工程力學(xué) 課件-第9-11章-梁的平面彎曲-強(qiáng)度計(jì)算、剛度計(jì)算、組合變形

工程力學(xué)1梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖2梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖4截面的幾何性質(zhì)章節(jié)目錄|CONTENT5梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算第九章

梁的平面彎曲-強(qiáng)度計(jì)算6梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算7提高梁強(qiáng)度的措施彎曲的概念受力特點(diǎn)：桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶（其矢量垂直于桿軸）作用。MeMeABF梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖——以彎曲為主要變形的桿件通稱為梁。梁變形特點(diǎn)：1、直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€；2、任意兩橫截面繞垂直于桿軸的軸作相對轉(zhuǎn)動(dòng)。MeMeABF梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖最基本、常見的彎曲問題——對稱彎曲

彎曲時(shí)梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合，因而一定是平面彎曲。梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)縱向?qū)ΨQ面變形前的軸線變形后的軸線橫截面對稱軸梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖

特定條件下，發(fā)生非對稱彎曲的梁變形后其軸線所在平面也會(huì)跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面彎曲。（1）梁不具有縱對稱面；（2）梁有縱對稱面，但外力沒有作用在縱對稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對稱面不一致。非對稱彎曲——yzFzyFqxq梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖梁的計(jì)算簡圖靜定梁

支座反力可以由靜力平衡方程求解的梁超靜定梁

支座反力僅由靜力平衡方程不能求解的梁梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖梁按支承方法的分類懸臂梁簡支梁外伸梁固定梁半固定梁連續(xù)梁梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖均勻分布荷載Me集中力偶集中力作用在梁上的載荷形式梁平面彎曲的概念與計(jì)算簡圖梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩取左側(cè)分離體分析任一橫截面m-m上的內(nèi)力mmxaABFFBFAFAFSyAmmxxCM剪力彎矩梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

使微段梁有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為正，反之為負(fù)；使微段梁產(chǎn)生向下凸變形的彎矩為正，反之為負(fù)。Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0彎曲內(nèi)力符號規(guī)定：剪力“左上右下”為正彎矩“上壓下拉”為正梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

求圖示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4橫截面上的剪力和彎矩。解：求支反力

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA例題：梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程截面1—1截面2—2M1FS1FC111FAM2FS2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程截面3—3截面4—433C3M3FFS3FAFS4M44C4FB4梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa（1）橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側(cè)或右側(cè)梁段分離體的靜力平衡方程來確定。剪力值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力的代數(shù)和彎矩值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力對該截面形心的力矩代數(shù)和

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程（2）截面左側(cè)梁段向上的外力→正剪力→正彎矩順時(shí)針外力偶→正彎矩截面右側(cè)梁段向上的外力→負(fù)剪力→正彎矩順時(shí)針外力偶→負(fù)彎矩梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F（3）在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值=集中力大??；在集中力偶作用處，彎矩值發(fā)生突變，突變值=集中力偶矩大小。梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F

求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內(nèi)力。1212343455梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程課堂練習(xí)：剪力方程和彎矩方程剪力方程彎矩方程——反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

圖示懸臂梁受集度為q的均布荷載作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解：以自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)，列剪力方程和彎矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：

圖示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解：（1）求支反力（2）列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAq梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：

圖示簡支梁受集中荷載F作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解：（1）求支反力（2）列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出xBlAFabCFBFA梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：AC段CB段xBlAFabCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

圖示簡支梁在C點(diǎn)受矩為Me

的集中力偶作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解:（1）求支反力Me

FA

FBBlACab梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：（2）列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

圖示懸臂梁AB，自由端受力F的作用，試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。x梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程課堂練習(xí)：根據(jù)彎矩、剪力與分布荷載集度之間的微分關(guān)系其中分布荷載集度q(x)

以向上為正，向下為負(fù)。q(x)、FS(x)、M(x)間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程剪力圖和彎矩圖

顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖繪制方法：（1）根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制；（2）利用載荷集度與剪力、彎矩之間的微分關(guān)系繪制。梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示懸臂梁受集度為q的均布荷載作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）列剪力方程和彎矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)例題：（2）作剪力圖和彎矩圖彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的上方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。xqlFS

ABl

Mxql22梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAq例題：ql

2FS

BlAq（2）作剪力圖和彎矩圖ql28l/2M梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程解：（1）列剪力方程和彎矩方程AC段CB段梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示簡支梁受集中荷載F作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。xBlAFabCFBFA例題：（2）作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFalFabMxlFBlAabC梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程解:（1）剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示簡支梁在C點(diǎn)受矩為Me

