2024屆上海市部分重點中學數(shù)學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

2024屆上海市部分重點中學數(shù)學高二第二學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種2．正方體中，直線與平面所成角正弦值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則在上的值域為（）A． B． C． D．4．我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，每天的正點率服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.995．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．6．命題“”的否定是()A． B．C． D．7．2019年5月31日晚，大連市某重點高中舉行一年一度的畢業(yè)季燈光表演.學生會共安排6名高一學生到學校會議室遮擋4個窗戶，要求兩端兩個窗戶各安排1名學生，中間兩個窗戶各安排兩名學生，不同的安排方案共有（）A．720 B．360 C．270 D．1808．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．39．正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值是()A． B．2 C． D．10．在三棱柱面，，，，則三棱柱的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．412．用，，，，這個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．個 B．個 C．個 D．個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為常數(shù)），對任意，均有恒成立，下列說法：①的周期為6；②若（為常數(shù)）的圖像關于直線對稱，則；③若，且，則必有；④已知定義在上的函數(shù)對任意均有成立，且當時，；又函數(shù)（為常數(shù)），若存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是，其中說法正確的是_______（填寫所有正確結論的編號）14．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意的，都有，則的取值范圍是________.15．在棱長為的正方體中，是棱的中點，則到平面的距離等于_____.16．除以9的余數(shù)為_______；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設命題：方程表示雙曲線；命題：“方程表示焦點在軸上的橢圓”.（1）若和均為真命題，求的取值范圍;（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別是其左，右焦點，為橢圓上任意一點，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）過作直線與橢圓交于兩點，點在軸上，連結分別與直線交于點，若，求的值．19．（12分）已知，．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）對一切的時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．20．（12分）面對某種流感病毒，各國醫(yī)療科研機構都在研究疫苗，現(xiàn)有A、B、C三個獨立的研究機構在一定的時期研制出疫苗的概率分別為SKIPIF1<0．求:（1）他們能研制出疫苗的概率；（2）至多有一個機構研制出疫苗的概率．21．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)(為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與軸平行.（1）求的值；（2）求的單調區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個計數(shù)原理的應用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，快譯通2臺和錄音機1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機2臺，取法有種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數(shù)原理的應用，考查分類和分步的綜合應用，本題解題的關鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.2、C【解題分析】

作出相關圖形，設正方體邊長為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【題目詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因為為等邊三角形，則在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設正方體邊長為1，顯然，因此，則，故答案選C.【題目點撥】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學生的轉化能力，計算能力和空間想象能力.3、D【解題分析】由題意得，函數(shù)的圖象關于點對稱，則，即，解得，所以，則，令，解得或，當，則，函數(shù)單調遞減，當，則，函數(shù)單調遞增，所以，，所以函數(shù)的值域為，故選D.點睛：本題考查了函數(shù)的基本性質的應用，其中解答中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱，列出方程組，求的得值是解得關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力.4、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得指定區(qū)間的概率.【題目詳解】由于，故，故選D.【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查正態(tài)分布指定區(qū)間的概率的求法，屬于基礎題.5、D【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計算出結果.【題目詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【題目點撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎題.6、C【解題分析】

命題的否定：任意變存在，并對結論進行否定.【題目詳解】命題的否定需要將限定詞和結論同時否定，題目中：為限定詞，為條件，為結論；而的否定為，的否定為，所以的否定為故本題正確答案為C.【題目點撥】本題考查了命題的否定,屬于簡單題.7、D【解題分析】

由題意分兩步進行，第一步為在6名學生中任選2名安排在兩端兩個窗戶，可得方案數(shù)量，第二步為將剩余的6名學生平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個窗戶，兩者方案數(shù)相乘可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，分兩步進行：①在6名學生中任選2名安排在兩端兩個窗戶，有中情況；②將剩余的6名學生平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個窗戶，有種情況，則一共有種不同的安排方案，故選：D.【題目點撥】本題主要考查排列、組合及簡單的計數(shù)問題，相對不難，注意運算準確.8、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因為，所以為中點，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點睛：本小題主要考查圓的幾何性質，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.9、A【解題分析】試題分析：由得解得，再由得，所以，所以.考點：數(shù)列與基本不等式.【思路點晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過程中，先對具體的數(shù)值條件進行化簡，可求出，由此化簡第一個條件，可得到；接下來第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個常數(shù)，再除以這個常數(shù)，構造基本不等式結構來求.10、C【解題分析】

利用余弦定理可求得，再根據(jù)正弦定理可求得外接圓半徑；由三棱柱特點可知外接球半徑，求得后代入球的表面積公式即可得到結果.【題目詳解】且由正弦定理可得外接圓半徑：三棱柱的外接球半徑：外接球表面積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查多面體外接球表面積的求解問題，關鍵是能夠明確外接球球心的位置，從而利用底面三角形外接圓半徑和三棱柱的高，通過勾股定理求得外接球半徑.11、B【解題分析】

由導數(shù)與極大值之間的關系求解．【題目詳解】函數(shù)在極大值點左增右減，即導數(shù)在極大值點左正右負，觀察導函數(shù)圖象，在上有兩個有兩個零點滿足．故選：B.【題目點撥】本題考查導數(shù)與極值的關系．屬于基礎題．12、B【解題分析】

