2024屆廣東省高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆廣東省高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解出集合，利用交集計算即可.【詳解】由可知：，即，故，所以.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，找到共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】結(jié)合題意：，所以.故選：B.3．已知向量，，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】由求出，從而可求解.【詳解】由，，所以，因?yàn)?，所以，得，所以，故A正確.故選：A.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得，利用二倍角正切公式可求得結(jié)果.【詳解】由，可得：，.故選：A.5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)的奇偶性排除D選項(xiàng)，再由函數(shù)值的取值范圍排除A、B選項(xiàng)后可得正確結(jié)論．【詳解】由已知，為偶函數(shù)，排除D；當(dāng)時，，，令，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，即，所以，當(dāng)時，，即，可排除A、B.故選:C.6．已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)的公差為，，用表示，求出的關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，，化簡得，因?yàn)?，可得所以，?故選：D.7．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點(diǎn)為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，已知3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，則取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出10個數(shù)中任取3個數(shù)，至多有1個陰數(shù)的總基本事件個數(shù)，再列舉出取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.【詳解】如圖，白點(diǎn)為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，陽數(shù)為，陰數(shù)為若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)且3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，基本事件總數(shù)為，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包括，共有12個，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.故選：A.8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用焦點(diǎn)三角形得面積表示出，借助找到斜率之間得關(guān)系，計算即可.【詳解】設(shè)，，由，解得，又因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得，因?yàn)?，可得，即，記直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,因?yàn)?所以,即，即，整理得：，解得,故選:A.二、多選題9．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】對A：由不等式性質(zhì)計算即可得；對B：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得；對C、D：舉出反例即可得.【詳解】對A：由，故，則，即，故A正確；對B：由，且為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，故B正確；對C：當(dāng)，時，有，，此時，故C錯誤；對D：當(dāng)，時，有，，此時，故D錯誤.故選：AB.10．過拋物線：的焦點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切C．若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D．若，則直線有且只有一條【答案】BCD【分析】對于選項(xiàng)A:計算出準(zhǔn)線即可判斷；對于選項(xiàng)B:驗(yàn)證是否成立；對于選項(xiàng)C，D:借助焦點(diǎn)弦及通徑的相關(guān)公式計算即可.【詳解】對于選項(xiàng)A:由拋物線：，可得解得，故準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B:設(shè)的中點(diǎn)為,且在準(zhǔn)線上的投影為，由拋物線的定義可知：,易知四邊形為直角梯形，所以,故以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C:設(shè)，因?yàn)椋?，所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D:結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦中通徑最短，可得，要使，則線段為拋物線的通徑，則這樣的直線有且只有一條,故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則A．的圖象關(guān)于中心對稱 B．是周期函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．【答案】BC【分析】對A：由可得的圖象關(guān)于直線對稱；對B：結(jié)合為奇函數(shù)與即可得周期性；對C：結(jié)合對稱性與在上單調(diào)遞增即可得；對D：結(jié)合周期性與奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.【詳解】對A：由，故的圖象關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對B：由為奇函數(shù)，故，又，故，即有，則，即，故是周期函數(shù)且周期為，故B正確；對C：由在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又關(guān)于直線對稱，故在上單調(diào)遞減，故C正確；對D：由為定義在上的奇函數(shù)，故，有，由關(guān)于直線對稱，故關(guān)于中心對稱，故，由，故，即有，，故，，故D錯誤.故選：BC.12．如圖，為圓錐底面的直徑，，點(diǎn)是圓上異于的動點(diǎn)，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面相切），點(diǎn)是球與圓錐側(cè)面的交線上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若⊥，三棱錐體積的最大值為8B．若⊥，平面與底面所成角的取值范圍為C．若，內(nèi)切球的表面積為D．若，的最大值為4【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，由勾股定理和基本不等式，求出最大值，從而得到體積最大值；B選項(xiàng)，作出輔助線，找到平面與底面所成角的平面角為，利用，得到面面角的取值范圍；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到內(nèi)切球的球心和半徑，得到表面積；D選項(xiàng)，求出點(diǎn)的軌跡，設(shè)，表達(dá)出其他邊長，證明出線面垂直，進(jìn)而得到，平方后求出最大值，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椤?，，所以，故，由勾股定理得，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故三棱錐體積的最大值為，A錯誤；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，所以⊥，因?yàn)?