2024屆上海市松江區(qū)市級名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆上海市松江區(qū)市級名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，由到時，等式左邊需要添加的項是（）A． B．C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱的點為，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．3．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．4．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則（）A．- B．1或2 C．1 D．25．若函數(shù)有個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是A．210B．336C．84D．3437．若且；則的展開式的系數(shù)是（）A． B． C． D．8．已知，則的大小關(guān)系為()A． B． C． D．9．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務(wù)，任務(wù)是組織游客參加“祝福祖國征集留言”、“歡樂世園共繪展板”、“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項活動，其中1人負責(zé)“征集留言”，2人負責(zé)“共繪展板”，3人負責(zé)“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．180種12．在中，角的對邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)集合，，若，則的所有可能的取值構(gòu)成的集合是_______；14．乒乓球賽規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，甲發(fā)球得1分的概率為，乙發(fā)球得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.則開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率為________.15．給出下列命題：①“”是“”的充分必要條件；②命題“若，則”的否命題是“若，則”；③設(shè)，，則“且”是“”的必要不充分條件；④設(shè)，，則“”是“”的必要不充分條件.其中正確命題的序號是_________.16．已知常數(shù)，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）如圖，在矩形中，為CD的中點，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.19．（12分）將編號為1、2、3、4的四個小球隨機的放入編號為1、2、3、4的四個紙箱中，每個紙箱有且只有一個小球，稱此為一輪“放球”．設(shè)一輪“放球”后編號為的紙箱放入的小球編號為，定義吻合度誤差為(1)寫出吻合度誤差的可能值集合；(2)假設(shè)等可能地為1，2，3，4的各種排列，求吻合度誤差的分布列；(3)某人連續(xù)進行了四輪“放球”，若都滿足，試按(Ⅱ)中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪“放球”相互獨立)；20．（12分）如圖，在四邊形中，，．已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的長．21．（12分）已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓在第一線象限的交點為．（1）求曲線、的方程；（2）在拋物線上任取一點，在點處作拋物線的切線，若橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，求點的縱坐標的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標(，)，直線l的極坐標方程為ρcos(θ－)＝a，．（1）若點A在直線l上，求直線l的直角坐標方程；（2）圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若直線與圓C相交的弦長為，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

寫出時，左邊最后一項，時，左邊最后一項，由此即可得到結(jié)論【題目詳解】解：∵時，左邊最后一項為，時，左邊最后一項為，∴從到，等式左邊需要添加的項為一項為故選：D．【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的概念，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求出，即可得到其對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱點的坐標，寫出復(fù)數(shù).【題目詳解】由題，在復(fù)平面對應(yīng)的點為（1,1），關(guān)于虛軸對稱點為（-1,1），所以其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：D【題目點撥】此題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵在于根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法除法運算準確求解，熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義.3、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，則可判斷，故是上的增函數(shù)，結(jié)合即可得出答案.【題目詳解】解：設(shè)，則，∵，，∴，∴是上的增函數(shù)，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】分析：由為偶數(shù)，且，即可得結(jié)果.詳解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查綜合利用所學(xué)知識解決問題的能力.5、D【解題分析】分析：首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)圖象考查臨界情況即可求得最終結(jié)果.詳解：令，，原問題等價于與有兩個不同的交點，當時，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)表示過坐標原點的直線，考查臨界情況，即函數(shù)與函數(shù)相切的情況，當時，，當時，，數(shù)形結(jié)合可知：的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6、B【解題分析】

由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】由題意知本題需要分組解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：B．【題目點撥】分類要做到不重不漏，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．7、C【解題分析】

先根據(jù)求出，再代入，直接根據(jù)的展開式的第項為，即可求出展開式的系數(shù)?！绢}目詳解】因為且所以展開式的第項為展開式中的系數(shù)為故選C【題目點撥】本題考查二項式展開式，屬于基礎(chǔ)題。8、A【解題分析】分析：由，，，可得，，則，利用做差法結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.詳解：，，則，即，綜上，故選A.點睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.9、B【解題分析】

