2024屆福建省普通高中高二數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2024屆福建省普通高中高二數(shù)學第二學期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知且,則的最大值為()A． B． C． D．2．已知,是離心率為的雙曲線上關于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，且直線的斜率分別為，，，則的取值范圍為（）A． B．C． D．)3．函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．4．若函數(shù)在為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知復數(shù),則的共軛復數(shù)()A． B． C． D．6．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管進行測試，那么在五次測試中恰有三次測到正品的概率是（）A． B． C． D．7．已知空間向量，且，則（）A． B． C． D．8．在各項都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，則a5?a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．369．已知函數(shù).若，則（）A．4 B．3 C．2 D．110．設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．11．甲?乙?丙?丁四位同學一起去老師處問他們的成績.老師說:“你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給丙看甲?乙的成績,給甲看乙的成績,給丁看丙的成績.”看后丙對大家說:“我還是不知道我的成績.”根據(jù)以上信息,則下列結論正確的是()A．甲可以知道四人的成績 B．丁可以知道自己的成績C．甲?丙可以知道對方的成績 D．乙?丁可以知道自己的成績12．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，當時，，則的解集時（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，則__________．14．已知函數(shù)，若在處取得極小值，則實數(shù)的值為______.15．定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有____個．16．若隨機變量的分布列如表所示，則______.01Pa三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學生中抽出60名學生，并統(tǒng)計了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，……，后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出物理成績低于50分的學生人數(shù)；（2）估計這次考試物理學科及格率（60分以上為及格）；（3）從物理成績不及格的學生中選x人，其中恰有一位成績不低于50分的概率為，求此時x的值；18．（12分）已知，且.（1）求n的值；（2）求的值.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的普通方程；（2）在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為，過直線上一點引曲線的切線，切點為，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，其中為實常數(shù).（1）若當時，在區(qū)間上的最大值為，求的值；（2）對任意不同兩點，，設直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，，（）．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設（），數(shù)列的前項和為，證明：（）．22．（10分）已知向量，，函數(shù)，在中，，，點在邊上，且．（1）求的長；（2）求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)絕對值三角不等式可知；根據(jù)可得，根據(jù)的范圍可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質可求得結果.【題目詳解】由題意得：當，即時，即：，即的最大值為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)最值的求解，難點在于對于絕對值的處理，關鍵是能夠將函數(shù)放縮為關于的二次函數(shù)的形式，從而根據(jù)二次函數(shù)性質求解得到最值.2、B【解題分析】

因為M,N關于原點對稱，所以設其坐標，然后再設P坐標，將表示出來.做差得，即有，最后得到關于的函數(shù)，求得值域.【題目詳解】因為雙曲線的離心率，所以有，故雙曲線方程即為.設M,N,P的坐標分別是,則，并且做差得，即有，于是有因為的取值范圍是全體實數(shù)集，所以或，即的取值范圍是，故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的性質，有一定的綜合性和難度.3、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性、特殊值判斷函數(shù)圖象形狀與位置即可．【題目詳解】函數(shù)y=是奇函數(shù)，所以選項A，B不正確；當x=10時，y=＞0，圖象的對應點在第一象限，D正確；C錯誤．故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，一般利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調性、對稱性、特殊值等方法判斷．4、A【解題分析】

利用函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間恒為非負數(shù)列不等式，用分離常數(shù)法求得的取值范圍.【題目詳解】依題意，在區(qū)間上恒成立，即，當時，，故，在時為遞增函數(shù)，其最大值為，故.所以選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調性有關的問題，考查正切函數(shù)的單調性，屬于中檔題.5、A【解題分析】

對復數(shù)進行化簡，然后得到，再求出共軛復數(shù).【題目詳解】因為，所以，所以的共軛復數(shù)故選A項.【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算，共軛復數(shù)的概念，屬于簡單題.6、D【解題分析】

根據(jù)二項分布獨立重復試驗的概率求出所求事件的概率。【題目詳解】由題意可知，五次測試中恰有三次測到正品，則有兩次測到次品，根據(jù)獨立重復試驗的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：D?！绢}目點撥】本題考查獨立重復試驗概率的計算，主要考查學生對于事件基本屬性的判斷以及對公式的理解，考查運算求解能力，屬于基礎題。7、C【解題分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0，列出方程，即可求解.【題目詳解】由空間向量，又由，即，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了空間向量中垂直關系的應用，其中解答中根據(jù)，利用向量的數(shù)量積等于0，列出方程即可求解，著重考查了推理與運算能力.8、C【解題分析】試題分析：由題設，所以，又因為等差數(shù)列各項都為正數(shù)，所以，當且僅當時等號成立，所以a5·a6的最大值等于9，故選C．考點：1、等差數(shù)列；2、基本不等式．9、D【解題分析】

令，則是R上的奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可以推得的值．【題目詳解】令，則是上的奇函數(shù)，又，所以，所以，，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題．10、A【解題分析】

構造新函數(shù),，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，需要構造函數(shù)，例如，想到構造.一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構造函數(shù).11、B【解題分析】

