《動(dòng)態(tài)規(guī)劃朱全民》課件

動(dòng)態(tài)規(guī)劃朱全民動(dòng)態(tài)規(guī)劃簡(jiǎn)介動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化策略動(dòng)態(tài)規(guī)劃的常見(jiàn)問(wèn)題與解決方案動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用案例contents目錄01動(dòng)態(tài)規(guī)劃簡(jiǎn)介動(dòng)態(tài)規(guī)劃的定義動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種通過(guò)將問(wèn)題分解為相互重疊的子問(wèn)題，并存儲(chǔ)子問(wèn)題的解決方案以避免重復(fù)計(jì)算的方法，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的有效求解。它是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過(guò)將原問(wèn)題分解為若干個(gè)相互重疊的子問(wèn)題，并逐個(gè)求解，最終得到原問(wèn)題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想是將問(wèn)題分解為子問(wèn)題，并從子問(wèn)題的最優(yōu)解逐步構(gòu)造出原問(wèn)題的最優(yōu)解。輸入標(biāo)題02010403動(dòng)態(tài)規(guī)劃的分類根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的不同，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以分為確定性動(dòng)態(tài)規(guī)劃和不確定性動(dòng)態(tài)規(guī)劃。離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃是指狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中只包含離散變量的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，而連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是指狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中包含連續(xù)變量的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的形式，動(dòng)態(tài)規(guī)劃還可以分為離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃和連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃。確定性動(dòng)態(tài)規(guī)劃是指狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中不含有隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，而不確定性動(dòng)態(tài)規(guī)劃是指狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中含有隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。如背包問(wèn)題、任務(wù)調(diào)度問(wèn)題等，通過(guò)合理分配資源以達(dá)到最大效益或最小成本。資源分配問(wèn)題最短路徑問(wèn)題決策過(guò)程優(yōu)化數(shù)據(jù)壓縮與編碼如旅行商問(wèn)題、排程問(wèn)題等，通過(guò)尋找最優(yōu)路徑以最小化時(shí)間、成本或距離。如生產(chǎn)計(jì)劃、投資決策等，通過(guò)制定最優(yōu)策略以最大化收益或最小化風(fēng)險(xiǎn)。如Huffman編碼、LZ77等算法，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮與編碼以減小存儲(chǔ)空間和傳輸時(shí)間。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用場(chǎng)景02動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想03最優(yōu)化原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)，它指導(dǎo)我們?nèi)绾螌?wèn)題分解并逐個(gè)解決子問(wèn)題。01動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，并從這些子問(wèn)題的最優(yōu)解中推導(dǎo)出原問(wèn)題的最優(yōu)解。02最優(yōu)化原理認(rèn)為，在每個(gè)子問(wèn)題中，都應(yīng)選擇最優(yōu)的決策，以確保最終達(dá)到全局最優(yōu)解。最優(yōu)化原理階段劃分01階段劃分是將問(wèn)題分解為若干個(gè)相互關(guān)聯(lián)的子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題對(duì)應(yīng)于問(wèn)題的一個(gè)階段。02階段劃分的目的是將問(wèn)題的求解過(guò)程劃分為一系列的階段，每個(gè)階段都有其特定的決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移。03階段劃分是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的關(guān)鍵步驟，它有助于簡(jiǎn)化問(wèn)題并提高求解效率。