由題意得，對于函數(shù)和函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)，排除A、C．又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，排除D，故選B．10、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的乘法求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所處的象限．【題目詳解】，，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標為，位于第四象限，故選D．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

從6人中選1人負責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負責(zé)“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責(zé)“發(fā)放彩繩，即可得出不同的分配方案.【題目詳解】從6人中選1人負責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負責(zé)“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責(zé)“發(fā)放彩繩，則不同的分配方案共有種故選：B【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【題目詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【題目點撥】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)集合的包含關(guān)系可確定可能的取值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由得：或或所有可能的取值構(gòu)成的集合為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

先確定比分為1比2時甲乙在三次發(fā)球比賽中得分情況，再分別求對應(yīng)概率，最后根據(jù)互斥事件概率公式求結(jié)果【題目詳解】比分為1比2時有三種情況：（1）甲第一次發(fā)球得分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球得分（2）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球得分，乙第一次發(fā)球得分（3）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球失分所以概率為【題目點撥】本題考查根據(jù)互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.15、②④【解題分析】

逐項判斷每個選項的正誤得到答案.【題目詳解】①當時，成立，但不成立，所以不具有必要性，錯誤②根據(jù)否命題的規(guī)則得命題“若，則”的否命題是“若，則”；，正確.③因為且”是“”的充分不必要條件，所以錯誤④因為且，所以“”是“”的必要不充分條件.正確.故答案為②④【題目點撥】本題考查了充分必要條件，否命題，意在考查學(xué)生的綜合知識運用.16、1【解題分析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)可得，再結(jié)合數(shù)列極限的求法即可得解.【題目詳解】因為，則，所以，故答案為：1.【題目點撥】本題考查了二項式系數(shù)及數(shù)列極限，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)【解題分析】

(Ⅰ)如圖做輔助線，D為AB中點，連，，由是等邊三角形可知，，且，則是等邊三角形，，故平面，平面，那么得證．(Ⅱ)建立空間直角坐標系以D為原點，先根據(jù)已知求平面的一個法向量，再求向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，計算即得.【題目詳解】(Ⅰ)取中點，連,因為，所以,所以平面因為平面所以.(Ⅱ)以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得,,,,設(shè)平面的一個法向量為則，而.所以.又，設(shè)直線與平面所成的角,則【題目點撥】本題考查兩條直線的位置關(guān)系和立體幾何中的向量方法，是常見考題.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而證明平面平面；（2）結(jié)合（1），如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：設(shè)，在矩形中，由為的中點，易求得：，所以．所以．又因為平面平面，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平面.（2）設(shè)，取中點，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸，軸正方向建立空間直角坐標系，依題意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即不妨取，得，設(shè)平面與平面所成二面角為θ，，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空間向量解決問題的能力，屬于中檔題．19、(1).(2)見解析(3)【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意知與的奇偶性相同，誤差只能是偶數(shù)，由此寫出的可能取值；（2）用列舉法求出基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式計算對應(yīng)的概率值，寫出隨機變量的分布列；（3）利用互斥事件的概率公式計算，再利用對立事件的概率公式求解.試題解析：(1)由于在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，所以中的奇數(shù)的個數(shù)與中偶數(shù)的個數(shù)相同．因此，與的奇偶性相同，從而吻合度誤差只能是偶數(shù)，又因為的值非負且值不大于1．因此，吻合度誤差的可能值集合.(2)用表示編號為1、2、3、4的四個紙箱中放入的小球編號分別為，則所有可能的結(jié)果如下:易得，，，，于是，吻合度誤差的分布列如下:02461(3)首先，由上述結(jié)果和獨立性假設(shè)，可得出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率為【方法點睛】本題主要考查古典概型概率公式，以及隨機變量的分布列，屬于難題，利用古典概型概率公式,求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）在中，由正弦定理可得答案;（Ⅱ）由結(jié)合（Ⅰ）可得，在中，由余弦定理得BC值.【題目詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．因為，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因為，所以．在中，由余弦定理，得．因為所以，即，解得或．又，則．【題目點撥】本題主要考查正弦定