數(shù)字信號處理課件

<<數(shù)字信號處理>>

程佩青第三版課件第一章

離散時間信號與系統(tǒng)學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應(yīng)。了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。1.1離散時間信號——序列信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值，可分為三種信號：（1）連續(xù)時間信號 -----自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當函數(shù)值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。（2）離散時間信號 -----自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。（3）數(shù)字信號 -----自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時間信號。離散時間信號是對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：一、離散時間信號——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T這里

n取整數(shù)。對于不同的

n值，xa(nT)

是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如二、常用序列1.單位抽樣序列

(n)0

1/

t

(t)0(1)t

(t)1n0

(n)2.單位階躍序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)(n)與u(n)之間的關(guān)系令n-k=m，有3.矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)1234.實指數(shù)序列，a為實數(shù)0n0<a<10na>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值擺動0n-1<a<00na<-15.正弦序列式中，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么Ω為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號的采樣周期，fs為信號的采樣頻率。6.復(fù)指數(shù)序列這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當

=0時，上式可表示成上式還可寫成表明復(fù)指數(shù)序列具有以2為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個周期就夠了。7.周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：例：則稱x(n)為周期序列，最小周期為N。一般正弦序列的周期性設(shè)那么如果則N，k均取整數(shù)式中，A為幅度，ω0為數(shù)字域頻率，

為初相。正弦序列的周期性討論：整數(shù)時，則正弦序列有周期，當k=1時，周期為有理數(shù)時，設(shè)=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k為最小正整數(shù)，只有k=Q，即N=P時，所以正弦序列的周期為P無理數(shù)時，則正弦序列無周期。例如，用單位采樣序列來表示任意序列三、序列的運算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序號的序列值逐項對應(yīng)相加2.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)

·x2(n)同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘3.序列的移位當n0>0時，序列右移 ——延遲當n0<0時，序列左移 ——超前x(n)n0n0x(n-2)4.序列的翻轉(zhuǎn)n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n05.尺度變換x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮了m倍。

——抽取序列是序列相鄰抽樣點間補（m－1)個零值點，表示零值插值。

——插值序列6.累加（等效積分）7.差分運算

前向差分 后向差分8.卷積和等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。1.2線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T[?]x(n)y(n)在時域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T[]表示，即1.2.1線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。其中a、b為任意常數(shù)。設(shè)[例]是線性系統(tǒng)。證：所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。[例]所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：但是所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。增量線性系統(tǒng)對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線性函數(shù)1.2.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)T[?]x(n)y(n)若則n0為任意整數(shù)。輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。[例]證：所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。[例]證：所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。1.2.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出

之間的關(guān)系T[?]

(n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)(linearshiftinvariant,LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來表征。

單位取樣響應(yīng)，也稱單位沖激響應(yīng)，是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而因此，系統(tǒng)輸出為通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用符號“*”表示： 線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：用單位取樣響應(yīng)h(n)來描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：(1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-k)。(2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。(3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應(yīng)取樣值相乘。(4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。例

已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1<a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。解

參看圖，分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤4；(3)對于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；(4)對于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；(5)對于(n-6)>4，即n>10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m)n圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1)n<0n-6mh(n-m)n0(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04(3)4<n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4)6<n≤1010(5)n>10n-6mh(n-m)n04(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04圖解說明(2)在0≤n≤4區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在4<n≤6區(qū)間上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4(4)在6<n≤10區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：卷積結(jié)果y(n)如圖所示6ny(n)1004[例]設(shè)有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為解：分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤N－1；(3)對于n

N。(2)在0

n<N區(qū)間上(3)在nN區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)例設(shè)有一線性時不變系統(tǒng)，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1.各點要分別乘、分別加且不跨點進位；2.卷和結(jié)果的起始序號等于兩序列的起始序號之和。由上面幾個例子的討論可見，h(n)x(n)y(n)設(shè)x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)結(jié)合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+h2(n)x(n)y(n)序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：如果序列與一個移位的單位取樣序列(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0：[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統(tǒng)的輸出y(n)。m(n)解：設(shè)級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出m(n)1.2.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：如因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應(yīng)絕對可和，即穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù))，有|y(n)|<+∞，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。[例]設(shè)某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：由于n<0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。[例]設(shè)某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：(1)討論因果性由于n<0時，h(n)

0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

(2)討論穩(wěn)定性所以時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。1.3線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程離散時間線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法求齊次解、特解、全解遞推法求解時需用初始條件啟動計算變換域法將差分方程變換到Z域進行求解[例]設(shè)差分方程為求輸出序列設(shè)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)輸入為初始條件為解：依次類推延時延時a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法的另一優(yōu)點是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.4連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號離散時間信號采樣內(nèi)插信號經(jīng)過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；經(jīng)過采樣后信號內(nèi)容會不會有丟失；如果信號沒有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進行，即由數(shù)字信號恢復(fù)成模擬信號應(yīng)該具備那些條件等。1.4.1采樣S0tT2T0tP

