新人教版高中數(shù)學(xué)五本書教材例題課后習(xí)題變式含答案6

6.4平面向量的應(yīng)用

6.4.1平面幾何中的向量方法

例1如圖641,OE是AABC的中位線，用向量方法證明：DE//BC,DE=-BC.

2

分析：我們?cè)诔踔凶C明過這個(gè)結(jié)論，證明中要加輔助線，有一定難度.如果用向量方法證明

這個(gè)結(jié)論，可以?。?，恁｝為基底，用而，衣表示詼，BC，證明=即

可.

證明：如圖6.4-2,因?yàn)?。E是AABC的中位線，所以

AD=-AB,AE=-AC.

22

又8心=AG—A月，

所以場(chǎng)=,及，

2

于是DEVBC,DE^-BC.

2

例2如圖6.4-3,已知平行四邊形ABC。，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和的長度與兩條鄰邊

A3和AO的長度之間的關(guān)系嗎？

H

分析：平行四邊形中與兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的和與差，

我們可以通過向量運(yùn)算來探索它們的模之間的關(guān)系.

解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示題中的幾何元素，將平面幾何問題

轉(zhuǎn)化為向量問題：

如圖6.44?。[而｝為基底,設(shè)而=￡,~AD=b，則

____._-Ulltl11

AC=a+b<DB-a-b-

圖6.1

第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系:

2)9

AC={a+b)\=a+2a-b+b,

DB=[a-b)2-2一--2

I=a-2a?b+b.

------?2?2/-*2—*2\

上面兩式相加，得AC+DB=2(。+〃I.

第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:

AC2+BD2^2(AB2+AD2

練習(xí)

1.證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

2.如下圖，正方形ABCZ）的邊長為a,E是A3的中點(diǎn)，尸是3c邊上靠近點(diǎn)B的三等分

點(diǎn)，A尸與OE交于點(diǎn)求/磯落的余弦值.

/)c

3.如下圖，在AABC中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線A8,AC于不同的

兩點(diǎn)M,M設(shè)AB=mAM,AC=nAN,求〃的值.

6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

例3在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)

力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象

嗎？

分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個(gè)拉力的合力、旅行包所受的重力以

及兩個(gè)拉力的夾角三者之間的關(guān)系，就可以獲得問題的數(shù)學(xué)解釋.

解：先來看共提旅行包的情況.如圖645,設(shè)作用在旅行包上的兩個(gè)拉力分別為耳，耳，

為方便起見，我們不妨設(shè)園=|司.另設(shè)耳，豆的夾角為6,旅行包所受的重力為存.

圖6.4-5

由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道

這里，I3為定值.分析上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)。由。逐漸變大到萬時(shí)，g由0逐漸變

大到T，cos?的值由大逐漸變小，此時(shí)|用由小逐漸變大；反之，當(dāng)。由乃逐漸變小到

07rnILTI

。時(shí)，一由一逐漸變小到0,cos一的值由小逐漸變大，此時(shí)由大逐漸變小.這就是

222II

說，耳，月之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力.同理，在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，

兩臂的夾角越小越省力.

^00巴

事實(shí)上，要使耳最小，只需COS'最大，此時(shí)cos]=l,可得6=0.于是，|的最小值為

IKI「十61,,,07im八2萬

=G,只需cos——,此時(shí)一=一，即6=—

包11

222233

例4如圖6.4-6,一條河兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向

河對(duì)岸航行.已知船的速度E的大小為F|=l°km/h，水流速度E的大小為

|口=2km/h,那么當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要多長時(shí)間（精確到0.1加〃）?

分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時(shí)所

用時(shí)間也是最短的.考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度3必須

垂直于河岸.

解：設(shè)點(diǎn)8是河對(duì)岸一點(diǎn)，AB與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實(shí)際沿著A8方向行駛時(shí)，船

的航程最短.

如圖6.4-7,設(shè)u=x+%，則

此時(shí)，船的航行時(shí)間

41=x60?3.1(min)

|v|V%)

所以，當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要3.1"”〃.

練習(xí)

1.一物體在力尸的作用下，由點(diǎn)4（20,15）移動(dòng)到點(diǎn)3（7,0）.已知了=（4,一5）,求戶對(duì)該

物體所做的功.

