安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)汪宏喜高等數(shù)學(xué)微積分-導(dǎo)數(shù)及微分

安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)汪宏喜高等數(shù)學(xué)微積分--導(dǎo)數(shù)及微分匯報(bào)人：AA2024-01-25目錄導(dǎo)數(shù)的基本概念與性質(zhì)微分的基本概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例典型例題分析與解答課程總結(jié)與回顧01導(dǎo)數(shù)的基本概念與性質(zhì)VS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點(diǎn)$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必定連續(xù)。連續(xù)不一定可導(dǎo)即使函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，也不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如，函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則加減法則乘法法則除法法則$(uv)'=u'v+uv'$$(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$（其中$vneq0$）$(upmv)'=u'pmv'$高階導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)$y=f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在點(diǎn)$x_0$處仍可導(dǎo)，則稱$f'(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的二階導(dǎo)數(shù)，記作$f''(x_0)$。類似地，可以定義三階、四階等更高階的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的幾何意義二階導(dǎo)數(shù)表示切線的變化率，即曲線的凹凸性；更高階的導(dǎo)數(shù)則描述了曲線的更復(fù)雜的形態(tài)特性。高階導(dǎo)數(shù)02微分的基本概念與性質(zhì)微分是函數(shù)局部變化率的一種線性描述方式，即當(dāng)函數(shù)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。微分在幾何上表示函數(shù)圖像在某點(diǎn)處的切線斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。微分的定義及幾何意義微分的幾何意義微分的定義微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)是微分的商，即函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)描述的是函數(shù)在某點(diǎn)處的局部變化率，而微分則是描述函數(shù)在該點(diǎn)處的微小變化量。導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別加法法則若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處均可微，則它們的和在該點(diǎn)處也可微，且微分等于各函數(shù)微分之和。乘法法則若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處均可微，則它們的乘積在該點(diǎn)處也可微，且微分滿足乘法法則。除法法則若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處均可微，且分母函數(shù)的值不為零，則它們的商在該點(diǎn)處也可微，且微分滿足除法法則。微分的四則運(yùn)算法則高階微分的計(jì)算高階微分的計(jì)算可以通過連續(xù)應(yīng)用微分的基本法則來(lái)得到，也可以利用已知的導(dǎo)數(shù)公式或微分表進(jìn)行求解。高階微分的意義高階微分在描述函數(shù)的復(fù)雜形態(tài)和變化特征時(shí)具有重要作用，如曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等都可以通過高階微分來(lái)判斷。高階微分的定義高階微分是指對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次微分運(yùn)算后得到的結(jié)果，即二階、三階等更高階的導(dǎo)數(shù)或微分。高階微分03導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算方法隱函數(shù)的求導(dǎo)方法導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和微分公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法直接法求導(dǎo)數(shù)與微分0103020405復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與微分法則010203復(fù)合函數(shù)的微分法則抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與微分復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)方法由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)與微分隱函數(shù)的微分方法隱函數(shù)的求導(dǎo)法則與微分法則01020304參數(shù)方程的基本概念參數(shù)方程的求導(dǎo)法則參數(shù)方程的微分法則二階導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算參數(shù)方程的求導(dǎo)法則與微分法則04導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例通過求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以得到該點(diǎn)處的切線斜率。切線斜率描述了函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的傾斜程度。切線斜率法線與切線在切點(diǎn)處垂直，因此法線的斜率是切線斜率的負(fù)倒數(shù)。通過切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，可以求出法線方程。法線方程切線斜率與法線方程速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。通過求位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以得到速度函數(shù)，進(jìn)而求出某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。加速度是速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。通過求速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以得到加速度函數(shù)，進(jìn)而求出某一時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。速度加速度速度加速度問題邊際成本邊際成本是總成本對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，表示當(dāng)產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)，總成本的增加量。通過求總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以得到邊際成本函數(shù)。邊際收益邊際收益是總收益對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，表示當(dāng)產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)，總收益的增加量。通過求總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以得到邊際收益函數(shù)。邊際分析問題需求彈性需求彈性是需求量對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度，可以通過求需求函數(shù)對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)來(lái)衡量。需求彈性分為點(diǎn)彈性和弧彈性，分別表示在某一點(diǎn)和某一段弧上的彈性。要點(diǎn)一要點(diǎn)二供給彈性供給彈性是供給量對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度，可以通過求供給函數(shù)對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)來(lái)衡量。供給彈性同樣分為點(diǎn)彈性和弧彈性。彈性分析問題05典型例題分析與解答010203已知函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，求該點(diǎn)的切線方程。已知函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率，求該點(diǎn)的法線方程。利用導(dǎo)數(shù)定義求切線方程和法線方程。求切線方程和法線方程問題利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題01利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。02利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。結(jié)合一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性。03利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值問題01利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)。02利用二階導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的性質(zhì)（極大值或極小值）。03結(jié)合約束條件求函數(shù)的最值。利用微分進(jìn)行函數(shù)值的近似計(jì)算。利用微分進(jìn)行函數(shù)增量的近似計(jì)算。利用微分進(jìn)行曲線長(zhǎng)度的近似計(jì)算。010203利用微分進(jìn)行近似計(jì)算問題06課程總結(jié)與回顧03掌握了導(dǎo)數(shù)的定義，可以推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，如常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。01導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)02導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。課程重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)課程重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)微分的基本概念微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部線性逼近，即用一個(gè)線性函數(shù)近似表示函數(shù)在該點(diǎn)附近的性態(tài)。微分與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，微分是導(dǎo)數(shù)乘以自變量的增量。02030401課程重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)方程的求導(dǎo)法則對(duì)于復(fù)合函數(shù)，需要使用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)。隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，需要對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，并解出所求的導(dǎo)數(shù)。參數(shù)方程的求導(dǎo)則需要根據(jù)參數(shù)方程的形式，分別求出對(duì)應(yīng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)方法建議與指導(dǎo)注重基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)02在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及微分之前，要確保對(duì)函數(shù)、極限等基礎(chǔ)知識(shí)有深入的理解。03對(duì)于導(dǎo)數(shù)及微分的定義、性質(zhì)等基本概念要熟練掌握。01多做練習(xí)題通過大量的練習(xí)，可以加深對(duì)導(dǎo)數(shù)及微分概念的理解，提高解題能力。在做題過程中，要注重總結(jié)歸納，形成自己的解題思路和方法。學(xué)習(xí)方法建議與指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法建議與指導(dǎo)030201理論與實(shí)踐相結(jié)合在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及微分的過程中，要注重將理論知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合。通過分析實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)模型，可以更