江西省吉安市安福中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

江西省吉安市安福中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若,則()A． B． C． D．2．如圖，陰影部分的面積是（）A． B． C． D．3．若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）4．已知函數(shù)，其定義域是，則下列說法正確的是（）A．有最大值，無最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，無最小值D．無最大值，最小值5．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響.設(shè)隨機(jī)變量為該射手在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，若，，則和的值分別為（）A．5， B．5， C．6， D．6，6．設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．7．設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．8．焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．9．在用反證法證明“已知，且，則中至少有一個(gè)大于1”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（）A．中至多有一個(gè)大于1 B．全都小于1C．中至少有兩個(gè)大于1 D．均不大于110．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．11．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A． B． C． D．812．已知，則（）A．18 B．24 C．36 D．56二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________.14．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）?（1+z）＝﹣7+16i，則z的共軛復(fù)數(shù)_____．15．若關(guān)于的不等式（，且）的解集是，則的取值的集合是_________．16．將5個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額分配給3個(gè)不同的班級(jí)，其中甲、乙兩個(gè)班至少各有1個(gè)名額，則不同的分配方案和數(shù)有__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)有、兩個(gè)崗位招聘大學(xué)畢業(yè)生，其中第一天收到這兩個(gè)崗位投簡(jiǎn)歷的大學(xué)生人數(shù)如下表：崗位崗位總計(jì)女生12820男生245680總計(jì)3664100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷是有的把握認(rèn)為招聘的、兩個(gè)崗位與性別有關(guān)？（2）從投簡(jiǎn)歷的女生中隨機(jī)抽取兩人，記其中投崗位的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0250.0103.8415.0246.63518．（12分）在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面BEF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1求證：20．（12分）某小組共有10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).（I）設(shè)為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件發(fā)生的概率；（II）設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=axx2+1+a(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)于任意x1,x

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由于兩個(gè)對(duì)數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對(duì)數(shù)換底公式，將不等式等價(jià)變形為以10為底的對(duì)數(shù)不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法2、C【解題分析】

運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以求出陰影部分的面積.【題目詳解】設(shè)陰影部分的面積為，則.選C【題目點(diǎn)撥】考查了定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、B【解題分析】

由題意可得,,故.設(shè),則.

關(guān)于

對(duì)稱,故

在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí)有最小值為,無最大值,故的取值范圍為,

故選B.4、A【解題分析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，則在處取得最大值，最大值為，取不到函數(shù)值，即最小值取不到.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查分析判斷求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

通過二項(xiàng)分布公式及可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，因此，，解得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的相關(guān)公式，難度不大.6、A【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，lnx2）與動(dòng)點(diǎn)N（A，2A）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲線上點(diǎn)M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（）≤，則f（）=，此時(shí)N恰好為垂足，由，解得考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用7、A【解題分析】∵當(dāng)時(shí)，不等式恒成立∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立令，則∵∴當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)∴，即令，則∴當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)∴∵∴或故選A點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.8、A【解題分析】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，則，則當(dāng)取得最大值時(shí)，必須取得最大值，此時(shí)直線與拋物線相切，可設(shè)切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選．點(diǎn)睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，如果問題中涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離，那么用拋物線定義就能解決問題．本題就是將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，將比值問題轉(zhuǎn)化成切線問題求解．9、D【解題分析】

直接利用反證法的定義得到答案.【題目詳解】中至少有一個(gè)大于1的反面為均不大于1，故假設(shè)應(yīng)為：均不大于1.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了反證法，意在考查學(xué)生對(duì)于反證法的理解.10、B【解題分析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，等式的左邊是，所以當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項(xiàng)是什么，使得問題獲解．11、C【解題分析】分析：由三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體切去一個(gè)以直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形為底面，高為的三棱錐，即可利用體積公式，求解幾何體的體積．詳解：由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體切去一個(gè)以直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形為底面，高為的三棱錐，所以該幾何體的體積為，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的三視圖及幾何體的體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．12、B【解題分析】，故，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用二倍角公式直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、4﹣6i【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【題目詳解】由（1+2i）?（1+z）＝﹣7+16i，得，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由題意可得當(dāng)x=時(shí)，4x=log2ax，由此求得a的值．【題目詳解】∵關(guān)于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，則當(dāng)x=時(shí)，4x=log2ax，即2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．16、10【解題分析】首先分給甲乙每班一個(gè)名額，余下的3個(gè)名額分到3個(gè)班，每班一個(gè)，有1中分配方法；一個(gè)班1個(gè)，一個(gè)班2個(gè)，一個(gè)班0個(gè)，有種分配方法；一個(gè)班3個(gè)，另外兩個(gè)班0個(gè)有3種分配方法；據(jù)此可得，不同的分配方案和數(shù)有6+3+1=10種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認(rèn)為招聘的、兩個(gè)崗位與性別有關(guān).(2)見解析.【解題分析】分析：（1）根據(jù)所給公式直接計(jì)算求解作答即可；（2）先分析此分布為超幾何分布，然后確定X的取值可能，根據(jù)超幾分布求解概率寫分布列即可.詳解：（1），故有的把握認(rèn)為招聘的、兩個(gè)崗位與性別有關(guān).（2）的可能取值為0，1，2，，，.∴的分布列為012.點(diǎn)睛：考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量分分布列，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）連接交于，并連接，，由空間幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判斷定理可得平面.（2）（法一）取中點(diǎn)，連，，，由二面角的定義結(jié)合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計(jì)算可得二面角的余弦值為.（法二）以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則平面法向量可取：,平面的法向量,由空間向量的結(jié)論計(jì)算可得二面角的余弦值為.【題目詳解】（1）連接交于，并連接，，，，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）（法一）由為正方形可得，.取中點(diǎn)，連，，，側(cè)面底面，且交于，，面，又，為二面角的平面角,又，，，，所以二面角的余弦值為.（法二）由題意可知面，，如圖所示，以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則，，，.平面法向量可取：,平面中，設(shè)法向量為，則,取,，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判斷定理，二面角的定義與求解，空間向量的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、見解析【解題分析】

利用不等式證明．【題目詳解】∵，∴，時(shí)取等號(hào)．又均為正數(shù)，∴【題目點(diǎn)撥】本題考查用基本不等式證明不等式，解題關(guān)鍵是掌握基本不等式的推廣形式：即．20、（I）；（II）.【解題分析】

（I）和為4次有兩種情況，一個(gè)是1次一個(gè)是3次與兩個(gè)都是2次；（II）隨機(jī)變量的所有可能取值有三種，為0,1,2，分別求出其概率即可求解.【題目詳解】（I）由已知得：，所以，事件發(fā)生的概率為.（II）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2；計(jì)算，，；所以，隨機(jī)變量的分布列為：012隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)事件的概率、分布列及其期望.21、(1);(2)【解題分析】

（1）通過，可計(jì)算出C角正弦及余弦值，于是通過誘導(dǎo)公式可得答案；（2）通過，可得，再利用可得答案.【題目詳解】(1)在中,由于，故，解得，所以；（2）由（1）可知，而，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力及分析能力，難度不大.22、（1）當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解題分析】試題分析：（I）首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)字母a進(jìn)行分類討論，根據(jù)f'(x)>0，可知f(x)函數(shù)單調(diào)遞增，f'(x)<0時(shí)f(x)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．（Ⅱ）要證當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(shù)(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f'當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).