2.如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪A,B,在從連接點(diǎn)。出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著3個(gè)

重物，它們所受的重力分別為4N,4N和4GN.此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求

NAO8的大小.

^■4j3N

3.若平面上的三個(gè)力耳，耳，E作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知園=1N,

同=邁;9N，耳與耳的夾角為45。，求：

（1）尺的大?。?/p>

（2）及與耳夾角的大小.

6.4.3余弦定理、正弦定理

例5在AABC中，已知。=60cm,c-34cm,A=41°,解這個(gè)三角形（角度精確到

1°,邊長精確到1cm）.

解：由余弦定理，得

a2=b2+c2-2bccosA

=602+342-2X60X34XCOS41°

?1676.78,

所以a=41（cm）.

由余弦定理的推論，得

c2+a2-b2342+412-602763

cosBn=----------=-------------=------,

2ca2x34x412788

利用計(jì)算器，可得3,106°.

所以。=180。一（4+3卜180。一（41。+106。）=33。.

例6在AABC中，a=7,b=8,銳角C滿足sinC=上叵，求8(精確到1。).

14

分析：由條件可求cosC,再利用余弦定理及其推論可求出8的值.

解：因?yàn)閟inC=迪，且C為銳角,

14

所以cosC=V1—sin2C=13

14

由余弦定理，得

13

c2=a2+b2-2abeosC=49+64-2x7x8x—=9,

14

所以c=3.

9+49—64

進(jìn)而cos8=

lea2x3x77

利用計(jì)算器，可得8a98°.

練習(xí)

1.(1)在AABC中，已知〃=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°,解這個(gè)三角形(角度

精確到0.1。,邊長精確到0.1cm)；

(2)在AABC中，已知a=5,b=2,C=-,求C.

3

2.在AABC中，已知a=2,b=6,c=6+l，解這個(gè)三角形.

例7在AABC中，已知A=15°,6=45°,c=3+JJ，解這個(gè)三角形.

解：由三角形內(nèi)角和定理，得

C=180°-(A+B)=180o-(15o+45o)=120°.

由正弦定理，得

csinA（3+^）sinl5°（3+>/3）sin（45o-30o）

sinC--sin120°~~sin1200

（3+V3）（sin450cos300-cos450sin30°）

sin120。

-------X-------------------X—

2

csinB（3+Gbin45。

sinCsin120°

（3+⑹x變

'"~=瓜+也.

T

例8在AABC中，已知8=30°,b=母,c=2,解這個(gè)三角形.

分析：這是已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角求解三角形的問題，可以利用正弦定理.

解：由正弦定理，得

.「csin82sin30°

sinC=------二----產(chǎn)一二

bV2

因?yàn)閏>。，3=30°,

所以30°<C<180°.

于是C=45°,或C=135°.

（1）當(dāng)C=45。時(shí),A=105°.

此時(shí)

_bsinA_0sinlO5。_及sin（60。+45。）

”-sin8-sin30°-sin30°

>/2（sin60°cos45°+cos60°sin45°）

sin30°

6V215/2、

V2——x---F—x——

2222

7V3+1-

~T~

2

(1)當(dāng)C=135。時(shí)，A=15°.

此時(shí)

_Z?sinA_行sin15。_夜sin(45°-30°)

ci——=

sinBsin30°sin30°

V2(sin45°cos30°-cos45°sin30°)

sin30°

V2X(近661、

—X-----------------X—

I2222)

V3-1-

丁

2

由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間(0,〃)內(nèi)，余弦函數(shù)單調(diào)遞減，所以利用余弦定理求角,

只有一解；正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1I，兀J內(nèi)單調(diào)遞減，所以利用正

弦定理求角，可能有兩解.

練習(xí)

1.完成下列解三角形問題(角度精確到1。，邊長精確到1cm)；

(1)在△ABC中，已知A=60°,B—45°,c-20cm；

(2)在△ABC中，已知a=20cm,h-11cm,B=30°.

2.(1)在A/WC中，已知a=2,C=x5,A=120。，求6和C；

3

(2)在AABC中，已知人=2,4=45。，C=75°,求C.

例9如圖6.4-12,A,B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測(cè)量A,8兩點(diǎn)間距離的

方法，并求出A,B間的距離.

