2024屆北京市西城區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某高中舉辦了一場中學(xué)生作文競賽活動，現(xiàn)決定從參賽選手中選出一等獎一名、二等獎二名、三等獎二名，通過評委會獲悉在此次比賽中獲獎的學(xué)生為3男2女，其中一等獎、二等獎的獎項中都有男生，請計算一下這5名學(xué)生不同的獲獎可能種數(shù)為（）A．12 B．15 C．18 D．212．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．在橢圓內(nèi)，通過點，且被這點平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．4．復(fù)數(shù)A． B． C． D．5．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．6．已知，是雙曲線的左、右焦點，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．37．若，則，.設(shè)一批白熾燈的壽命（單位：小時）服從均值為1000，方差為400的正態(tài)分布，隨機從這批白熾燈中選取一只，則（）A．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.8186B．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.8186C．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.9545D．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.95458．若命題p：，，則是（）A．， B．，C．， D．，9．已知函數(shù)，，若方程在上有兩個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．對具有相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其回歸直線方程，且，，則()A． B． C． D．11．設(shè)方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．12．若直線和橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的展開式中常數(shù)項為____14．已知，則的最小值為________.15．設(shè)向量，且，則的值為__________．16．設(shè)函數(shù),=9,則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面真角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為和，求的值．18．（12分）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.（Ⅰ）證明：當(dāng)時，；（Ⅱ）若曲線過點的切線有兩條，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當(dāng)定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）(本小題滿分12分)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。21．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.22．（10分）已知橢圓：，過點作傾斜角互補的兩條不同直線，，設(shè)與橢圓交于、兩點，與橢圓交于，兩點.（1）若為線段的中點，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

一等獎為男生，則從3個男生里選一個；二等獎有男生，可能是一男一女，可能是兩男；剩下的即為三等獎的學(xué)生，依照分析求組合數(shù)即可【題目詳解】由題可知，一等獎為男生，故；二等獎可能為2個男生或1個男生，1個女生，故故獲獎可能種數(shù)為，即選B【題目點撥】本題考查利用排列組合解決實際問題，考查分類求滿足條件的組合數(shù)2、B【解題分析】試題分析：記直線的傾斜角為，∴，故選B.考點：直線的傾斜角.3、A【解題分析】試題分析：設(shè)以點為中點的弦的端點分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點為中點的弦所在的直線的斜率為，由直線的點斜式方程可得，即，故選A.考點：直線與橢圓的位置關(guān)系.4、C【解題分析】，故選D.5、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性排除選項，利用特殊值定義點的位置判斷選項即可．【題目詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項B，當(dāng)x=2時，f（2）=＜0，對應(yīng)點在第四象限，排除A，C；故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．6、C【解題分析】

設(shè)點關(guān)于漸近線的對稱點為點，該漸近線與交點為，由平面幾何的性質(zhì)可得為等邊三角形，設(shè)，則有；又，可得，代入離心率即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)點關(guān)于漸近線的對稱點為點，該漸近線與交點為，所以為線段的中垂線，故，所以為等邊三角形，設(shè)，則有；又，可得，所以離心率.故選:C【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及漸近線和離心率，考查了學(xué)生邏輯推理與運算求解能力.7、A【解題分析】

先求出，，再求出和，即得這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率.【題目詳解】∵，，∴，，所以，，∴.故選：A【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定區(qū)間的概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解題分析】

利用全稱命題的否定是特稱命題來判斷.【題目詳解】解：命題p：，，則：，.故選：B.【題目點撥】本題考查特稱命題的否定，注意特稱命題的否定要變?nèi)Q命題，并且要否定結(jié)論，是基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

對的范圍分類，即可將“方程在上有兩個不等實根”轉(zhuǎn)化為“在內(nèi)有實數(shù)解，且方程的正根落在內(nèi)”，記，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理即可列不等式組，解得：，問題得解．【題目詳解】當(dāng)時，可化為：整理得：當(dāng)時，可化為：整理得：，此方程必有一正、一負根.要使得方程在上有兩個不等實根，則在內(nèi)有實數(shù)解，且方程的正根落在內(nèi).記，則，即：，解得：.故選C【題目點撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，還考查了計算能力及分析能力，屬于難題．10、A【解題分析】

根據(jù)，，求出樣本點的中心，代入回歸直線方程，即可求解.【題目詳解】由題：，，所以樣本點的中心為，該點必滿足，即，所以.故選：A【題目點撥】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出樣本點的中心，根據(jù)樣本點的中心在回歸直線上求解參數(shù).11、D【解題分析】