的集中力偶作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。Me

FA

FBBlACab例題：（2）剪力圖和彎矩圖當(dāng)b>a時(shí)發(fā)生在C截面右側(cè)BlACabFslxMelMxMealMeb梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示懸臂梁AB，自由端受力F的作用，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。x課堂練習(xí)：根據(jù)彎矩、剪力與分布荷載集度之間的微分關(guān)系畫梁的內(nèi)力圖q(x)、FS(x)、M(x)間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖不同均布荷載下FS

圖和M

圖的特征：FS

圖M

圖集中力作用處集中力偶作用處

FS=0的截面或FS發(fā)生突變的截面彎矩M(x)為極值。

梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖幾種常見荷載下FS

圖和M

圖的特征：利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖的步驟：1．求支座反力；2．分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；3．計(jì)算控制截面內(nèi)力值，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；4．確定和。梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖B3aACMe=3qa2axq

試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系繪制圖示梁的剪力圖和彎矩圖。FAFB解：支反力為梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖例題：AC段：

q=0，

剪力圖為水平直線；剪力值（1）剪力圖xFAFBB3aACMe=3qa2axqxAM(x)FS(x)FAFS5qa/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖CB段：q=常量<0，

剪力圖為向右下方傾斜的斜直線；因C點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故FS5qa/3xqa/38a/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖xFAFBB3aACMe=3qa2axq（2）彎矩圖AC段：剪力=常量彎矩圖→斜率為正值的斜直線彎矩值：支座A：MA=0C截面左側(cè):B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx5qa2/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖CB段：

q=負(fù)常量彎矩圖→曲率為負(fù)(向下凸)的拋物線C點(diǎn)處有集中力偶作用→彎矩圖突變支座B：MB=0B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3x4qa2/3Mx5qa2/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖存在的截面，即彎矩M(x)在此處有極值（拋物線的頂點(diǎn)）。

FS5qa/3xqa/38a/3qa2/18x4qa2/3Mx5qa2/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖AyzyzdAO靜矩（或一次矩）形心坐標(biāo)公式均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)C截面的幾何性質(zhì)截面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)常用單位：m3

或mm3

。值可為正、負(fù)或0截面對形心軸的靜矩為零

若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸

組合圖形形心坐標(biāo)計(jì)算公式：截面的幾何性質(zhì)

試確定圖示梯形面積對底邊的靜矩，及其形心位置。解：圖形對底邊的靜矩形心位置abhzyOC1xC2x截面的幾何性質(zhì)例題：極慣性矩.慣性矩.慣性積截面的幾何性質(zhì)極慣性矩慣性矩慣性積極慣性矩與慣性矩的關(guān)系極慣性矩、慣性矩、慣性積的性質(zhì)：1、慣性矩和慣性積是對一定軸而定義的，而極慣性矩，是對點(diǎn)定義的。2、慣性矩和極慣性矩永遠(yuǎn)為正，慣性積可能為正、為負(fù)、為零。3、任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸的慣性積為零。截面的幾何性質(zhì)4、對于面積相等的截面，截面相對于坐標(biāo)軸分布的越遠(yuǎn)，其慣性矩越大。yy5、組合圖形對某一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)δ骋惠S的慣性矩、慣性積6、極慣性矩、慣性矩和慣性積的量綱均為長度的四次方。截面的幾何性質(zhì)極慣性矩、慣性矩、慣性積的性質(zhì)：慣性半徑：dAzyOzy

任意形狀的截面圖形對某軸的慣性半徑定義為圖形對某軸的慣性矩與圖形面積之比的平方根，即慣性半徑的特征：1.慣性半徑是對某一坐標(biāo)軸定義的。2.慣性半徑的單位為m。3.慣性半徑的數(shù)值恒取正值。截面的幾何性質(zhì)

試計(jì)算圖中矩形截面對于其對稱軸z和y的慣性矩。解：取平行于z軸的狹長條，則

dA=bdy同理y

dyyhCzb(1)計(jì)算圖形對z軸的慣性矩(2)計(jì)算圖形對y軸的慣性矩截面的幾何性質(zhì)例題：慣性矩.慣性積的平行移軸公式

在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小

但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小截面的幾何性質(zhì)求圖示圓對其切線AB的慣性矩。BAdzyO（1）求圖形對形心軸的慣性矩（2）求圖形對其切線AB的慣性矩解：截面的幾何性質(zhì)例題：試計(jì)算T形截面對形心軸的慣性矩。C21202020120yzC1zcC(yc)截面的幾何性質(zhì)課堂練習(xí)：內(nèi)力應(yīng)力梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算純彎曲橫力彎曲梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：幾何方面梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算平面假設(shè)