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了從一個(gè)階段到另一個(gè)階段的決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程。通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們可以根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和決策來(lái)推導(dǎo)出下一個(gè)狀態(tài)，直到達(dá)到最終狀態(tài)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中連接各個(gè)子問(wèn)題的橋梁，它幫助我們理解問(wèn)題在不同階段之間的聯(lián)系。010203狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程010203歷史最優(yōu)解是指在某個(gè)子問(wèn)題中，基于當(dāng)前狀態(tài)和決策能夠得到的最好結(jié)果。全局最優(yōu)解是指在所有子問(wèn)題中，基于所有狀態(tài)和決策能夠得到的最好結(jié)果。歷史最優(yōu)解是求解全局最優(yōu)解的基礎(chǔ)，通過(guò)不斷優(yōu)化歷史最優(yōu)解，最終可以找到全局最優(yōu)解。歷史最優(yōu)解與全局最優(yōu)解03動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法實(shí)現(xiàn)總結(jié)詞這是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以求解出在給定背包容量和物品重量、價(jià)值的情況下，如何選擇物品才能使得背包中物品的總價(jià)值最大。詳細(xì)描述0-1背包問(wèn)題是一個(gè)典型的優(yōu)化問(wèn)題，給定一個(gè)固定容量的背包和一系列物品，每個(gè)物品有一定的重量和價(jià)值，求解如何選擇物品才能使得背包中物品的總價(jià)值最大。通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，可以將問(wèn)題分解為更小的子問(wèn)題，并利用子問(wèn)題的解來(lái)求解原問(wèn)題。在0-1背包問(wèn)題中，我們定義狀態(tài)dp[i][j]表示在前i個(gè)物品中選，總重量不超過(guò)j的情況下，能夠獲得的最大價(jià)值。然后根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程逐步計(jì)算出dp[n][W]的值，其中n為物品的數(shù)量，W為背包的容量。0-1背包問(wèn)題斐波那契數(shù)列是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)列，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以高效地計(jì)算出斐波那契數(shù)列中的任意一項(xiàng)?？偨Y(jié)詞斐波那契數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，其中每個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)的和。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法可以用來(lái)高效地計(jì)算出斐波那契數(shù)列中的任意一項(xiàng)。我們定義狀態(tài)f[i]表示斐波那契數(shù)列中的第i項(xiàng)。然后根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程f[i]=f[i-1]+f[i-2]，逐步計(jì)算出f[n]的值。這種方法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，比暴力枚舉的方法更加高效。詳細(xì)描述斐波那契數(shù)列VS最短路徑問(wèn)題是圖論中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以求解出圖中任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。詳細(xì)描述最短路徑問(wèn)題是圖論中的一個(gè)基本問(wèn)題，給定一個(gè)有向圖或無(wú)向圖，以及起點(diǎn)和終點(diǎn)，求解起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法可以用來(lái)求解最短路徑問(wèn)題。我們定義狀態(tài)dp[i][j]表示從起點(diǎn)i到終點(diǎn)j的最短路徑長(zhǎng)度。然后根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程逐步計(jì)算出dp[n][m]的值，其中n為頂點(diǎn)的數(shù)量，m為終點(diǎn)的下標(biāo)。最終得到的結(jié)果即為起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度?？偨Y(jié)詞最短路徑問(wèn)題04動(dòng)態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化策略定義記憶化搜索是一種優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，通過(guò)將已經(jīng)計(jì)算過(guò)的子問(wèn)題結(jié)果保存起來(lái)，避免重復(fù)計(jì)算，從而提高算法效率。應(yīng)用場(chǎng)景記憶化搜索適用于子問(wèn)題重復(fù)出現(xiàn)的情況，通過(guò)將子問(wèn)題的解保存在一個(gè)表格中，可以直接查表獲取解，避免了重復(fù)計(jì)算。