B

A

圖6.4-12

分析：若測(cè)量者在A，3兩點(diǎn)的對(duì)岸取定一點(diǎn)C（稱作測(cè)量基點(diǎn)），則在點(diǎn)C處只能測(cè)出

ZAC8的大小，因而無法解決問題.為此，可以再取一點(diǎn)O,測(cè)出線段CO的長，以及

ZACD,NCDB,ABDA，這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離了.

解：如圖6.4-13,在A,B兩點(diǎn)的對(duì)岸選定兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=a,并且在C,D兩點(diǎn)

分別測(cè)得N3C4=a,ZACD=J3,NCDB=y,NBDA=b.

在AAOC和ABDC1中，由正弦定理，得

ACasin(y+b)asin(y+3)

sin[18O°-(/7+/+^)]sin(乃+y+b]

Betzsin/asin/

sin[180°-(a+/?+/)]sin(a+P+y)，

于是，在AABC中，由余弦定理可得A,B兩點(diǎn)間的距離

AB-y]AC2+BC2-2ACxBCcosa

Ia2sin2(/+^)a2sin2/2a3sin(7+^)sin/cosa

sin2(/7+/+sin2(a+/7+/)sin(￡+y+S)sin(a+/7+y)

例10如圖6.4-15,A3是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn).設(shè)計(jì)一種測(cè)

量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.

分析：由銳角三角函數(shù)知識(shí)可知，只要獲得以點(diǎn)C（點(diǎn)C到地面的距離可求）到建筑物的

頂部4的距離C4,并測(cè)出由點(diǎn)C觀察4的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高度.為此，應(yīng)再

選取一點(diǎn)Q,構(gòu)造另一個(gè)含有C4的八48,并進(jìn)行相關(guān)的長度和角度的測(cè)量，然后通過

解三角形的方法計(jì)算出C4.

解：如圖6.4-15,選擇一條水平基線咫，使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上.在G,H兩點(diǎn)

用測(cè)角儀器測(cè)得4的仰角分別是a,夕，CD=a,測(cè)角儀器的高是九那么，在A4CZ）

中，由正弦定理，得

■=吸

sin（a-Q）

所以，這座建筑物的高度為

AB=AE+h

-ACsina+h

asinasin￡,

--------3+h

sin（a_￡）

例11位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20”的8處有一艘漁船遇險(xiǎn)后

拋錨等待營救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西30。，且與甲船相距7〃

楊淞的C處的乙船.那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）

的方向是北偏東多少度（精確到1°）?需要航行的距離是多少海里（精確到1人"說）?

分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30?！薄澳繕?biāo)方向線”等信息，畫出示意圖

解：根據(jù)題意，畫出示意圖（圖6.4-16）.由余弦定理，得

北

20nmile

圖6-4-16

BC2^AB2+AC2-2AB-AC.cos120°

=2()2+72-2x20x7x(—￡j=589.

于是BC?24(nmile)

由于0°<C<9()0,

所以CR46°.

因此，乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東46。+30°=76°,大約需要航行24〃

練習(xí)

1.如圖，一艘船向正北航行，航行速度的大小為32.2nmilelh,在A處看燈塔S在船的北偏

東20。的方向上.30,”加后，船航行到8處，在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向上.已知

距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？

2.如下圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為a,沿傾斜角為￡的斜坡向上走am到達(dá)B處,

asinasin。一夕)

在B處測(cè)得山頂P的仰角為/.求證：山高力=

sin(/-a)

3.如下圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5〃,"淞后到達(dá)海島3,然后從

B出發(fā)，沿北偏東32。的方向航行54，“市/e后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)

C,那么這艘船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行的距離是多少？(角度精確到0.1°,距

離精確到。01nmile)

習(xí)題6.4

復(fù)習(xí)鞏固

—1A..ea田口AB'iBCCA*BCABAC1.

L已知非零向里AB與4c滿足且/i=5，則AAfiC為

IAB\|AC\|AB||AC\2

()

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由已知數(shù)量積相等，結(jié)合數(shù)量積的定義可得出B=C,再由數(shù)量積的定義求

7T

得A=§,從而判斷出三角形形狀.