，所以⊥，點(diǎn)是圓上異于的動點(diǎn)，故平面與底面所成角的平面角為，，，故，故，若⊥，平面與底面所成角的取值范圍為，B正確；C選項(xiàng)，若，則為等邊三角形，故，，與球相切，設(shè)切點(diǎn)為，球的半徑為，連接，則⊥，，故，則，解得，故內(nèi)切球的表面積為，C正確；D選項(xiàng)，點(diǎn)的軌跡為如圖所示的小圓，由C選項(xiàng)得，，由⊥，，可知，故，，，，設(shè)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，因?yàn)椤托A，小圓，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，則，由∽可知，由勾股定理得，，故，，故，，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為16，故的最大值為4，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中體積最值問題，一般可從三個方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立所求體積的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個互相牽制的變量（兩個變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.三、填空題13．第二屆廣東自由貿(mào)易試驗(yàn)區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意可知隨機(jī)變量為，利用方差公式從而可求解.【詳解】由題意知隨機(jī)變量為，所以，故答案為：.14．已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【分析】借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.【詳解】當(dāng)時，，則，解得，又，故.故答案為：.15．動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為.【答案】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式及已知求得的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，再確定直線所過的定點(diǎn)并判斷其與圓的位置關(guān)系，要使圓上點(diǎn)到直線距離最大，有圓心與定點(diǎn)所在直線與直線垂直，進(jìn)而求最大值.【詳解】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線：可化為，易知過定點(diǎn)，由，故點(diǎn)在圓外，則圓心與定點(diǎn)所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故答案為：16．已知函數(shù)（，）且），若恒成立，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意分類討論，兩種情況，通過導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得到，再構(gòu)造函數(shù)及導(dǎo)數(shù)方法求出其最小值，從而求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時，可得在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，也是最小值，又因?yàn)榍遥?，則，得，所以，設(shè)，，令，得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過分類討論，兩種情況得到符合的情況，通過導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得到，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.四、解答題17．學(xué)校為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)與活動兩不誤，在延時課開設(shè)籃球、書法兩項(xiàng)活動，為了了解學(xué)生的選擇意向，隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)，得到如下列聯(lián)表.性別選擇籃球選擇書法男生4010女生2525(1)根據(jù)上表，分別估計該校男、女生選擇籃球的概率；(2)試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與選擇意向是否有關(guān)聯(lián).附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)；；(2)性別與選擇意向有關(guān)聯(lián).【分析】（1）以頻率估計概率計算即可;（2）根據(jù)題意，計算并與比較，完成獨(dú)立性檢驗(yàn).【詳解】（1）以頻率估計概率,所以該校男生選擇籃球的概率為,所以該校女生選擇籃球的概率為.（2）結(jié)合題意：,整理計算得：，故能在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下認(rèn)為性別與選擇意向有關(guān).18．已知中，角所對的邊分別為，，，，且.(1)求角的大小；(2)若，點(diǎn)在邊上，且平分，求的長度.【答案】(1);(2).【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，找到邊的關(guān)系，借助余弦定理計算即可；（2）結(jié)合（1）問，求出，利用，計算出的長度即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，因?yàn)椋?，即，由余弦定理可得，在中?所以.（2）由（1）問可知,，所以，解得，設(shè)，由平分，所以,即,解得：，故的長度為.19．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得，由與的關(guān)系即可得；（2）由與可得，即可得，由，可得，借助等比數(shù)列求和公式計算即可得證.【詳解】（1）由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，符合上式，故；（2）由，，故，則，由，故，則.20．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，.(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)坐標(biāo)，通過證明三向量共面，即可得出結(jié)論；（2）分別求出平面與平面的一個法向量，即可求出平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）由題意證明如下，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴,,∴,∴，∵∴∴三向量共面，∴，，，四點(diǎn)共面.（2）由題意及（1）得，在直三棱柱中，在平面中，其一個法向量為在平面中，設(shè)其一個法向量為，即，解得：，當(dāng)時，設(shè)平面與平面夾角為，，∴平面與平面夾角的余弦值為.21．已知雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，點(diǎn)在上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)；直線為【分析】（1）借助漸近線公式及點(diǎn)到直線的距離公式，并代入點(diǎn)計算即可得；（2）借助韋達(dá)定理結(jié)合從而得到直線中所設(shè)參數(shù)的關(guān)系，取線段中點(diǎn)，由可得，即可得的值和直線的方程.【詳解】（1）由雙曲線：可得，漸近線方程為：，則有，化簡得，又在上，即，即，故：；（2）由題意可知直線的斜率存在且斜率為，設(shè)直線為，、，聯(lián)立直線與雙曲線，消去可得，則有且，即且，有，，由，故、，則，即有，即，故或，當(dāng)時，直線為，過點(diǎn)，故舍去，當(dāng)時，直線為，由、，則線段中點(diǎn)為，，，即，由，，，故有，即，解得，故，則直線為，即存在，使得，此時直線的方程為..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助韋達(dá)定理結(jié)合題目所給，計算出直線中參數(shù)得關(guān)系.22．若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.【答案】(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.(2)(3)證明過程見詳解.【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）對