實(shí)現(xiàn)方式通常使用一個(gè)哈希表來(lái)保存子問(wèn)題的解，其中鍵是子問(wèn)題的輸入，值是對(duì)應(yīng)的解。在計(jì)算子問(wèn)題時(shí)，先檢查哈希表中是否已經(jīng)保存了該子問(wèn)題的解，如果已經(jīng)保存則直接返回結(jié)果，否則進(jìn)行計(jì)算并將結(jié)果保存到哈希表中。記憶化搜索定義01自底向上求解是一種動(dòng)態(tài)規(guī)劃的策略，從問(wèn)題的最小規(guī)模的子問(wèn)題開(kāi)始求解，逐步構(gòu)建出更大規(guī)模的子問(wèn)題的解，最終得到原問(wèn)題的解。應(yīng)用場(chǎng)景02自底向上求解適用于子問(wèn)題規(guī)模較小且易于求解的情況，通過(guò)從最小的子問(wèn)題開(kāi)始求解，可以逐步構(gòu)建出更大規(guī)模的子問(wèn)題的解，避免了從原問(wèn)題開(kāi)始逐步拆解的復(fù)雜度。實(shí)現(xiàn)方式03從最小規(guī)模的子問(wèn)題開(kāi)始，逐個(gè)求解更大規(guī)模的子問(wèn)題，在求解過(guò)程中記錄下已經(jīng)計(jì)算過(guò)的子問(wèn)題的解，避免重復(fù)計(jì)算。最終得到原問(wèn)題的解。自底向上求解狀態(tài)壓縮是一種動(dòng)態(tài)規(guī)劃的策略，將狀態(tài)表示為一個(gè)較短的字符串或數(shù)字，從而減少狀態(tài)空間的規(guī)模，提高算法效率。定義狀態(tài)壓縮適用于狀態(tài)空間規(guī)模較大且難以直接表示的情況，通過(guò)將狀態(tài)壓縮為較短的字符串或數(shù)字，可以大大減少狀態(tài)空間的規(guī)模，提高算法效率。應(yīng)用場(chǎng)景將狀態(tài)表示為一個(gè)字符串或數(shù)字，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要求確定壓縮規(guī)則。在計(jì)算過(guò)程中，根據(jù)壓縮后的狀態(tài)進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算，最終得到原問(wèn)題的解。實(shí)現(xiàn)方式狀態(tài)壓縮05動(dòng)態(tài)規(guī)劃的常見(jiàn)問(wèn)題與解決方案總結(jié)詞狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心，其準(zhǔn)確性直接決定了算法的正確性和效率。詳細(xì)描述在確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程時(shí)，需要明確狀態(tài)的定義和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可以采用遞推或迭代的方式推導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。同時(shí)，需要注意狀態(tài)轉(zhuǎn)移的邊界條件，確保方程的完整性。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的確定在某些情況下，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可能存在多個(gè)最優(yōu)解，需要采取措施處理。當(dāng)存在多個(gè)最優(yōu)解時(shí)，可以采用回溯法或其他搜索策略尋找所有最優(yōu)解。同時(shí)，可以通過(guò)設(shè)置優(yōu)先級(jí)或權(quán)重的方式對(duì)多個(gè)最優(yōu)解進(jìn)行排序和選擇。此外，還可以采用多目標(biāo)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法處理多個(gè)相互矛盾的目標(biāo)?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述多重最優(yōu)解的處理總結(jié)詞縮減狀態(tài)空間是提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃效率的重要手段。詳細(xì)描述通過(guò)合理地定義狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移，可以有效地減少狀態(tài)空間的規(guī)模，降低算法的時(shí)間復(fù)雜度。例如，可以采用滾動(dòng)窗口、記憶化搜索等技術(shù)來(lái)避免重復(fù)計(jì)算，進(jìn)一步優(yōu)化算法性能。同時(shí)，需要注意避免過(guò)度簡(jiǎn)化的狀態(tài)定義導(dǎo)致算法正確性的損失。狀態(tài)空間的縮減06動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用案例在給定一系列城市和每對(duì)城市之間的距離后，如何找到一條最短的旅行路線，使得旅行者能夠遍歷所有城市并回到起始城市。旅行商問(wèn)題在有限的資源下，如何分配資源以最大化效益或最小化成本。資源分配問(wèn)題給定一組物品和每個(gè)物品的體積，如何將物品裝入有限容量的箱子中，使得箱子的總體積最小。裝箱問(wèn)題背包問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用導(dǎo)航系統(tǒng)給定起點(diǎn)和終點(diǎn)，以及途經(jīng)的節(jié)點(diǎn)和距離，如何找到一條最短的路徑。網(wǎng)絡(luò)路由在網(wǎng)絡(luò)中尋找數(shù)據(jù)包從源節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最短路徑，以最小化傳輸延遲和成本。物流配送在多個(gè)配送中心和客戶之間，如何規(guī)劃最短的配送路線，以降