(t)T

0txa(t)最高頻率為fc

理想采樣一、理想采樣xa(t)P

(t)0txa(t)^0t0tT1T定義單位沖擊函數(shù)t0

(t)(1)單位沖擊函數(shù)有一個重要的性質(zhì)：采樣性若f(t)為連續(xù)函數(shù)，則有將上式推廣，可得t0

(t-t0)二、頻譜的周期延拓即即-1由于是周期函數(shù)可用傅立葉級數(shù)表示，即采樣角頻率系數(shù)對稱性移頻特性根據(jù)

0(

S)

S2

S-

S-2

S

S采樣信號的傅氏變換為即 采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為

s。討論：

S/2

C

S2S3S

0-

S(c)-C

C

S/2

0(a)最高截止頻率

S/2

0-

S2S

S(b)稱Nyquist采樣率稱折疊頻率

C

S/2

S

0-S~稱Nyquist范圍采樣定理：要想采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率必須大于兩倍原信號頻譜的最高截止頻率

s

2

C。由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個：1.采樣頻率低2.連續(xù)信號的頻譜沒有被限帶0

C

2C

3C

4C

可選

s=(3

4)

C

低通采樣頻域分析且在時，0

T

S/2-S/2G(j

)g(t)1.4.2采樣的恢復(fù)時，0

0

0

時域分析g(t)時，0

T或稱為內(nèi)插函數(shù)采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式說明：只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高截止頻率，則整個連續(xù)時間信號就可以用它的采樣值來完全代表，而不會丟失任何信息。tnT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T內(nèi)插函數(shù)采樣的內(nèi)插恢復(fù)第二章

z變換和DTFT本章主要內(nèi)容：

1、z變換的定義及收斂域

2、z變換的反變換

3、z變換的基本性質(zhì)和定理

4、離散信號的DTFT5、z變換與DTFT的關(guān)系

6、離散系統(tǒng)的z變換法描述§2.1z變換的定義及收斂域信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種：

——時域分析方法

——變換域分析方法連續(xù)時間信號與系統(tǒng)——LTFT離散時間信號與系統(tǒng)——ZTFT一、ZT的定義

z是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱為z平面二、ZT的收斂域?qū)τ谌我饨o定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和1）有限長序列除0和∞兩點是否收斂與n1和n2取值情況有關(guān)外，整個z平面均收斂。如果n2≤0，則收斂域不包括∞點如果n1≥0，則收斂域不包括0點如果n1<0<n2，收斂域不包括0、∞點2）右邊序列因果序列的z變換必在∞處收斂在∞處收斂的z變換，其序列必為因果序列3）左邊序列4）雙邊序列例1收斂域應(yīng)是整個z的閉平面例2：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域例3：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域例5：求x(n)=a|n|，a為實數(shù)，求ZT及其收斂域給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)§2.2z反變換實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法z反變換:從X(z)中還原出原序列x(n)1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法） 若函數(shù)X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C以內(nèi)有K個極點zk，而在C以外有M個極點zm，則有：1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而

其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：利用留數(shù)定理求圍線積分，令若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點zk，則：單階極點的留數(shù)：思考：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何2、部分分式展開法求解IZT

：常見序列的ZT參見書p.54頁的表2-1若函數(shù)X(z)是z的有理分式，可表示為：利用部分分式的z反變換和可以得到函數(shù)X(z)的z反變換。例2 設(shè)利用部分分式法求z反變換。解：3、冪級數(shù)展開法求解（長除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多項式除分母多項式（長除法法）得到冪級數(shù)展開式，從而得到x(n)。根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù)將X(z)X(z)的

x(n) 展成z的分子分母按z的因果序列負冪級數(shù)降冪排列左邊序列正冪級數(shù)升冪排列例1ROC1:)1長除法示例解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負冪級數(shù)ROC2:)1解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數(shù)解：X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列極點z=1/4對應(yīng)右邊序列，極點z=4對應(yīng)左邊序列先把X(z)展成部分分式1、線性性§2.3

Z變換的基本性質(zhì)和定理R1∩R2R|a|RR2、序列的移位3、z域尺度變換（乘以指數(shù)序列）4、z域求導(dǎo)（序列線性加權(quán)）Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)）5、翻褶序列1/RR6、共軛序列7、初值定理8、終值定理Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)）9、有限項累加特性ZT的主要性質(zhì)參見書p.69頁的表2-210、序列的卷積和11、序列乘法12、帕塞瓦定理§2.4