梁在純彎曲時(shí)，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對稱軸的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層。中性層:中性層中性軸Me

Me

梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算r——中性層的曲率半徑CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算物理方面

不計(jì)擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)s<sp，且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有即直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。zOyzdAsdAy梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算靜力學(xué)方面即中性軸z是形心軸。對稱彎曲時(shí)此條件將自動(dòng)滿足。zOyzdAsdAy得梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算這是純彎梁變形時(shí)中性層曲率的表達(dá)式。EIz稱為梁的彎曲剛度。梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算zOyzdAsdAy彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算將zOyzdAsdAy代入得中性軸

z

為橫截面的對稱軸時(shí)稱為彎曲截面系數(shù)yzzybh梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(shí)Ozyyt，maxyc，max梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算簡單截面的彎曲截面系數(shù)⑴矩形截面zybh梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算yzd⑵圓形截面梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算(4)型鋼截面：參見型鋼表式中DOdyz⑶空心圓截面梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

如圖所示懸臂梁，橫截面為直徑等于200mm的實(shí)心圓，試計(jì)算梁內(nèi)橫截面上最大正應(yīng)力。分析：ＤL30kN·m30kN·m

純彎曲解：（1）計(jì)算W（2）計(jì)算

max梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例題：純彎曲理論的推廣橫力彎曲時(shí)：1、由于切應(yīng)力的存在梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彈性力學(xué)的分析結(jié)果：對于細(xì)長梁（l/h>5

），純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。Fl4lF梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算橫力彎曲計(jì)算公式

長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，求B截面上a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力。梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例題：（壓）梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算解：（1）畫彎矩圖，確定B截面彎矩（2）計(jì)算各點(diǎn)正應(yīng)力梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可按單向應(yīng)力狀態(tài)來建立：材料的許用彎曲正應(yīng)力中性軸為橫截面對稱軸的等直梁梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

鑄鐵梁受荷載情況如圖示。已知：T形截面的形心坐標(biāo)yc＝61mm，截面對形心軸的慣性矩Iz=403×10－7m4，鑄鐵抗拉強(qiáng)度[σ＋]=50MPa，抗壓強(qiáng)度[σ－]=125MPa。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例題：C截面B截面綜上，梁的強(qiáng)度條件滿足，安全！梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算解：（1）確定截面彎矩（2）計(jì)算危險(xiǎn)截面的應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力推導(dǎo)思路：近似方法不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計(jì)算公式的分析過程橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)橫截面上彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式分離體的平衡梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算矩形截面梁對稱彎曲時(shí)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx1、橫截面上的τ方向與FS平行2、τ沿截面寬度是均勻分布的梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算其中：FS→橫截面上的剪力；Iz

→整個(gè)橫截面對于中性軸的慣性矩；b

→與剪力垂直的截面尺寸，即矩形的寬度；矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式

→橫截面上求切應(yīng)力的點(diǎn)處橫線以外部分面積對

中性軸的靜矩梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算矩形橫截面上彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

t沿矩形截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2)同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0)；(3)上下邊緣處（y=±h/2)，切應(yīng)力為零。tmaxzyOtmax

矩形截面簡支梁受力如圖所示。求σmax,τmax。梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例題：解：（1）確定最大彎矩、最大剪力（2）根據(jù)公式計(jì)算最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力工字形截面梁(1)、腹板上的切應(yīng)力梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算zyOtmaxtmintmax(2)、翼緣上的切應(yīng)力翼緣上最大切應(yīng)力小于腹板上最大切應(yīng)力，工程上一般不考慮。圓截面梁切應(yīng)力的分布特征：邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力的方向與圓周相切；切應(yīng)力分布與y軸對稱；與y軸相交各點(diǎn)處的切應(yīng)力其方向與y軸一致。關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：1、離中性軸為任意距離y的水平直線段上各點(diǎn)處的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)；2、這些切應(yīng)力沿y方向的分量ty沿寬度相等。zyOtmaxkk'O'd最大切應(yīng)力tmax

在中性軸z處梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

一般tmax發(fā)生在FS,max所在截面的中性軸處，該位置s=0。不計(jì)擠壓，則tmax所在點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為對等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算梁上smax所在點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁上任意點(diǎn)G和H→平面應(yīng)力狀態(tài)，若這種應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)需校核強(qiáng)度時(shí)不能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行，而必須考慮兩者的共同作用（強(qiáng)度理論）。Csmax

DsmaxGtsHtsEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度足夠橫力彎曲梁的強(qiáng)度條件：

最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，該處的切應(yīng)力為零，即正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)；

最大切應(yīng)力通常發(fā)生在最大剪力截面的中性軸處，該處的正應(yīng)力為零，即切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)；梁平面彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算合理配置梁的荷載和支座控制強(qiáng)度條件：M↓Wz↑輔梁lFl4FFl4l4l2

Fl8提高梁強(qiáng)度的措施合理選取截面形狀1、盡可能使橫截面面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，以使彎曲截面系數(shù)與面積比值W/A增大。yzzybhz2、對于由拉伸和壓縮強(qiáng)度相等的材料制成的梁，其橫截面應(yīng)以中性軸為對稱軸。提高梁強(qiáng)度的措施3、對于拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的梁，應(yīng)采用對中性軸不對稱的截面，以盡量使梁的最大工作拉、壓應(yīng)力分別達(dá)到（或接近）材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。Ozyy1y2提高梁強(qiáng)度的措施合理設(shè)計(jì)梁的外形

考慮各截面彎矩變化可將梁局部加強(qiáng)或設(shè)計(jì)為變截面梁。

若梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則稱為等強(qiáng)度梁（魚腹梁）。(a)

l2Fh(x)b(b)Fl2提高梁強(qiáng)度的措施工程力學(xué)1梁的變形與位移的概念2撓曲線近似微分方程3用積分法求梁的位移4用疊加法求梁的位移章節(jié)目錄|CONTENT5梁的剛度計(jì)算6提高梁剛度的措施第十章

梁的平面彎曲-剛度計(jì)算xy撓曲線m-mn-nyΔxx（連續(xù)、光滑平坦的平面曲線）yz梁變形的表示方法θ梁的變形與位移的概念（1）撓度y

：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移。

（3）轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度（角位移）。符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。符號規(guī)定：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。（2）軸向位移Δx：橫截面形心在軸線方向的線位移。略去不計(jì)

撓曲線曲線性質(zhì)：撓曲線方程xyxy(x)oθ(x)θ(x)（2）撓曲線上任一點(diǎn)的切線斜率等于梁上該截面的轉(zhuǎn)角值。（1）撓曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于梁上該截面的撓度值；撓度和轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系

梁的變形與位移的概念中性層曲率表示的彎曲變形公式數(shù)學(xué)中的曲率公式撓曲線微分方程

撓曲線近似微分方程在小變形條件下正負(fù)號確定：（1）線彈性范圍（2）小變形條件（3）平面彎曲適用條件：

撓曲線近似微分方程C、D為積分常數(shù)，由位移的邊界與連續(xù)條件確定。積分一次，積分二次，

積分法過程用積分法求梁的位移邊界條件（2）鉸支座的約束條件（1）固定端的約束條件

用積分法求梁的位移（3）交界處的連續(xù)條件

懸臂梁AB受力如圖所示，已知：梁的剛度為EI,梁長度為l。

求：撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，|y|max、|θ|max解：（1）彎矩方程（2）列撓曲線近似微分方程并積分積分得：

用積分法求梁的位移例題：（3）由邊界條件確定積分常數(shù)（4）確定撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程（5）求最大撓度和轉(zhuǎn)角

用積分法求梁的位移

懸臂梁AB受力如圖所示，已知：梁的剛度為EI,梁長度為l。求：撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，|y|max、|θ|max解：（1）列彎矩方程（2）寫撓曲線微分方程并積分（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)；

例題：用積分法求梁的位移（4）撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程在兩端A、B，截面轉(zhuǎn)角數(shù)值相等，符號相反，絕對值最大：5、求最大撓度和轉(zhuǎn)角

用積分法求梁的位移寫出梁的彎矩方程；積分法求位移步驟如下：求撓曲線近似微分方程，并積分；利用邊界條件和連續(xù)條件，確定出積分常數(shù)；求撓曲線方程、轉(zhuǎn)角方程及其它待求量。用積分法求梁的位移試求圖示簡支梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程（抗彎剛度為EI

）解：（1）寫出彎矩方程；AC段：CB段：用積分法求梁的位移例題：（2）列出撓曲線微分方程，并積分；AC段：CB段：用積分法求梁的位移（3）列出邊界條件、連續(xù)性條件，確定積分常數(shù)：可得