AB?BCCA?BC

【詳解】解：AABC中,

\AB\\AC\

?___A_B_-_B_C_______C_A_?_B_C__

"|AB|x|BC|-|AC|x|BC|，

/.cos<AB，BC>=cos<CA，BC>,

:.B=C,AABC是等腰三角形；

ABAC1

又?----=—

\AB\|AC|2'

/.1x1xcosA=—,

2

,14萬

...cosA——,A=—,

23

...AABC是等邊三角形.

故選：D.

2.已知點(diǎn)。、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且|E|=|礪H元I，

_____UUUUUUUUU1ULJUULK1UL1U

NA+NB+NC^6>PAPB=PBPC=PCPA，則點(diǎn)。、N、P依次是△回（7的

（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

【答案】c

【解析】

【分析】由|麗1=1而=|反|知。是AABC的外心；利用共起點(diǎn)向量加法將

乂4+師+祀=0變形為共線的兩向量關(guān)系，得到N點(diǎn)在中線上的位置，從而判斷

為重心；由"孑月=方.23移項(xiàng)利用向量減法變形為方.m=0，得出P8為C4

邊上的高，同理得PC為AB邊上的高，故為垂心.

【詳解】”麗H而H反I，則點(diǎn)。到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，

是AABC的外心.

NA+NB+NC=6^：.NA+NB=-NC^

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,貝112兩=-祝，由此可知N為A8邊上中線的三等分點(diǎn)

（靠近中點(diǎn)M），所以N是AABC的重心.

■：PAPB=PBPC<：.PB(.PA-PC)=PBCA=O.

^PB±CA，同理由而?無=定?麗，可得定，麗.

所以P是AABC的垂心.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)于AABC四心的向量關(guān)系式：

。是AABC的外心目方|=|而|=|反|=礪2=礪2=反2；

。是AABC的重心o厲+而+反=6；

。是AABC的垂心oE?礪=礪衣=云?礪；

。是AABC的內(nèi)心04礪+b麗+C,玄=6.(其中a、b、c為AABC的三邊)

3.用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

設(shè)。。的半徑為r,AB為。。的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，則。4=0B=0C=r,通

過計(jì)算方?肥=0可得結(jié)果.

【詳解】證明：如圖，

C

設(shè)OO的半徑為r,AB為oo的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，則Q4=QB=OC=r.

■：CA=OA-OC,BC=OC-OB=OC+BO=OC+dA

:.CABC=(OA-OC)(OA+OC)=OA-OC2=r2-r2=0

：.CA±BC,：.CA±BC,BPZACB為直角.

【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.兩個(gè)粒子A,B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為

工=(4,3)扁=(2,10).

(1)寫出此時(shí)粒子8相對(duì)粒子A的位移9；

(2)計(jì)算S在豆上的投影向量.

f5239>

【答案】(1)(-2,7)(2)[25'25J

【解析】

【分析】

(1)通過通=需-或計(jì)算可得;

(2)根據(jù)投影公式計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)s=AB=s^-s^=(2,10)-(4,3)=(-2,7)；

(2)設(shè)I與耳的夾角為6,

八Z-AB-8+2113753

IJIllCOS0=」_.=J；==------

、卜V42+327(-2)2+72265，

所以■在耳上的投影向量為：

八Z/7k.13753r13(5239、

|s|cos6?閆=J(-2)+7xx--=--(4,3)=—I

\sAZo2)2)ZJ\ZJZJ)

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的幾何意義，是基礎(chǔ)題.

5.一個(gè)人在靜水中游泳時(shí)，速度的大小為26k”/〃.當(dāng)他在水流速度的大小為

2加/〃的河中游泳時(shí)，

(1)如果他垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)(角度精確到1°)?實(shí)

際前進(jìn)速度的大小為多少？

(2)他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(角度精確到1°)?實(shí)

際前進(jìn)速度的大小為多少？

TT

【答案】(1)此人沿與水流方向成牙的方向前進(jìn)，實(shí)際前進(jìn)速度為4Am/〃；(2)此

人應(yīng)沿與河岸夾角的余弦值為且的方向逆著水流方向前進(jìn)，實(shí)際前進(jìn)速度為

3

141km/h-

【解析】

【分析】

（1）設(shè)人游泳的速度為麗，水流的速度為方，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則進(jìn)行求

解；

（2）根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則以及向量模長的公式進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）如圖（1）,設(shè)人游泳的速度為。耳，水流的速度為0X，以。4,

（1）（2）

在Rt^AOC中，tan/AOC=￥=?,所以NAOC=?,

實(shí)際前進(jìn)的速度|OC\=K+（2后了=4（卜〃/力）,

TT

故此人沿與水流方向成石的方向前進(jìn)，實(shí)際前進(jìn)速度為4切〃〃；

（2）如圖（2）,設(shè)此人的實(shí)際速度為麗，水流速度為礪，則游速為

AD=OD-OA.