序列ZT、連續(xù)信號LT和FT的關(guān)系若：連續(xù)信號采樣后的拉氏變換LT——抽樣序列：當兩變換之間的關(guān)系，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射，其映射關(guān)系為對比：進一步討論這一映射關(guān)系：1s平面到z平面的映射是多值映射。輻射線ω=Ω0T平行直線Ω

=Ω0正實軸ω=0實軸Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:抽樣序列在單位圓上的z變換，就等于其理想抽樣信號的傅里葉變換 數(shù)字頻率w表示z平面的輻角，它和模擬角頻率W的關(guān)系為 在以后的討論中，將用數(shù)字頻率w來作為z平面上單位圓的參數(shù)，即 所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2p§2.5離散信號的付氏變換DTFT一、DTFT的定義變換對：稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。FT存在的充分必要條件是：如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。二、比較ZT和DTFT的定義：利用ZT和DTFT的關(guān)系可以有ZT計算DTFT。序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值例1、計算門序列的DTFT

(類似Sa(.)函數(shù))(線性相位)解：DTFT幅頻特性：相頻特性：圖示說明：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw例2、已知(),計算其DTFT。由此可以得到FT的幅頻特性和相頻特性三、FT與DTFT的關(guān)系歸一化利用FT與DTFT關(guān)系計算下列序列的DTFT例：解：1）2）3）§2.6DTFT的一些性質(zhì)1、線性性：2、實序列：實偶性：實奇性：3、時移特性：4、乘以指數(shù)序列（調(diào)制性）5、序列線性加權(quán)6、序列翻褶7、序列共軛8、卷積定理：

(時域)

(頻域)DTFT的主要性質(zhì)參見書p.78頁的表2-39、帕塞瓦爾定理：(ParsevalTheory)頻域卷積在一周期內(nèi)積分,稱周期卷積。下面舉例說明DTFT性質(zhì)的使用。

計算下列積分I的值。解：根據(jù)利用時域卷積定理有：上式卷積n=0時就是積分I的值?！?.7周期性序列的DTFT1、復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換復(fù)指數(shù)序列ejw0n的傅里葉變換，是以w0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p思考，DTFT[cos(w0n+f)]、DTFT[sin(w0n+f)]2、常數(shù)序列的傅里葉變換常數(shù)序列的傅里葉變換，是以w=0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p3、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在w=2p/N的整數(shù)倍上的一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為2p/N4、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換即：周期性序列（周期為N）的傅里葉變換是一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于

乘以，而是x(n)[的一個周期]的傅里葉變換X(ejw)在頻域中w=2p/N的整數(shù)倍的各抽樣點上的抽樣值。e滿足0<e<2p/N從w=0之前開始抽樣；在w=2p之間結(jié)束抽樣；此區(qū)間共有N個抽樣值：0

kN-1——周期序列的DFS正變換和反變換周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）其中：§2.8Fourier變換的對稱性質(zhì)

共軛對稱序列：共軛反對稱序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：定義：其中：同樣，x(n)的Fourier變換也可分解成：對稱性質(zhì)序列Fourier變換實數(shù)序列的對稱性質(zhì)序列Fourier變換實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性實部是ω的偶函數(shù)虛部是ω的奇函數(shù)幅度是ω的偶函數(shù)幅角是ω的奇函數(shù)§2.9離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：

單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應(yīng)h(n)的DTFT1、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應(yīng)存在且連續(xù)H(z)須從單位圓到∞的整個z域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內(nèi)1）因果：2）穩(wěn)定：序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：3）因果穩(wěn)定：Roc：2、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程常系數(shù)線性差分方程：取z變換則系統(tǒng)函數(shù)3、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義1）LSI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：2）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出同頻正弦序列幅度受頻率響應(yīng)幅度加權(quán)相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和3）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)其中：微分增量（復(fù)指數(shù)）：4、頻率響應(yīng)的幾何確定法利用H(z)在z平面上的零極點分布頻率響應(yīng)：則頻率響應(yīng)的令幅角：幅度：零點位置影響凹谷點的位置與深度零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零極點位置影響凸峰的位置和深度極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定5、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)：單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長序列有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)：單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長序列IIR系統(tǒng)：至少有一個FIR系統(tǒng)：全部全極點系統(tǒng)（自回歸系統(tǒng)，AR系統(tǒng)）：分子只有常數(shù)項零極點系統(tǒng)（自回歸滑動平均系統(tǒng)，AR－MA系統(tǒng)）:

