2024屆福建省永安一中數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆福建省永安一中數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出下列命題：①命題“若，則方程無實(shí)根”的否命題；②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；③命題“若，則”的逆否命題；④“若，則的解集為”的逆命題；其中真命題的序號(hào)為（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③2．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．這是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“…”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)=（）A．2 B．3 C．4 D．63．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖的上半部分均為半圓，下半部分為等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．5．己知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求（）A． B． C． D．6．已知?jiǎng)t復(fù)數(shù)A． B． C． D．7．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．08．下面給出了四種類比推理：①由實(shí)數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；②由實(shí)數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；③由向量的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)；④由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義；其中結(jié)論正確的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④9．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．10．某市一次高二年級(jí)數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè),經(jīng)抽樣分析,成績(jī)近似服從正態(tài)分布,且,則()A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.511．已知A2,3,B4,-3且APA．6,9 B．(3,0) C．6,-9 D．2,312．已知兩個(gè)復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),關(guān)于代數(shù)式有以下判斷:①最大值為2；②無最大值;③最小值為；④無最小值.其中正確判斷的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域是________14．的平方根是______．15．已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為.由此推測(cè)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為________.16．若復(fù)數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高科技公司研究開發(fā)了一種新產(chǎn)品，生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的每天固定成本為元，每生產(chǎn)件，需另投入成本為元，每件產(chǎn)品售價(jià)為元（該新產(chǎn)品在市場(chǎng)上供不應(yīng)求可全部賣完）．（1）寫出每天利潤(rùn)關(guān)于每天產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)每天產(chǎn)量為多少件時(shí)，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤(rùn)最大．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交橢圓交于，兩點(diǎn)．①若直線的斜率為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（12分）袋中裝有黑色球和白色球共個(gè)，從中任取個(gè)球都是白色球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個(gè)球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個(gè)人摸到白色球后終止，每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的，用表示摸球終止時(shí)所需摸球的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.20．（12分）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）雙曲線上有兩個(gè)點(diǎn)，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經(jīng)過點(diǎn)的直線且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點(diǎn)到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為1直線與圓交于兩點(diǎn)，試求的值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

①寫出其否命題，再判斷真假；②寫出其逆命題，再判斷真假；③根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，直接判斷原命題的真假即可；④寫出其逆命題，再判斷真假.【題目詳解】①命題“若，則方程無實(shí)根”的否命題為：“若，則方程有實(shí)根”,為真命題，所以正確.②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題為：“若為等邊三角形，則”為真命題，所以正確.③命題“若，則”為真命題，根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，所以正確.④“若，則的解集為”的逆命題為：“若的解集為，則”當(dāng)時(shí)，不是恒成立的.當(dāng)時(shí),則解得：，所以正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查四種命題和互化和真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

先閱讀理解題意，再結(jié)合題意類比推理可得：設(shè)，解得，得解．【題目詳解】解：依題意可設(shè)，解得，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.4、A【解題分析】

根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體，計(jì)算表面積得到答案.【題目詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體..故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.5、A【解題分析】

設(shè)，判斷奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，求和即可得到所求值．【題目詳解】解：函數(shù)設(shè)，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．6、A【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解即.詳解：因?yàn)?，所以，，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于中檔題．解答復(fù)數(shù)運(yùn)算問題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.7、B【解題分析】試題分析：集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.8、D【解題分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行判斷．【題目詳解】①設(shè)與的夾角為，則，，則成立；②由于向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，設(shè)，，所以，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，不一定成立；③設(shè)復(fù)數(shù)，則，是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以不一定成立；④由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量，所以，由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，這個(gè)類比是正確的．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理，在解這類問題時(shí)，除了考查條件的相似性之外，還要注意定義的理解，考查邏輯推理能力，屬于中等題．9、A【解題分析】