在R/AAOZ）中，I而|=2百,|市1=2,

所以|礪上,（2回—2?=20（6/⑶,cosZDAO=擊=與,

故此人應(yīng)沿與河岸夾角的余弦值為且的方向逆著水流方向前進(jìn)，實(shí)際前進(jìn)速度為

3

141km/h-

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量在物理中的應(yīng)用，結(jié)合向量加法的運(yùn)算法則以及向量夾

角的定義是解決本題的關(guān)鍵.

6.在AABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1cm)：

(1)a~49cm,b=26cm,C=107"；

(2)a=9cm,b=10cm,c=15cm

【答案】(1)Aa49°,8^24°,cw62cm；

(2)A?36",B?40\C?104\

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用余弦定理，可得。，再由正弦定理可得角A,由內(nèi)角和定理，可得角3.

(2)由余弦定理和內(nèi)角和定理，可解三角形.

【詳解】解：(1)由余弦定理可得，

c2=a2+b2-2abcosC=492+262-2x49x26xcos107’,

解得Ca62,

士丁力r/口.,6!sinC49xsin107八

由正弦定理可得smA=-----=-----------?0.74,

C63

則銳角4。49°，

則角B=180-49°一107°*24°，

則有Aa49,B?24°,62cm；

(2)由余弦定理可得cosA=幺Z?2二+—_—CT100+225-8161

2bc2x10x1575

cosB/+cR=81+2257。。;理

2ac2x9x15135

.?.Av36"，八40°，

.?.C=1800-A-fi?104\

則有AQ36°,3a40°,C”104°.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查內(nèi)角和定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.在AABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1。山)：

(1)A=70°,C=30°,c=20c、m；

(2)b=26cm,c=15cm,C=23.

【答案】(1)a^3Scm,b^39cm,B=S0a.

(2)Aa]14°,8243",。粽35。加或Aa20°,B=sl37",a713c7〃.

【解析】

【分析】

利用正弦定理，結(jié)合角的正弦值，注意運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系和內(nèi)角和定理，即可

解三角形.

【詳解】(1)?.?NA=70',NC=30°,

B=180°-A-C=180°-70°-30°=80°,

a=三巴^=20x2sin70°。38cm,b==20x2sin800?39cm,

sinCsinC

故Qa38cm,x39cm,B=80；

(2)由正弦定理得sin8=型燈咤-a0.68,

15

則6。43°或137°，

當(dāng)8q43°,Aa180-43°-23°=1l4\a工"xsinlj,“35cm；

sin23

當(dāng)8a137°,A?1800-23°-137°=20°,a?"湘叱。?.

sin2313cm

故Aa114,,8標(biāo)43°,a?35cm或Aa20,B=137.,。?13cm.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查解三角形，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

8.

如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與

D.現(xiàn)測(cè)得/BCD=a,NBDC=/3,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為。，

求塔高Aa

【解析】

【詳解】在^BCD中，

4CBD=兀-a—廿.

由正弦定理得

BCCD

sinZBDC~sinZCBD

5-sin/7

sin（a+0

在RtAABC中,

AB-BCtanZACB

5-tan0sinBs-tan^sinB

=一^一會(huì)二塔圖AB為?,,小.

sin（a+。）sin（a+2）

9.在氣象臺(tái)A正西方向300比?處有一臺(tái)風(fēng)中心，它正向東北方向移動(dòng)，移動(dòng)速度

的大小為/h,距臺(tái)風(fēng)中心250切?以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺(tái)風(fēng)中心的這

種移動(dòng)趨勢(shì)不變，氣象臺(tái)所在地是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？如果會(huì)，大約多長時(shí)間后

受到影響？持續(xù)時(shí)間有多長（精確到1min）?