分子不止常數(shù)項收斂域內(nèi)無極點，是全零點系統(tǒng)（滑動平均系統(tǒng)，MA系統(tǒng)）IIR系統(tǒng)：至少有一個有反饋環(huán)路，采用遞歸型結(jié)構(gòu)FIR系統(tǒng)：全部無反饋環(huán)路，多采用非遞歸結(jié)構(gòu)Homework：P83－1(1)(2)(3)3(1)7101418第三章

離散傅里葉變換主要內(nèi)容離散傅里葉級數(shù)（DFS）離散傅里葉變換（DFT）抽樣z變換——頻域抽樣理論§3.1引言傅里葉變換的幾種形式：

時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換

FT§3.2傅里葉變換的幾種可能形式

FS

時域周期化，頻域離散化時域離散化，頻域周期化。DTFT 但是，前三種傅里葉變換對都不適于計算機上運算，因為它們至少在一個域（時域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的。 因此，我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況。若時域離散并周期化，頻域周期化并離散化。四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)§3.3離散傅里葉級數(shù)DFS

(DiscreteFourierSeries)

連續(xù)周期信號:周期序列

(r為整數(shù),N為周期)

周期序列的DFS正變換和反變換：其中：一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換可看作是對的一個周期做z變換然后將z變換在z平面單位圓上按等間隔角抽樣得到K=01234567jImRe[z]|z|=1N=8DFS的圖示說明2、序列的移位3、調(diào)制特性§3.4離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)FS性1、線性：其中，為任意常數(shù)若則4、對偶性證：5、周期卷積和若則討論:周期卷積與線性卷積的區(qū)別在于：周期卷積求和只在一周期內(nèi)進行。(注意周期信號的線性卷積不存在)式中的卷積稱為周期卷積05…054321…432154…543210…321043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345

…-4-3-2-11086101412同樣，利用對稱性若則§3.5離散傅里葉變換

——有限長序列的離散頻域表示在進行DFS分析時，時域、頻域序列都是無限長的周期序列周期序列實際上只有有限個序列值有意義長度為N的有限長序列可以看成周期為N的周期序列的一個周期（主值序列）借助DFS變換對，取時域、頻域的主值序列可以得到一個新的變換—DFT，即有限長序列的離散傅里葉變換另外一種寫法是其中表示對n取模N運算(或模N的余數(shù))。對周期信號而言,或。舉例：設(shè)周期為N=6。則有周期序列和求余運算：或這是因為：(19=3×6+1)

同理或這是因為：(-2=-1×6+4)

同樣：X(k)也是一個N點的有限長序列有限長序列的DFT定義式關(guān)于離散傅里葉變換(DFT)：序列x(n)在時域是有限長的(長度為N)，它的離散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長的(長度也為N)。n為時域變量，k為頻域變量。離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，DFT實際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，DFT也隱含有周期性。離散傅里葉變換(DFT)具有唯一性。DFT的物理意義：序列x(n)的Z變換在單位圓上的等角距取樣。x(n)的N點DFT是

x(n)的z變換在單位圓上的N點等間隔抽樣；

x(n)的DTFT在區(qū)間[0,2π]上的N點等間隔抽樣。例1、計算(N=12)的N點DFT.解：

N=4點的DFT？§3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)1、線性這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且若則有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位2、圓周移位其中；同理可證另一公式。證：推論：從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出：當主值序列左移m個樣本時，從右邊會同時移進m個樣本好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進來因此取名“循環(huán)移位”。顯然，循環(huán)移位不同于線性移位若則證：3、對偶性4、圓周共軛對稱性其中：共軛反對稱分量：共軛對稱分量：任意周期序列：定義：則任意有限長序列：圓周共軛反對稱序列：圓周共軛對稱序列：設(shè)N點復(fù)數(shù)序列證明：則同理可證明：序列DFT共軛對稱性序列DFT實數(shù)序列的共軛對稱性純虛數(shù)序列的共軛對稱性例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次N點DFT運算來計算它們各自的DFT:五、ParsevalTheory若令y(n)=x(n)表明序列時域、頻域能量相等六、圓周卷積和圓周卷積A：設(shè)則實際上，圓周卷積為周期卷積的主值序列。即圓周卷積B：設(shè)圓周卷積記為NN圓周卷積過程：1）補零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加NN兩個N點序列的N點圓周卷積得到的結(jié)果仍為N點序列。mN-m1N-12N-2N-3

