2024屆廈門市大同中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆廈門市大同中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果，且，若在內(nèi)取值的概率為,則在內(nèi)取值的概率為（）A． B． C． D．2．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①；②與及中至少有一個(gè)成立；③，，不能同時(shí)成立．A． B． C． D．3．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A．-40 B．-20 C．20 D．404．觀察下列各式：則（）A．28B．76C．123D．1995．某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：——結(jié)伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，求得本次抽查的學(xué)生中類人數(shù)是（）A．30 B．40 C．42 D．486．（山西省榆社中學(xué)高三診斷性模擬考試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則A． B．C． D．7．只用四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這四個(gè)數(shù)字必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．8．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，的一組數(shù)據(jù)如下表：245682040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．已知向量，，若∥，則A． B． C． D．10．已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．已知展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，實(shí)數(shù)是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A． B． C． D．12．對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其回歸直線方程，且，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字之間恰有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是_______.（用數(shù)字作答）14．如圖為某幾何體的三視圖，則其側(cè)面積為_______15．觀察下列恒等式：，，，，請你把結(jié)論推廣到一般情形，則得到的第個(gè)等式為___________________________________.16．球的表面積是其大圓面積的________倍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，記集合.（I）求集合；（II）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.18．（12分）總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖如下(1)請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個(gè)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測第144天這株幼苗的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).附：，參考數(shù)據(jù)：140285628319．（12分）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入新華書店購買數(shù)學(xué)課外閱讀書籍，經(jīng)過篩選后，他們都對(duì)三種書籍有購買意向，已知甲同學(xué)購買書籍的概率分別為,乙同學(xué)購買書籍的概率分別為,假設(shè)甲、乙是否購買三種書籍相互獨(dú)立.（1）求甲同學(xué)購買3種書籍的概率；（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，恒成立.21．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）試比較與的大小，并說明理由；（3）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)，得到正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為，根據(jù)在內(nèi)取值的概率為0.3，利用在對(duì)稱軸為右側(cè)的概率為0.5，即可得出答案．【題目詳解】∵測量結(jié)果，∴正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為，∵在內(nèi)取值的概率為0.3，∴隨機(jī)變量在上取值的概率為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義、概率的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

①假設(shè)等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設(shè)其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時(shí)成立.【題目詳解】對(duì)①，假設(shè)（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對(duì)②，假設(shè)都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對(duì)③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時(shí)成立，∴③不正確．

故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時(shí)運(yùn)用舉例說明的方式更快捷.3、D【解題分析】令x=1得a=1.故原式=．的通項(xiàng)，由5-2r=1得r=2,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80，由5-2r=-1得r=3,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40，故所求的常數(shù)項(xiàng)為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘，若第1個(gè)括號(hào)提出x,從余下的5個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提出x，選3個(gè)提出；若第1個(gè)括號(hào)提出，從余下的括號(hào)中選2個(gè)提出，選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=404、C【解題分析】試題分析：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1，3，4，7，11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng)．繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十項(xiàng)為123，即考點(diǎn)：歸納推理5、A【解題分析】

根據(jù)所給的圖形，計(jì)算出總?cè)藬?shù)，即可得到A的人數(shù)．【題目詳解】解：根據(jù)選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總?cè)藬?shù)為120人，故選擇A方式的人數(shù)為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了條形圖和餅圖的識(shí)圖能力，考查分析問題解決問題的能力．6、D【解題分析】根據(jù)題意，由，得，則，，…，將各式相加得，又，所以，因此，則將上式減下式得，所以.故選D.點(diǎn)睛：此題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的求解計(jì)算，以及錯(cuò)位相消求各法的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中檔題型，也是?？贾R(shí)點(diǎn).錯(cuò)位相消求和法是一種重要的方法，一般適于所求數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)等比數(shù)列乘于一個(gè)等差的形式，將求和式子兩邊同時(shí)乘于等比數(shù)列的公比，再兩式作差，消去中間項(xiàng)，從而求得前項(xiàng)和公式.7、B【解題分析】

以重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；重復(fù)使用每個(gè)數(shù)字的五位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，通過倍數(shù)關(guān)系求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字時(shí)，符合題意的五位數(shù)共有：個(gè)當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為時(shí)，與重復(fù)使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個(gè)本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確不相鄰的問題采用插空法的方式來進(jìn)行求解；易錯(cuò)點(diǎn)是在插空時(shí)，忽略數(shù)字相同時(shí)無順序問題，從而錯(cuò)誤的選擇排列來進(jìn)行求解.8、B【解題分析】

回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn).【題目詳解】樣本中心點(diǎn)為，因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以，.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的性質(zhì).9、D【解題分析】