【答案】大約2小時(shí)后，氣象臺(tái)所在地會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，持續(xù)時(shí)間約為6小時(shí)36分

鐘.

【解析】

【分析】

先作圖，根據(jù)圖像算出氣象臺(tái)所在地距離臺(tái)風(fēng)中心的距離即可判斷是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)

的影響；另外利用余弦定理，算出會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響的臨界點(diǎn)，進(jìn)而可得受到影響的

時(shí)間.

【詳解】解：如圖

設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為B,8。為臺(tái)風(fēng)經(jīng)過的路徑所在的直線，則乙45。=45°，

過A作AC_L80于C,則AC=ABsin450=300x乎=15。向km),

?.?AC=1500<250，

，氣象臺(tái)所在地會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，

設(shè)以A為圓心，以250k”為半徑的圓與直線80交于E,R兩點(diǎn)，

設(shè)BE=xpBF—x2,

由余弦定理得王是方程2502=d+300—2X300x-cos45°的根，

方程整理得%2-300缶+27500=0，

解得x產(chǎn)79.8,超3344.5,

79.84-40?2,(344.5-79.8)-40*6.6,

.??大約2小時(shí)后，氣象臺(tái)所在地會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，持續(xù)時(shí)間約為6小時(shí)36分鐘.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是要求出受臺(tái)風(fēng)影響的臨界點(diǎn)，是中

檔題.

44/—

10.在AABC中，已知cosA=-,B=—,b=6求c

53

3+46

【答案】c=---------

5

【解析】

【分析】

利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出sinA的值，利用正弦定理可求出。的值，利用

兩角和公式求得sinC=sin(A+B)的值，然后利用正弦定理可求出c的值.

4/------：—3

【詳解】由cos4=w，可知角A為銳角，貝ijsinA=J1-cos-4=《

/r33>/3

/>sinA56

由正弦定理，得.=一.-=--=—^=7

sm8Dsi/@5

32

314V33+4百

sinC=sin[不一(A+8)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—X—+—X----=

525210

63+473

由正弦定理，得。=汨吆=5*1。=2±拽

sinAJ5

5

【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

綜合運(yùn)用

11.已知對(duì)任意平面向量陽=(x,y),把通繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)6角得到

向量麗=(xcos6-ysin6,xsin6+ycos0),叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

。角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)A(l,2),點(diǎn)3(1+后,2-2血)，把點(diǎn)8繞點(diǎn)A沿順時(shí)

TT

針方向旋轉(zhuǎn):后得到點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4

【答案】(0,-1).

【解析】

【分析】

先通過題意求出衣的坐標(biāo)，再利用罰=衣+礪得結(jié)果.

【詳解】解：由已知骸=(a,-2刀),

+(―2>/2)cos(-

:.AP=V2=(-1,-3)

?：AP=OP-OA>

.?.0P=IP+O4=(-l,-3)+(1,2)=(0,-1),

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,T).

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是題目給出的運(yùn)算規(guī)律的理解和應(yīng)用，是

基礎(chǔ)題.

12.如圖，在AABC中，己知A3=2,AC=5,ZBAC=60°,BC,AC邊上的兩條中

線AM,BM相交于點(diǎn)P,求NMPN的余弦值.

【答案］巫

91

【解析】

【分析】

NMZW即為而與4V的夾角，先用而，而將而與4V表示出來，求出麗.麗

A林

以及仔岡，|麗|代入公式cosNMPN即可.

\AM\\BN\

【詳解】解：N分別是3C,AC的中點(diǎn)，

■,AM=-(AB+AC),BN=AN-AB=-AC-AB.

麗?麗

?.?而與麗的夾角等于NMPN,：.cosZMPN

\AM\\BN\'

—?―-1--一(1—.

AM-BN^-(AB+ACy\-AC-

2(2

=-ASAC--AB+-AC2--A6AC=--x2x5xcos600--x22+-x52=3,

4242424

IW|=AB'+2ABAC+AC

4

34府

cos乙MPN=-^=~

屈收91?

---X----

22

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及向量的夾角公式，考查計(jì)算能力，是中檔

題.