討論1:圓周卷積的物理意義圖示說明討論2:圓周卷積與線性卷積：1)設(shè)有限長(N點)有限長(M點)則線性卷積有限長(N+M-1)2)而作長度為L的圓周卷積，即(周期卷積)其中L則(補零)存在交疊現(xiàn)象這就是利用DFT計算線性卷積的方法和要求，即可以選擇長度大于等于線性卷積的兩序列長度之和的DFT運算計算線性卷積。)(nxn01N=43M=6)(nyn015)(nfn018L=6Lmy))0((-m015L=6)(6nfn45L=8m017L=9m018)(8nfn027L=8)(nfLn01891=-+3MNL0Lmy))0((-Lmy))0((-討論3:周期卷積、圓周卷積與線性卷積①周期卷積與圓周卷積的差別在于：周期卷積是線性卷積的周期延拓；而圓周卷積是取周期卷積的主值序列。②作圓周卷積時，應(yīng)先將兩者“補零”至長度為L點的序列后進行圓周卷積。而周期卷積是指兩者皆為長度為L點的周期序列(即周期延拓)的。③線性卷積的DFT計算方法要求DFT點數(shù)L>=N+M+1。補L-N個零x(n)L點DFT補L-M個零h(n)L點DFTL點IDFTy(n)=x(n)*h(n)④物理意義不同，周期卷積是周期信號運算與DFS系數(shù)運算的關(guān)系；圓周卷積是有限序列運算與DFT變換結(jié)果運算的關(guān)系（后面將說明這是有限序列運算與對應(yīng)的頻譜運算的關(guān)系）。七、線性相關(guān)與圓周相關(guān)線性相關(guān)：自相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)不滿足交換率：相關(guān)函數(shù)的z變換：相關(guān)函數(shù)的頻譜：圓周相關(guān)定理當時，圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān)類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系第四章

快速傅里葉變換

（FFT）主要內(nèi)容DIT-FFT算法DIF-FFT算法IFFT算法Chirp-FFT算法線性卷積的FFT算法§4.1引言FFT:

FastFourierTransform1965年，Cooley-Turky發(fā)表文章《機器計算傅里葉級數(shù)的一種算法》，提出FFT算法，解決DFT運算量太大，在實際使用中受限制的問題。FFT的應(yīng)用。頻譜分析、濾波器實現(xiàn)、實時信號處理等。DSP芯片實現(xiàn)。TI公司的TMS320c30，10MHz時鐘，基2-FFT1024點FFT時間15ms。典型應(yīng)用：信號頻譜計算、系統(tǒng)分析等系統(tǒng)分析頻譜分析與功率譜計算§4.2直接計算DFT的問題及改進途徑1、DFT與IDFT2、DFT與IDFT運算特點復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個X(k)NN–1N個X(k)(N點DFT)N2N(N–1)同理：IDFT運算量與DFT相同。實數(shù)乘法實數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N個X(k)(N點DFT)4N22N(2N–1)3、降低DFT運算量的考慮FFT算法分類:時間抽選法

DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法

DIF:Decimation-In-Frequency§4.3按時間抽?。―IT）的FFT算法（DecimationInTime）1、算法原理 設(shè)序列點數(shù)N=2L，L

為整數(shù)。若不滿足，則補零將序列x(n)按n的奇偶分成兩組：N為2的整數(shù)冪的FFT算法稱基-2FFT算法。將N點DFT定義式分解為兩個長度為N/2的DFT記：………（1）（這一步利用：）再利用周期性求X(k)的后半部分將上式表達的運算用一個專用“蝶形”信流圖表示。注：a.上支路為加法，下支路為減法；

b.乘法運算的支路標箭頭和系數(shù)。用“蝶形結(jié)”表示上面運算的分解： 分解后的運算量：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個N/2點DFT(N/2)2N/2(N/2–1)兩個N/2點DFTN2/2N(N/2–1)一個蝶形12N/2個蝶形N/2N總計運算量減少了近一半進一步分解由于，仍為偶數(shù)，因此，兩個點DFT又可同樣進一步分解為4個點的DFT?！暗巍毙帕鲌D表示

N點DFT分解為四個N/4點的DFT類似的分解一直繼續(xù)下去，直到分解為最后的兩類蝶形運算為止(2點DFT).如上述N=8=23，N/4=2點中：類似進一步分解1點DFTx(0)1點DFTx(4)X3(0)X3(1)進一步簡化為蝶形流圖：X3(0)X3(1)x(0)x(4)因此8點FFT時間抽取方法的信流圖如下——FFT運算量與運算特點1．N=2L時，共有L=log2N級運算；每一級有N/2個蝶形結(jié)。2．每一級有N個數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)），且每級只用到本級的轉(zhuǎn)入中間數(shù)據(jù)，適合于迭代運算。3．計算量：每級N/2次復(fù)乘法，N次復(fù)加。（每蝶形只乘一次，加減各一次）。共有L*N/2=N/2log2N次復(fù)乘法；復(fù)加法L*N=Nlog2N次。與直接DFT定義式運算量相比(倍數(shù))N2/(Nlog2N)。當N大時，此倍數(shù)很大。比較DFT參考P150表4-1圖4-6可以直觀看出，當點數(shù)N越大時，F(xiàn)FT的優(yōu)點更突出。按時間抽取FFT蝶形運算特點1、關(guān)于FFT運算的混序與順序處理（位倒序處理）由于輸入序列按時間序位的奇偶抽取，故輸入序列是混序的，為此需要先進行混序處理?；煨蛞?guī)律：