由的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根．【題目詳解】解：∵函數(shù)的定義域是∴，∵是函數(shù)的唯一一個(gè)極值點(diǎn)∴是導(dǎo)函數(shù)的唯一根，∴在無變號(hào)零點(diǎn)，即在上無變號(hào)零點(diǎn)，令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為，所以必須，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問題．對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論．10、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出P（X≥90），即可得到答案．【題目詳解】∵X近似服從正態(tài)分布N(84,σ2),.∴，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，抓住正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可解題，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，根據(jù)題意得到AP與PB的坐標(biāo)，由AP=-2【題目詳解】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，因?yàn)锳2,3所以AP=(x-2,y-3)，BP因?yàn)锳P=-2PB，所以因此x-2=2(x-4)y-3=2(y+3)，解得x=6y=-9，即故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解題分析】

設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn),利用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積可以判斷出的最值情況.【題目詳解】設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn),因此有：因?yàn)?復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),所以,(當(dāng)且僅當(dāng)),故,假設(shè)有最小值,則,顯然對(duì)于也成立,于是有這與相矛盾,故不存在最小值；對(duì)任意正整數(shù),,,,故沒有最大值,因此②④說法正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的向量表示,考查了平面向量的數(shù)量積的計(jì)算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將函數(shù)的指數(shù)形式轉(zhuǎn)化為根式形式,即可求得其定義域.【題目詳解】函數(shù)即根據(jù)二次根式有意義條件可知定義域?yàn)楣蚀鸢笧?【題目點(diǎn)撥】本題考查了具體函數(shù)定義域的求法,將函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)變形,更方便求解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

設(shè)的平方根為，由列方程組，解方程組求得.【題目詳解】設(shè)的平方根為（為實(shí)數(shù)），故，所以，解得，或，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查負(fù)數(shù)的平方根，考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由已知可歸納推測(cè)出的對(duì)稱中心為，再由函數(shù)平移可得的對(duì)稱中心.【題目詳解】由題意，題中所涉及的函數(shù)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)依次為，即由此推測(cè)的對(duì)稱中心為.又所以其對(duì)稱中心為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納與推理，涉及到函數(shù)的對(duì)稱中心的問題，是一道中檔題.16、2【解題分析】

設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算得到即可.【題目詳解】由已知，設(shè)，則，所以，解得，故，.故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)相等的概念，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）每天產(chǎn)量為件時(shí)，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤(rùn)最大為.【解題分析】

（1）根據(jù)（利潤(rùn)）（總售價(jià)）（總成本），將利潤(rùn)寫成分段函數(shù)的形式；（2）計(jì)算利潤(rùn)的分段函數(shù)的每一段的最值，然后再進(jìn)行比較求得利潤(rùn)最大值.【題目詳解】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為元，所以件產(chǎn)品售價(jià)為元；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以：；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)有最大值；當(dāng)時(shí)，，取等號(hào)時(shí)，即時(shí)，有最大值；且，所以當(dāng)每天產(chǎn)量為件時(shí)，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤(rùn)最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度一般.求解分段函數(shù)的最值時(shí)，必須要考慮到每一段函數(shù)的最值，然后再比較每段最值的大小，取得最后的結(jié)果；運(yùn)用基本不等式的時(shí)候，要注意取等號(hào)的條件.18、（1）（2）①②存在，；【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓離心率及過點(diǎn)，建立方程組，求解即可（2）①設(shè)直線的方程為：,聯(lián)立橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求出m,得到點(diǎn)的坐標(biāo)②直線分斜率為0與不為0兩種情況討論，斜率為0時(shí)易得存在，斜率不為0時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用恒成立，可化簡(jiǎn)知存在定點(diǎn).【題目詳解】（1）∵橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．∴，，∴橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，①設(shè)直線的方程為：．．．，．，解得.∴．②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，.由可得，解得，即.當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為．由.，．由可得，，..，∴當(dāng)時(shí)，上式恒成立，存在定點(diǎn)，使得恒成立．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，定點(diǎn)問題，屬于難題.19、(1)分布列見解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解題分析】分析：（1）由已知先出白子個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設(shè)袋中白色球共有x個(gè)，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個(gè)球，3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.隨機(jī)變量X的分布列為X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型的概率計(jì)算公式，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，互斥事件概率加法公式.20、（1）；（2）8；（3）存在且【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，求出，，可證；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個(gè)解，設(shè)，得到，根據(jù)得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線．詳解：（1）雙曲線；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，，，；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個(gè)解，設(shè)，，根據(jù)得，整理得，∵，∴符合題目要求，存在直線．