13.一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一般船從河岸邊的A處出發(fā)到河對(duì)

岸.已知船在靜水中的速度匕的大小為同=10Am//2,水流速度匕的大小為

帆|=2k〃/〃.如果要使船行駛的時(shí)間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比

值必須最小.此時(shí)我們分三種情況討論：

（1）當(dāng)船逆流行駛，與水流成鈍角時(shí)；

（2）當(dāng)船順流行駛，與水流成銳角時(shí)；

（3）當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水流成直角時(shí).

請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算上面三種情況下船行駛的時(shí)間，判斷是否當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水

流成直角時(shí)所用時(shí)間最短.

【答案】當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水流成直角時(shí)，所用時(shí)間最短，計(jì)算見解析

【解析】

【分析】

求出速度往船垂直于對(duì)岸方向的分解速度，再利用距離除以速度等于時(shí)間來球結(jié)果

即可.

【詳解】解：設(shè)匕與年的夾角為。，船行駛的時(shí)間為f,d=500，〃=0.5癡.

V.

8

A0

d0.50.05,

(1)當(dāng)。為鈍角時(shí)，zi=—^一⑺?a=—^h；

sin(乃一6)同lOsin^sm6

d0.50.05,

(2)當(dāng)e為銳角時(shí)，【砌『后T布"；

d0.5八八廠.

(3)當(dāng)。為直角時(shí)，’3=國=而=0-05〃；

當(dāng)。為鈍角時(shí)，0<sine<l，4>0.05〃=，3,

當(dāng)。為銳角時(shí)，0<sin6<l，G>0.05%=兒

所以當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水流成直角時(shí)，所用時(shí)間最短.

【點(diǎn)睛】本題是小船渡河問題，關(guān)鍵是求出往運(yùn)動(dòng)方向上的分解速度，是基礎(chǔ)題。

14.一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250加，河水的速度為向東2GAm/力.一

艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸5(AB與河的方

向垂直)的正西方向并且與8相距250有機(jī)的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨

船航行的速度的合速度的大小為6A”/〃，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求合速度的

方向，并求此時(shí)小貨船航行速度的大小.

【答案】合速度的方向與水流的方向成150。的角.小船航行速度的大小為2句妙?.

【解析】

【分析】

作出圖形，利用解直角三角形以及余弦定理可得結(jié)果.

【詳解】解：如圖

ECB

AB=250m=0.250碗,BC=2506加=—km,

4

tanNC48=^=」一二5

AB0.250

ZCAB=60°,，NCAD=900+60°=150°,

；?合速度的方向與水流的方向成150。的角.

設(shè)小貨船的速度為X，水流速度為E，合速度為。，則無=，-名，

2

r.M=yjv-2V-V2+V2=-2x6x2相cosl50°+（2出y=2y/2ikm/h

，小船航行速度的大小為2后km-

【點(diǎn)睛】本題是小船渡河問題，關(guān)鍵是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解做出速度分解或合成

圖，是基礎(chǔ)題。

15.△45C的三邊分別為〃，h,c,邊BC,CA,45上的中線分別記為也,〃京叫，

利用余弦定理證明或=；業(yè)（從+,2）——,%=口2（/+/）_/,

?二；叔7747

【答案】見解析

【解析】

【分析】

嶺八眨士工由a2+c2-b2,,,2伽丫2can赦加Emr閂由r

將余弦定理cosBD=-------------代入肛=|—|+c2-2—c-cosB整理即可，同理可

2ac32

以證明其余兩式.

a2+c2-b2

【詳解】證明：根據(jù)余弦定理得cosB

lac

所以

成羋［+/一=且+/”2

2./68"+。-=；［2伊+02）一叫,

"324lac

所以m?=；+/）―/,

222222

同理可得mh=i^2（a+c）-b,mc=1^（a+b）-c.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.

16.在AABC中，求證：c(acosB-匕cosA)=/-/.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】利用余弦定理的推理將左邊的余弦式進(jìn)行角化邊，化簡整理即可得到右邊.

7,2,2_2「242_12

【詳解】根據(jù)余弦定理的推論8sA=*L,c°s5=y^'得左邊

b1+C1-a2..a1+c2-b2b2+c2-a2.

=c(acos3—〃cosA)=c(a?-b-——乙----)=c(——---------------)

2ac2bc2c2c

=’（2。2一2^）=。2—/=右邊，故等式成立.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的推理的應(yīng)用，考查了證明等式的方法及推理論證能

力，屬于基礎(chǔ)題.