x(n)按n位置進行碼位（二進制）倒置規(guī)律輸入，而非自然排序，即得到混序排列。所以稱為位倒序處理。位倒序?qū)崿F(xiàn)：（1）DSP實現(xiàn)采用位倒序?qū)ぶ罚?）通用計算機實現(xiàn)可以有兩個方法：一是嚴格按照位倒序含義進行；二是倒進位的加N/2。倒位序自然序0000000010041001010220101106301100114100101551010113611011177111倒位序例 計算，。計算 點FFT。用時間抽取輸入倒序算法，問倒序前寄存器的數(shù)和倒序后的數(shù)據(jù)值？解：倒序前倒序 倒序為倒序后DITFFT中最主要的蝶形運算實現(xiàn)（1）參與蝶形運算的兩類結(jié)點（信號）間“距離”（碼地址）與其所處的第幾級蝶形有關(guān)；第m級的“結(jié)距離”為

(即原位計算迭代）（2）每級迭形結(jié)構(gòu)為蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數(shù)，左移L–m位，把右邊空出的位置補零，結(jié)果為r的二進制數(shù)。（3）的確定：第m級的r取值：DIT算法的其他形式流圖輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序輸入輸出均自然序相同幾何形狀輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序參考P154-155時間抽取、輸入自然順序、輸出倒位序的FFT流圖例用FFT算法處理一幅N×N點的二維圖像，如用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計算機，當N=1024時，問需要多少時間（不考慮加法運算時間）？解當N=1024點時，F(xiàn)FT算法處理一幅二維圖像所需復(fù)數(shù)乘法約為 次，僅為直接計算DFT所需時間的10萬分之一。即原需要3000小時，現(xiàn)在只需要2分鐘?！?.4按頻率抽?。―IF）的FFT算法與DIT-FFT算法類似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇數(shù)與偶數(shù)序號的兩個序列。設(shè)：N=2L，L為整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n的順序分成前后兩半：（DecimationInFrequency)一、算法原理下面討論按k的奇偶將X(k)分成兩部分：顯然：令：用蝶型結(jié)構(gòu)圖表示為：x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2點DFTN/2點DFTx(0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)N/2仍為偶數(shù)，進一步分解：N/2→N/4x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4點DFTN/4點DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)按照以上思路繼續(xù)分解，即一個N/2的DFT分解成兩個N/4點DFT，直到只計算2點的DFT，這就是DIF-FFT算法。2個1點的DFT蝶形流圖

進一步簡化為蝶形流圖：1點DFTx3(0)1點DFTx3(1)X(0)X(4)X(0)X(4)x3(0)x3(1)二、按頻率抽取FFT蝶形運算特點1）原位計算-1L級蝶形運算，每級N/2個蝶形，每個蝶形結(jié)構(gòu)：

m表示第m級迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)2）蝶形運算對N=2L點FFT，輸入自然序，輸出倒位序，兩節(jié)點距離：2L-m=N/2m第m級運算：蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數(shù)，左移m-1位，把右邊空出的位置補零，結(jié)果為r的二進制數(shù)。存儲單元輸入序列x(n):N個存儲單元系數(shù)：N/2個存儲單元三、DIT與DIF的異同基本蝶形不同DIT:先復(fù)乘后加減DIF:先減后復(fù)乘運算量相同都可原位運算DIT和DIF的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置§4.5IDFT的FFT算法

（FFT應(yīng)用一）

一、從定義比較分析與DFT的比較：

1）、旋轉(zhuǎn)因子WN-kn

的不同；

2）、結(jié)果還要乘1/N。二、實現(xiàn)算法——直接使用FFT程序的算法共軛FFT共軛乘1/N直接調(diào)用FFT子程序計算IFFT的方法：§4.6線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法

（FFT應(yīng)用二）單位圓與非單位圓采樣（a）沿單位圓采樣;(b)沿AB弧采樣螺線采樣zk=AW-k

k=0,1,…,M-1Chirp-Z變換的線性系統(tǒng)表示由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以想象為頻率隨時間(n)呈線性增長的復(fù)指數(shù)序列。在雷達系統(tǒng)中,這種信號稱為線性調(diào)頻信號（ChirpSignal），因此，這里的變換稱為線性調(diào)頻Z變換。一、基本算法思路§4.7線性卷積的FFT算法