畫出方程左右兩邊所對應(yīng)的函數(shù)圖像，結(jié)合圖像可知答案。【題目詳解】畫出函數(shù)與的圖像，如圖結(jié)合圖像容易知道這兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，交點的橫坐標(biāo)即為方程的兩個根，結(jié)合圖像可知，，根據(jù)是減函數(shù)可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。12、B【解題分析】

根據(jù)橢圓1（b＞0）得出≠3，運用直線恒過（0，2），得出1，即可求解答案．【題目詳解】橢圓1（b＞0）得出≠3，∵若直線∴直線恒過（0，2），∴1,解得，故實數(shù)的取值范圍是故選：B【題目點撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-32【解題分析】n＝，二項式的展開式的通項為，令＝0，則r＝3，展開式中常數(shù)項為(－2)3＝－8×4＝－32.故答案為-32.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).14、1【解題分析】

，利用基本不等式求解即可．【題目詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。故答案為：1．【題目點撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵要變形湊出積為定值的形式，屬基礎(chǔ)題．15、168【解題分析】

根據(jù)向量，設(shè)，列出方程組，求得，得到，再利用向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【題目詳解】由題意，向量，設(shè)，又因為，所以，即，解得，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了向量的共線的坐標(biāo)運算，以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的共線條件，熟練應(yīng)用向量的數(shù)量積的運算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】試題分析：因為，，所以，，而，=9，所以，6+2a+1=9,a=1?？键c：導(dǎo)數(shù)的計算點評：簡單題，多項式的導(dǎo)數(shù)計算公式要求熟練掌握。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）1【解題分析】

（1）消去t即可得的普通方程，通過移項和可得的普通方程；（2）由可得的幾何意義是斜率，將的參數(shù)方程代入的普通方程，得到關(guān)于t的方程且，由韋達定理可得．【題目詳解】解：（1）．由，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得，即的普通方程為，由，得，即，將代入，得，即的直角坐標(biāo)方程為．（2）．由（t為參數(shù)），得，則的幾何意義是拋物線上的點（原點除外）與原點連線的斜率．由題意知，將，（t為參數(shù)）代入，得．由，且得，且．設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為、，則，，所以．【題目點撥】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程化為普通方程和參數(shù)方程在幾何問題中的應(yīng)用．18、(1)見證明；(2)【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可證得；（2）利用假設(shè)切點的方式寫出切線方程，原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個解；此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數(shù)，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構(gòu)造新的函數(shù)，然后討論函數(shù)圖像，得到范圍.【題目詳解】（1）證明：時，在上遞減，在上遞增（2）當(dāng)時，，，明顯不滿足要求；當(dāng)時，設(shè)切點為（顯然），則有，整理得由題意，要求方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解令①當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增而，，，在區(qū)間上有唯一零點，在區(qū)間上無零點，所以此時不滿足題要求.②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增不滿足在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解③當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，在區(qū)間上有唯一零點，所以此時不滿足題要求.④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)即時，在區(qū)間上有唯一零點，此時不滿足題要求.當(dāng)即時，在區(qū)間和上各有一個零點設(shè)零點為，又這時顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時滿足題目要求.綜上所述，的取值范圍是（2）解法二：設(shè)切點為由解法一的關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩解顯然不是方程的解故原問題等價于在區(qū)間內(nèi)有兩解設(shè)，且則，且令，，則又，；，，故，；，從而，遞增，，遞減令，由于時，時故，；，，而時，，時，故在區(qū)間內(nèi)有兩解解得：【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.難點在于將原問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)的問題，此時根無法確切的得到求解，解決此類問題的方式是靈活利用零點存在定理，在區(qū)間內(nèi)逐步確定根的個數(shù).19、（1）證明見詳解；（2）或；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)“保值函數(shù)”的定義分析即可（2）按“保值函數(shù)”定義知，，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個不相等的實根，利用判別式求解即可（3）去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為不等式組，分離參數(shù)，利用函數(shù)最值解決恒成立問題.【題目詳解】（1）函數(shù)在時的值域為，不滿足“保值函數(shù)”的定義，因此函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”.（2）因為函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，因此，，因此是方程的兩個不相等的實根，等價于方程有兩個不相等的實根.由解得或.（3），，即為對恒成立.令，易證在單調(diào)遞增，同理在單調(diào)遞減.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了新概念，函數(shù)的單調(diào)性，一元二次方程有解，絕對值不等式，恒成立，屬于難題.20、（1）；（2）E=0.【解題分析】（1）設(shè)：“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=………………4分（2）由題意，P（=0）=[來源:Z+xx+k.Com]P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，隨機變量的概率分布列為：0123 P故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為：E=0……12分.[點評]本小題主要考查相互獨立事件，獨立重復(fù)試驗、互斥事件、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計算，考查運用概率知識與方法解決實際問題的能力.21、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）由實數(shù)定義可知虛部為零，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）由純虛數(shù)