17.證明：設(shè)三角形的外接圓的半徑是R,則a=2AsinA力=2Asin8,c=2AsinC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

若A為銳角（如圖①所示），作直徑BA',連接A'C,則A=4,在Rt^ACB中可證

明a=2RsinA；若A是直角，可直接得a=2RsinA；若A為鈍角（如圖③所示）,

作直徑8A,連接AC,則4=乃—A,在放ABCA'中可證明a=2RsinA.

【詳解】證明：（1）若A為銳角（如圖①所示），作直徑84,連接AC,則A=A,

在mAACB中,BC=ABsinA'=2RsinA,即a=2Rsin中.

A

A'

(2)若A是直角(如圖②所示)，在R/AABC中，可直接得a=2/?sinA;

(3)若A為鈍角(如圖③所示)，作直徑34,連接AC,則A'=乃-A,在

中，8C=48sinA=2Rsin(萬一A)=2AsinA,即a=2RsinA.

由(1)(2)(3)得a=2HsinA.

同理可證，b=27?sinB,c=27?sinC.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及其三角形外接圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

18.在AABC中，已知人=5,c=2,銳角A滿足sinA=也史，求C(精確到

20

1°).

【答案】C?220

【解析】

【分析】

求出cosA的值，利用余弦定理求出。，然后利用余弦定理求出cosC的值，即可得

出角C的值.

【詳解】?.?sinA=X^，且A為銳角，.?.COSA=JT^7=J1—[叵]=—

20丫(20J20

13

ci~=b~+c~—2bcosA=5~+2--2x5x2x—=16,a=4,

20

_a2+b2-c14252_?237

cosC---——---+---：-------=二，Q0°<C<180°,C?22°.

lab2x4x540

【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，解題時(shí)要熟悉余弦定理所適用的類型，

考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

拓廣探索

19.如圖，在nABCZ）中，點(diǎn)E,F分別是AO,OC邊的中點(diǎn)，BE,8尸分別與AC

交于R,T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.

【答案】AR=RT=TC,證明見解析.

【解析】

【分析】由于凡丁是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR,RT,TC之間的關(guān)系，只需分

別判斷AR,AT,TC與AC之間的關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)通=M，AD=b,赤=尸，則前=5+心

由而//前，可設(shè)尸="（萬+5）,〃eR,

又麗=,豆一AE=5—￡/?//EB>aji^ER=mEB=m[a-^b],

2

,?*赤=恁+礪，

1-(11-A

r=—b+ma——br,

2I22J

吟斗即(

綜上，有〃僅+=+根〃一"2)萬+n-\-----5-=0,

2

n-m=O

由于5與5不共線，則m-\八，解得根=〃=；,

〃+------=03

2

而」正.同理，TC=-AC,RT=-AC.

333

AR=RT=TC.

20.已知AABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)p=g(a+b+c),求

證：

(1)三角形的面積S=dP(p_aXp-b)(p-c)；

(2)若r為三角形的內(nèi)切圈半徑，則廠=J(P—a)(P;』)(pc)；

(3)把邊BC,AC,AB上的高分別記為也，為也，則

%=—Jp(p-a)(p—b)(p-c)，h(〃-a)(〃-?(〃—c),

abh

%=-dP(P-a)(p-b)(p-c)?

c

【答案】(I)見解析(2)見解析(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)設(shè)三角形的三邊a,b,c的對(duì)角分別為A,B,C,則由余弦定理可得

M序_21

cosC=,求出sin。并代入三角形面積公式S=—HsinC,設(shè)

2ah2

p=^(a+b+c),貝ij=p_q,g(c+a_b)=p_b,g(a+〃_c)=p_c,即

可化簡得證；

(2)由(1)可得S=y]p(p-a)(p-b)(p-c).而又因?yàn)?=a+8+c=2〃，S=；lr,

結(jié)合上述兩式即可得證;

(3)由三角形面積公式可得S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=gah”=^bhb=^chc,即

可得解.

2122

【詳解】證明：⑴根據(jù)余弦定理的推論得C°SC=TB

22

2(a+b,代入S」aZ?sinC,

則sinC=A/1-COSC=1-

2ab2

得S=；a24-Z72-

2ab

；q[2ab