（FFT應(yīng)用三）若L點x(n)，M點h(n)，則直接計算其線性卷積y(n)需運算量：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：則需運算量：FFT法：以圓周卷積代替線性卷積N總運算量：次乘法比較直接計算和FFT法計算的運算量討論：1）當2）當

x(n)長度很長時，將x(n)分為L長的若干小的片段，L與M可比擬。1、重疊相加法則：輸出：其中：可以用圓周卷積計算：選，上面圓周卷積可用FFT計算。N由于yi(n)長度為N，而xi(n)長度L，必有M-1點重疊，yi(n)應(yīng)相加才能構(gòu)成最后y(n)的。重疊相加法圖形和上面的討論一樣，用FFT法實現(xiàn)重疊相加法的步驟如下:

①計算N點FFT，H(k)=DFT［h(n)］；②計算N點FFT，Xi(k)=DFT［xi(n)］；③相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)；④計算N點IFFT，yi(n)=IDFT［Yi(k)］；⑤將各段yi(n)（包括重疊部分）相加， 。重疊相加的名稱是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。例已知序列x[n]=n+2,0

n

12,h[n]={1,2,1}試利用重疊相加法計算線性卷積,取L=5。y[n]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}解:重疊相加法x1[n]={2,3,4,5,6}x2[n]={7,8,9,10,11}x3[n]={12,13,14}y1[n]={2,7,12,16,20,17,6}y2[n]={7,22,32,36,40,32,11}y3[n]={12,37,52,41,14}2、重疊保存法此方法與上述方法稍有不同。先將x(n)分段，每段L=N-M+1個點，這是相同的。不同之處是，序列中補零處不補零，而在每一段的前邊補上前一段保留下來的（M-1）個輸入序列值，組成L+M-1點序列xi(n)。如果L+M-1<2m，則可在每段序列末端補零值點，補到長度為2m，這時如果用DFT實現(xiàn)h(n)和xi(n)圓周卷積，則其每段圓周卷積結(jié)果的前（M-1）個點的值不等于線性卷積值，必須舍去。重疊保留法示意圖重疊保留法示意圖y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}x1[k]={0,0,2,3,4}x2[k]={3,4,5,6,7}x3[k]={6,7,8,9,10}y1[k]=x1[k]

h[k]={11,4,2,7,12}x4[k]={9,10,11,12,13}y2[k]=x2[k]

h[k]={23,17,16,20,24}y3[k]=x3[k]

h[k]={35,29,28,32,36}y4[k]=x4[k]

h[k]={47,41,40,44,48}x5[k]={12,13,14,0,0}y5[k]=x5[k]

h[k]={12,37,52,41,14}解:重疊保留法例已知序列x[n]=n+2,0

n

12,h[n]={1,2,1}試利用重疊保留法計算線性卷積,取L=5。語音信號消噪過程信號淹沒在嘯叫噪聲中；(b)信號與噪聲的功率譜；(c)去噪后的功率譜；(d)重構(gòu)原語音信號FFT應(yīng)用舉例第五章

數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法掌握IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)掌握FIR濾波器的直接型、級聯(lián)型、線性相位結(jié)構(gòu)，理解頻率抽樣型結(jié)構(gòu)了解數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu)§4.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)特點及表示1、數(shù)字濾波器的表示：差分方程和系統(tǒng)函數(shù)單位延時基本運算單元方框圖流圖加法器常數(shù)乘法器2、結(jié)構(gòu)表示：方框圖和信流圖+1/z1/z)(nx0a1b-)(ny一階離散系統(tǒng)方框圖1a)(nx)(ny1/z1/z0a1a1b-一階離散系統(tǒng)信流圖3、實現(xiàn)方式：軟件與硬件4、軟件方式：通用計算機或?qū)Ｓ糜嬎銠C5、核心算法：乘加器6、典型結(jié)構(gòu)——無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器§5.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)一、IIR濾波器的特點

1、電位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的（定義的由來）

2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上有極點存在；

3、結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上的遞歸型的。二、有限階IIR的表達式：（其中至少有一個

ak≠0）三、IIR濾波器四種結(jié)構(gòu)1、直接I型)(nx)(ny1/z1/z0b1b1/z1/z1/z...1/z1/z1/z1a2aNa2bNb結(jié)構(gòu)特點：直接實現(xiàn)第一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點第二個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點

N+M個時延單元2、直接II型:典范型1/z0b1b1/z1/z1/z2bMb1/z1/z1/z1/z1a2aNa)(nx)(ny

1/z1/z1/z1/z1/zb0b1b2b3bMa1a2a3aNx(n)y(n)結(jié)構(gòu)特點：Max(N、M)個時延單元。直接型的共同缺點：系數(shù)ak，bk

