2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊 4-3-2空間中直線與平面的位置關(guān)系第3課時直線與平面垂直的判定 學(xué)案

第3課時直線與平面垂直的判定教材要點要點一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α相交，并且垂直于這個平面內(nèi)的________直線，稱直線l與平面α互相垂直．記法________有關(guān)概念直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面，它們的交點叫作垂足．畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．圖示性質(zhì)(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直．(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直．狀元隨筆對直線與平面垂直的幾點說明(1)定義中的“所有直線”這一詞語與“任意一條直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．要點二直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的________直線垂直，那么該直線與此平面垂直．符號語言a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，__________，則l⊥α圖形語言狀元隨筆(1)不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來判斷此直線與平面垂直”．實際上，由基本事實4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線平行．(2)線面垂直的判定定理可簡記為“線線垂直，則線面垂直”．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則直線l垂直于平面．()(2)如果一條直線與平面的垂線垂直，則該直線與這個平面平行．()(3)直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l垂直于平面α.()(4)如果l⊥α，那么直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．()2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與BC1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB3．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l，m的位置關(guān)系是________．題型1直線與平面垂直關(guān)系的判斷例1下列說法正確的是()A．垂直于同一條直線的兩條直線平行B．如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直C．如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直D．若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒有直線與l垂直方法歸納直線與平面垂直的定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直：若一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直，該直線與已知平面垂直．即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直：若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直?線線垂直．跟蹤訓(xùn)練1如果直線l與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)()A．不存在與l垂直的直線B．存在一條與l垂直的直線C．存在無數(shù)條與l垂直的直線D．任一條都與l垂直題型2直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用例2如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.方法歸納(1)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形底邊的中線、高；菱形、正方形的對角線、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找線線垂直的方法．跟蹤訓(xùn)練2如圖，該幾何體的三個側(cè)面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．若AA1＝2AC，AC⊥AB，M為CC1的中點．證明：A1M⊥平面ABM.題型3線面垂直的判定定理與線面垂直的定義的綜合應(yīng)用例3如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.方法歸納證明線面垂直與線線垂直問題時，注意線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練3如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝12AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD，證明：DC1易錯辨析邏輯推理不嚴(yán)密致誤例4如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中點，連接CD.求證：CD⊥平面ABB1A1.證明：∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB.∵AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A易錯警示易錯原因糾錯心得沒有正確使用直線與平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的兩條相交直線”這一條件致錯．應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理時，要熟記定理的應(yīng)用條件，不能忽略“兩條相交直線”這一關(guān)鍵條件．課堂十分鐘1．(多選)下列說法中正確的是()A．過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直B．過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直C．過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行D．過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC3.如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定4．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)5．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.第3課時直線與平面垂直的判定新知初探·課前預(yù)習(xí)要點一所有l(wèi)⊥α要點二兩條相交a∩b＝[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由于易證BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因為B1C∩?CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1答案：B3．解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.答案：l⊥m題型探究·課堂解透例1解析：因為空間內(nèi)與一條直線同時垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故A不正確．由線面垂直的定義可得，B正確．因為這兩條直線可能是平行直線，故C不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故D不正確．答案：B跟蹤訓(xùn)練1解析：平面α內(nèi)與l在α內(nèi)的射影垂直的直線，垂直于直線l，這樣的直線有無數(shù)條，故A，B不正確，C正確；若在平面α內(nèi)，任一條都與l垂直，則直線l與平面α垂直，與題設(shè)矛盾，故D不正確．答案：C例2證明：(1)∵SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC(2)∵AB＝BC，D是AC的中點，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC跟蹤訓(xùn)練2證明：因為側(cè)面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形，所以A1A⊥AB.又因為AC⊥AB，A1A∩AC＝A所以AB⊥平面AA1C1C.因為A1M?平面AA1C1C，所以AB⊥A1M.因為M為CC1的中點，AA1＝2AC，所以△ACM，△A1C1M都是等腰直角三角形，所以∠AMC＝∠A1MC1＝45°，∠A1MA＝90°，即A1M⊥AM.而AB∩AM＝A所以A1M⊥平面ABM.例3解析：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B∴AE⊥平面BCE.又∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE.跟蹤訓(xùn)練3證明：連接DC，在Rt△DAC中，由AC＝12AA1，D為AA1中點，得AD＝AC∴∠ADC＝45°，同理∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°，∴DC1⊥DC.又DC1⊥BD，BD與DC相交，∴DC1⊥面BCD.∵BC?面BCD，∴DC1⊥BC.[課堂十分鐘]1．解析：由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知ABC正確；D錯，過直線外一點作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直．答案：ABC2．解析：因為OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，所以O(shè)A⊥平面OBC答案：C3．解析：易證AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形．答案：B4.解析：如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1