根據(jù)∥得到，解方程即得x的值.【題目詳解】根據(jù)∥得到.故答案為D【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)如果=,=，則||的充要條件是.10、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．11、C【解題分析】分析：由展開式通項(xiàng)公式根據(jù)常數(shù)項(xiàng)求得，再令可得各項(xiàng)系數(shù)和．詳解：展開式通項(xiàng)為，令，則，∴，，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為或．故選C．點(diǎn)睛：賦值法在求二項(xiàng)展開式中系數(shù)和方面有重要的作用，設(shè)展開式為，如求所有項(xiàng)的系數(shù)和可令變量，即系數(shù)為，而奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．12、A【解題分析】

根據(jù)，，求出樣本點(diǎn)的中心，代入回歸直線方程，即可求解.【題目詳解】由題：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，該點(diǎn)必滿足，即，所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出樣本點(diǎn)的中心，根據(jù)樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上求解參數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36【解題分析】

將兩個(gè)偶數(shù)以及兩個(gè)偶數(shù)之間的奇數(shù)當(dāng)作一個(gè)小團(tuán)體，先進(jìn)行排列，再將其視為一個(gè)元素和剩余兩個(gè)奇數(shù)作全排列即可.【題目詳解】根據(jù)題意，先選擇一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)作為一個(gè)小團(tuán)體，再將剩余兩個(gè)奇數(shù)和該小團(tuán)體作全排列，則滿足題意的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是種.故答案為：36.【題目點(diǎn)撥】本題考查捆綁法，屬排列組合基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長；根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可直接求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為底面半徑為，高為的圓錐圓錐的母線長為：圓錐的側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，考查學(xué)生對(duì)于圓錐側(cè)面積公式的掌握情況.15、.【解題分析】

觀察等式右邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)與的關(guān)系可得出結(jié)果.【題目詳解】由，，，由上述規(guī)律，歸納出第個(gè)等式為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵主要是找出式子的規(guī)律，考查推理能力，屬于中等題.16、【解題分析】

設(shè)球的半徑為，可得出球的表面積和球的大圓面積，從而可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，球的大圓面積為，因此，球的表面積是其大圓面積的倍，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查球的表面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（Ⅰ）由g（x）≤0得42x﹣5?22x+1+16≤0，然后利用換元法解一元二次不等式即可得答案；（Ⅱ）化簡函數(shù)f（x），然后利用換元法求解即可得答案．【題目詳解】解：（I）即，，令，即有得，，，解得；（II），令則，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，【題目點(diǎn)撥】本題考查了指、對(duì)數(shù)不等式的解法，考查了會(huì)用換元法解決數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題．18、(1)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；(2)；預(yù)測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【解題分析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，可直接判斷出結(jié)果；（2）先令，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得到與的數(shù)據(jù)對(duì)，根據(jù)新的數(shù)據(jù)對(duì)，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回歸方程，從而可求出預(yù)測值.【題目詳解】解：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；(2)令，則構(gòu)造新的成對(duì)數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計(jì)算，，.通過上表計(jì)算可得：因此∵回歸直線過點(diǎn)(，)，∴，故y關(guān)于的回歸直線方程為從而可得：y關(guān)于x的回歸方程為令x=144，則，所以預(yù)測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查非線性回歸方程，先將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，根據(jù)最小二乘法求出參數(shù)的估計(jì)值，即可得出結(jié)果，屬于常考題型.19、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）這是相互獨(dú)立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【題目詳解】（1）記“甲同學(xué)購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學(xué)購買3種書籍的概率為.（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數(shù)學(xué)期望為.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件的概率，考查二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)事件的概率的求法，解題的關(guān)鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.20、（1）（2）（3）見解析【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí),求導(dǎo)數(shù)，將切點(diǎn)橫坐標(biāo)帶入導(dǎo)數(shù)得到斜率，再計(jì)算切線方程.（2）求導(dǎo)，取導(dǎo)數(shù)為0，參數(shù)分離得到，設(shè)右邊為新函數(shù)，求出其單調(diào)性，求得取值范圍得到答案.（3）將導(dǎo)函數(shù)代入不等式，化簡得到，設(shè)左邊為新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到證明.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．∴∴，又∵∴，即∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，可得，?dāng)時(shí)，方程僅有一解，∴，∴令則由題可知直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．∵∴當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)．又∵，，且當(dāng)時(shí)，∴，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）∵∴要證對(duì)任意，恒成立即證成立即證成立設(shè)∴∵時(shí)，易知在上為減函數(shù)∴∴在上為減函數(shù)∴∴成立即對(duì)任意，恒成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線方程，極值點(diǎn)，參數(shù)分離法，恒成立問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生解決問題的能力.21、(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)可知方程有兩個(gè)不等正根，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；利用過一點(diǎn)曲線的切線的求解方法可求出過原點(diǎn)與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結(jié)果；（2）令，求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而證得結(jié)論.【題目詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?；在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根即：與在有兩個(gè)不