對濾波器的性能控制作用不明顯極點對系數(shù)的變化過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差運算的累積誤差較大3、級聯(lián)型(CascadeForm)將系統(tǒng)函數(shù)按零極點因式分解:結(jié)構(gòu)：將分解為一階及二階系統(tǒng)的串聯(lián)，每級子系統(tǒng)都用典范型實現(xiàn)。特點：方便調(diào)整極點和零點；但分解不唯一;實際中需要優(yōu)化。4、并聯(lián)型(ParalleForm)將因式分解的H(z)展成部分分式：組合成實系數(shù)二階多項式：特點:方便調(diào)整極點，不便于調(diào)整零點；部分分式展開計算量大。1/z1/zM1bM2bM1aM2a1/z1/z11b21b11a21a1/z1/z0A1ALA)(nx)(ny結(jié)構(gòu)：將H(z)分解為一階及二階系統(tǒng)的并聯(lián)(部分分式展開)，每級子系統(tǒng)都用典范型實現(xiàn)。IIR濾波器結(jié)構(gòu)表示舉例例：用典范型和一階級聯(lián)型、并聯(lián)型實現(xiàn)方程：解：正準型、一階級聯(lián)和并聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)表示：圖示如下：轉(zhuǎn)置定理——對于一個信流圖，如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向加以倒轉(zhuǎn)，且將輸入x(n)和輸出有y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)仍不改變。直接II型的轉(zhuǎn)置:§5.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)不存在極點(z=0除外)，系統(tǒng)函數(shù)在處收斂。系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)在有限個n值處不為零。結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。一、FIR的特點：二、FIR結(jié)構(gòu)1、橫截型(又稱為直接型或卷積型，直接完成差分方程）X(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)z-1z-1z-1特點:N個延遲單元；不方便調(diào)整零點。將H(z)分解為二階實系數(shù)因式的乘積。2、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：特點:便于調(diào)整零點.3、頻率采樣型結(jié)構(gòu)：1）理論型：由以及頻率采樣表達的內(nèi)插公式得：其中： 為梳狀濾波器； (諧振器)其極點正好與零點對消。關(guān)于梳狀濾波器說明梳狀濾波器傳輸函數(shù):梳狀濾波幅頻特性:梳狀濾波相頻特性:頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點:①便于控制濾波器頻率響應(yīng)，因為濾波器在處的頻率響應(yīng)值。②需要復(fù)數(shù)乘法運算;③理論上諧振器的極點正好與零點對消，但實際上的有限字長效應(yīng)，使之不能對消，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。理論型頻率采樣型結(jié)構(gòu)圖示2）實際型(解決量化誤差引入的不穩(wěn)定)第一步:采樣點修正為:Z平面采樣點圖(N=8)Z平面1-1jj-r將零極點移至半徑為r的圓上第二步:內(nèi)插公式為:實際型4、快速卷積結(jié)構(gòu)L點DFTL點DFTXL點IDFTx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)結(jié)構(gòu)圖示為:設(shè):有:5、線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器單位抽樣響應(yīng)h(n)為實數(shù)，且滿足：偶對稱：或奇對稱：即對稱中心在(N-1)/2處則這種FIR濾波器具有嚴格線性相位。N為奇數(shù)時h(n)偶對稱，取“+”h(n)奇對稱，取“-”，且N為偶數(shù)時第六章

IIR濾波器的設(shè)計主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應(yīng)用掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程了解利用頻帶變換法設(shè)計各種類型數(shù)字濾波器的方法6.1引言數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a）時域說明b）頻域說明（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HPLP實現(xiàn)的BPLP實現(xiàn)的BRF3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度4、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計三個步驟:(1)

按要求確定濾波器的性能參數(shù)；

(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；

(3)用有限精度的運算實現(xiàn)；實現(xiàn)可以采用通用計算機，也可以采用DSP。5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況 ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率6、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量幅度平方響應(yīng)的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點相位響應(yīng)相位響應(yīng)：群延遲響應(yīng)相位對角頻率的導(dǎo)數(shù)的負值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)計算機輔助設(shè)計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應(yīng)：模：相角：當位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為po則：全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng)n<0時，h(n)=0相位延時系統(tǒng)逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

全部極點在單位圓外：po=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時，h(n)=0最小相位延時系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應(yīng)的非最小相位延時系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：6.3全通系統(tǒng)對所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點：實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱

N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：的根全通系統(tǒng)的應(yīng)用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)，為單位圓外的一對共軛零點把H(z)單位圓外的零點： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點。而幅度