半軸上。01020304b<0時(shí)的圖像特征【案例1】已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0），且對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，則b的符號(hào)為_(kāi)___。案例分析【分析】由題意可知，對(duì)稱(chēng)軸x=-1<0，因此b的符號(hào)為正。案例分析【案例2】已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）和（-1,0），則b的符號(hào)為_(kāi)___。案例分析【分析】由題意可知，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）和（-1,0），因此對(duì)稱(chēng)軸為x=0。又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y=2>0，所以a>0。因此，b的符號(hào)無(wú)法確定。案例分析通過(guò)圖像判斷c的正負(fù)05

c>0時(shí)的圖像特征拋物線開(kāi)口向上當(dāng)c>0時(shí)，二次函數(shù)的圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線。頂點(diǎn)在x軸上方由于拋物線開(kāi)口向上，且c為正數(shù)，因此拋物線的頂點(diǎn)一定在x軸上方。與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)c>0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根。當(dāng)c<0時(shí)，二次函數(shù)的圖像是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線。拋物線開(kāi)口向下由于拋物線開(kāi)口向下，且c為負(fù)數(shù)，因此拋物線的頂點(diǎn)一定在x軸下方。頂點(diǎn)在x軸下方當(dāng)c<0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根。與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)c<0時(shí)的圖像特征案例一01對(duì)于二次函數(shù)y=x^2+2x+3，由于c=3>0，因此其圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)在x軸上方，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。案例二02對(duì)于二次函數(shù)y=-x^2+2x-3，由于c=-3<0，因此其圖像是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，頂點(diǎn)在x軸下方，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。案例三03對(duì)于二次函數(shù)y=x^2-2x+1，由于c=1>0，因此其圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)在x軸上方。又因?yàn)樵摵瘮?shù)的判別式Δ=0，所以該函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即頂點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)。案例分析總結(jié)與拓展06觀察開(kāi)口方向當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，$a>0$；當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，$a<0$。觀察對(duì)稱(chēng)軸位置對(duì)稱(chēng)軸$x=-frac{2a}$。若對(duì)稱(chēng)軸在$y$軸左側(cè)，則$a$、$b$同號(hào)；若對(duì)稱(chēng)軸在$y$軸右側(cè)，則$a$、$b$異號(hào)。觀察與$y$軸交點(diǎn)當(dāng)拋物線與$y$軸交點(diǎn)在正半軸時(shí)，$c>0$；當(dāng)拋物線與$y$軸交點(diǎn)在負(fù)半軸時(shí)，$c<0$?？偨Y(jié)通過(guò)圖像判斷abc代數(shù)式正負(fù)的方法通過(guò)斜率判斷增減性，通過(guò)截距判斷與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。一次函數(shù)通過(guò)圖像判斷比例系數(shù)的正負(fù)，分析函數(shù)在不同象限的性質(zhì)。反比例函數(shù)通過(guò)觀察圖像的周期、振幅和相位等特征，分析函數(shù)的性質(zhì)。正弦、余弦函數(shù)拓展到其他類(lèi)型的函數(shù)圖像分析掌握基礎(chǔ)知識(shí)多做練習(xí)題建立數(shù)學(xué)思維尋