根據(jù)題意可逐句進行分析，已知四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成績可知：甲和乙、丙和丁都只能一個是優(yōu)秀，一個是良好，接下來，由上一步的結論，當甲知道乙的成績后，就可以知道自己的成績，同理，當丁知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，從而選出答案.【題目詳解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成績可知：甲和乙、丙和丁都只能一個是優(yōu)秀，一個是良好；當甲知道乙的成績后，就可以知道自己的成績，但是甲不知道丙和丁的成績；當丁知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，但是丁不知道甲和乙的成績；綜上，只有B選項符合.故選：B.【題目點撥】本題是一道邏輯推理題，此類題目的推理方法是綜合法和分析法，逐條分析題目條件語句即可，屬于中等題.12、A【解題分析】

對的范圍分類討論，利用已知及函數(shù)是奇函數(shù)即可求得的表達式，解不等式即可．【題目詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，所以當，即：時，，當，即：時，可化為：，解得：.當，即：時，利用函數(shù)是奇函數(shù)，將化為：，解得：所以的解集是故選A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應用，還考查了分類思想及計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：詳解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù))關于(2,0)中心對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，得到函數(shù)的周期為：4，故答案為：0.點睛：這個題目考查了函數(shù)的對稱性和周期性，對于抽象函數(shù)，且要求函數(shù)值的題目，一般是研究函數(shù)的單調性和奇偶性，通過這些性質將要求的函數(shù)值轉化為已知表達式的區(qū)間上，將轉化后的自變量代入解析式即可.14、.【解題分析】

先求出導數(shù)，建立方程求出的值，并驗證能否取得極小值【題目詳解】解：由題意知，，則，解得.經檢驗，時，函數(shù)在處取得極小值.故答案為:.【題目點撥】本題考查函數(shù)極小值的概念.要注意對求出值的驗證．令導數(shù)為0，求出的方程的根不一定是極值點，還應滿足在解的兩邊函數(shù)的單調性相反.15、14【解題分析】由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：由圖可知，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個.故答案為14.16、【解題分析】

先由分布列，根據(jù)概率的性質求出，再求出期望，根據(jù)方差的計算公式，即可得出結果.【題目詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求離散型隨機變量的方差，熟記計算公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）6；（2）75%；（3）4；【解題分析】

（1）利用頻率分布直方圖可求得物理成績低于分的頻率，利用頻率乘以總數(shù)可得所求頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計算得到物理成績不低于分的頻率，從而得到及格率；（3）計算出成績不低于分的人數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式可列出關于的方程，解方程求得結果.【題目詳解】（1）物理成績低于分的頻率為：物理成績低于分的學生人數(shù)為：人（2）物理成績不低于分的頻率為：這次考試物理學科及格率為：（3）物理成績不及格的學生共有：人其中成績不低于分的有：人由題意可知：，解得：【題目點撥】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù)、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征估計總體數(shù)據(jù)特征、古典概型概率的應用問題；關鍵是熟練掌握頻率分布直方圖的相關知識點，考查概率和統(tǒng)計知識的綜合應用.18、（1）.（2）【解題分析】

（1）根據(jù)，即可求解，即可求得答案；（2）采用賦值法，令求出所有項系數(shù)的和，再令，求，即可求得答案.【題目詳解】（1）整理可得：即，故解得：或（舍去）（2）由（1）令，可得令，可得可得【題目點撥】本題主要考查二項式定理、組合數(shù)等基礎知識，考查分析問題能力與運算求解能力，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由得，將兩個等式平方后相加可得出曲線的普通方程；（2）將直線的極坐標方程化為普通方程，計算出圓心到直線的距離作為的最小值，然后利用勾股定理可得出的最小值.【題目詳解】（1）由得，所以，，將兩式相加得，因此，曲線的普通方程為；（2）由，得，即，由，，所以，直線的直角坐標方程為.由（1）知曲線為圓且圓心坐標為，半徑為，切線長，當取最小時，取最小，而的最小值即為到直線的距離.到直線的距離為，，因此，的最小值為.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了切線長的計算，一般在直角三角形利用勾股定理進行計算，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.20、(1)(2)【解題分析】

（1）討論與0，1，e的大小關系確定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化為，不妨設，整理得，設，當時，，得，分離，求其最值即可求解a的范圍【題目詳解】（1），令，則.所以在上單調遞增，在上單調遞減.①當，即時，在區(qū)間上單調遞減，則，由已知，，即，符合題意.②當時，即時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.③當，即時，在區(qū)間上單調遞增，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.綜上分析，.（2）由題意，，則原不等式化為，不妨設，則，即，即.設，則，由已知，當時，不等式恒成立，則在上是增函數(shù).所以當時，，即，即恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以.故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性，不等式恒成立問題，構造函數(shù)與分離變量求最值，分類討論思想，轉化化歸能力，是中檔題21、(1)(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由數(shù)列遞推式結合，可得（），然后利用累積法求得數(shù)列通項公式；（2）把數(shù)列的通項公式代入()，然后利用裂項相消法求和，放縮得答案試題解析：（1）當時，，解得；當時，，，以上兩式相減，得，∴，∴，∴（2）當時，；當時，，∴，∴（）．點睛：本題主要考查了這一常用等式，需注意的范圍，累乘法求通項公式以及數(shù)列求和，屬于高考中?？贾R