利用分類計數(shù)原理，個位數(shù)字為時有；個位數(shù)字為或時均為，求和即可.【題目詳解】由已知得：個位數(shù)字為的偶數(shù)有，個位數(shù)字為的偶數(shù)為，個位數(shù)字為的偶數(shù)有，所以符合條件的偶數(shù)共有.故選：B【題目點撥】本題考查了分類計數(shù)運算、排列、組合，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】

根據(jù)成立即可求得對稱軸,由對稱軸結合解析式即可求得的值,可判斷①;根據(jù)及對稱軸即可求得的值,可判斷②;根據(jù)條件可得與的關系,結合二次函數(shù)的值域即可判斷③;根據(jù)條件可知函數(shù)為偶函數(shù),根據(jù)存在性成立及恒成立,轉化為函數(shù)的值域即可判斷④.【題目詳解】對于①,因為對任意,均有成立,則的圖像關于直線對稱,所以解得.即是軸對稱函數(shù),不是周期函數(shù),所以①錯誤;對于②,的圖像關于直線對稱,可得,解得,所以②正確;對于③,,而由可知則或.當時,代入可得,即,解不等式組可得,不等式無解,所以不成立當時,代入可得,即,解不等式組可得,即所以,所以,所以③錯誤;對于④,由可知函數(shù)為偶函數(shù),當時,;當時,.所以在上的值域為在上的值域為因為存在使得成立所以只需且即,即實數(shù)的取值范圍是,所以④正確綜上可知,說法正確的是②④故答案為:②④【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性及恒成立問題的綜合應用,對于分類討論思想的理解,屬于難題。14、【解題分析】

由，得，分段求解析式，結合圖象可得m的取值范圍．【題目詳解】解：，，時，，時，；時，；時，；當時，由，解得或，若對任意，都有，則。故答案為：?！绢}目點撥】本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，訓練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，屬中檔題．15、【解題分析】

由題意畫出正方體，求出的面積，利用等體積法求解到平面的距離.【題目詳解】由題意，畫出正方體如圖所示，，點是中點，所以，在中，，，，所以，，所以，設到平面的距離為，由，得，解得，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查求點到平面距離的方法、棱錐體積公式、余弦定理和三角形面積公式的應用，考查等體積法的應用和學生的轉化和計算能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

將變?yōu)?，利用二項式定理展開可知余數(shù)因不含因數(shù)的項而產(chǎn)生，從而可知余數(shù)為.【題目詳解】由題意得：除以的余數(shù)為：本題正確結果：【題目點撥】本題考查余數(shù)問題的求解，考查學生對于二項式定理的掌握情況，關鍵是能夠配湊出除數(shù)的形式，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)雙曲線方程和橢圓方程的標準形式，可得同時成立，從而求出；（2）為真命題，為假命題，則、一真一假，再根據(jù)集合的交、補運算求得或.【題目詳解】（1）若為真命題，則，解得：或.若為真命題，則，解得：.若和均為真命題時，則的取值范圍為.（2）若為真命題，為假命題，則、一真一假.當真假時，解得：或當假真時，，無解綜上所述：的取值范圍為或.【題目點撥】本題以橢圓、雙曲線方程的標準形式為背景，與簡易邏輯知識進行交會，本質考查集合的基本運算.18、（1）；（2）．【解題分析】

由題意可得，，，聯(lián)立求解即可得出；

設直線l的方程為：，，直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：，根據(jù)共線以及共線，可得M，N的坐標．根據(jù)，可得又，再利用根與系數(shù)的關系即可得出．【題目詳解】（1）由題意，知又，解得．所求橢圓的標準方程為．（2）由，設直線的方程為，代入橢圓的方程，并消去，得：，顯然．設，則，于是．設，由共線，得，所以，同理，．因為，所以恒成立，解得．【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程及其性質，一元二次方程的根與系數(shù)的關系，向量數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19、（Ⅰ）f（x）的極小值是（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）對求導，并判斷其單調性即可得出極值。（Ⅱ）化簡成，轉化成判斷的最值?！绢}目詳解】解：（Ⅰ），，，令，解得：，令，解得：，∴在遞減，在遞增，∴的極小值是；（Ⅱ）∵，由題意原不等式等價于在上恒成立，即，可得，設，則，令，得，（舍），當時，，當時，，∴當時，h（x）取得最大值，，∴，即a的取值范圍是．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)極值的判斷以及函數(shù)最值的問題，在解決此類問題時通常需要求二次導數(shù)或者構造新的函數(shù)再次求導。本題屬于難題。20、（1）（2）【解題分析】試題分析：記A、B、C分別表示他們研制成功這件事，則由題意可得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．（1）他們都研制出疫苗的概率P（ABC）=P（A）?P（B）?P（C），運算求得結果．（2）他們能夠研制出疫苗的概率等于，運算求得結果試題解析：設“A機構在一定時期研制出疫苗”為事件D，“B機構在一定時期研制出疫苗”為事件E，“C機構在一定時期研制出疫苗”為事件F，則P（D）=SKIPIF1<0，P（E）=SKIPIF1<0，P（F）=SKIPIF1<0（1）P（他們能研制出疫苗）=1-P（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）P（至多有一個機構研制出疫苗）=SKIPIF1<0SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+P（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0考點：相互獨立事件的概率乘法公式21、（1）8（2）[－2,0].【解題分析】

（1）根據(jù)函