當(dāng)須分段表示彎矩方程時(shí)，需用連續(xù)條件、邊界條件一起確定積分常數(shù)。

用積分法求梁的位移（4）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程積分法適用于求任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角。用積分法求梁的位移AC段：CB段：

懸臂梁AB受力如圖所示，已知：梁的剛度為EI,梁的跨度為l。求圖所示懸臂梁B端的撓度與轉(zhuǎn)角。q用積分法求梁的位移課堂練習(xí)：疊加法：

當(dāng)梁上同時(shí)作用幾種載荷時(shí)，可分別求出每一種載荷單獨(dú)作用下的變形，然后將各個(gè)載荷單獨(dú)引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時(shí)的變形。疊加法應(yīng)用條件：各種載荷與變形量之間成線性關(guān)系；小變形疊加法適用性：主要用于求指定截面的變形。用疊加法求梁的位移1、將作用在梁上的復(fù)雜載荷分解成幾種簡單載荷作用的情況；使用疊加法的計(jì)算步驟：3、將撓度和轉(zhuǎn)角分別疊加，即可求出復(fù)雜載荷作用下所求截面的撓度和轉(zhuǎn)角。2、確定各種簡單載荷作用下所求截面的撓度和轉(zhuǎn)角；用疊加法求梁的位移

橋式起重機(jī)的大梁自重為集度q的均布載荷，吊重F為作用于梁中點(diǎn)的集中力。試求大梁跨度中點(diǎn)的撓度。（梁的長度l和抗彎剛度EI已知）xyABl/2Cl/2qFxyABCql/2l/2xyABCFl/2l/2

用疊加法求梁的位移例題：解：均布載荷q引起中點(diǎn)的撓度：集中載荷F引起中點(diǎn)的撓度：q和F共同作用引起中點(diǎn)的撓度：xyABCql/2l/2

xyABCFl/2l/2

用疊加法求梁的位移

如圖所示，梁AC段的撓曲線方程為

,則該段的轉(zhuǎn)角方程為

。截面B的轉(zhuǎn)角和撓度分別為

、

。用疊加法求梁的位移例題：與為許可值，可查設(shè)計(jì)手冊。其中，為保證梁的正常工作，需要對其最大轉(zhuǎn)角和最大撓度加以限制即要求滿足剛度條件：梁的剛度計(jì)算（1）改變加載方式

除外加載荷外，梁的位移y、

還與梁的彎曲剛度EI成反比，與跨長l的n次方成正比，因此，提高剛度的措施還有：

提高梁剛度的措施（3）減少梁的跨度或增加支承(改變結(jié)構(gòu))。（2）升高EI

各種鋼材E相差不大，主要提高I，在截面面積A不變時(shí)，盡可能使面積分布遠(yuǎn)離中性軸。如工字形、箱形等截面。PP提高梁剛度的措施工程力學(xué)1組合變形的概念和實(shí)例2桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算3梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析章節(jié)目錄|CONTENT5廣義胡克定律第十一章

組合變形6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力7圓軸承受彎扭組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算組合變形:構(gòu)件在荷載作用下，同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形工程實(shí)用:煙囪，傳動(dòng)軸，吊車梁的立柱煙囪：自重引起軸向壓縮

+水平方向的風(fēng)力而引起彎曲，傳動(dòng)軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲

+扭轉(zhuǎn)

立柱：荷載不過軸線，為偏心壓縮=軸向壓縮

+純彎曲組合變形的概念和實(shí)例組合變形強(qiáng)度計(jì)算的步驟:1.外力分析

將荷載簡化為符合基本變形外力作用條件的靜力等效力系。2.內(nèi)力分析

分別做出各基本變形的內(nèi)力圖，確定構(gòu)件危險(xiǎn)截面位置及其相應(yīng)內(nèi)力分量。3.應(yīng)力分析

按危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力值，分析危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力分布，確定危險(xiǎn)點(diǎn)所在位置，按疊加原理畫出危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖。4.強(qiáng)度分析

根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和桿件的材料按強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

疊加法：將作用于桿件上的荷載簡化，簡化后的每一荷載只產(chǎn)生一種基本變形；每一種基本變形下桿件的應(yīng)力和位移，結(jié)果疊加起來。屋架傳來的壓力吊車傳來的壓力自重風(fēng)力組合變形的概念和實(shí)例橫向力與軸向力共同作用

略去由軸向力引起的彎矩,按疊加原理分別計(jì)算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應(yīng)力，求其代數(shù)和，即得在拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應(yīng)力。

圖示由兩根槽鋼組成桿件的計(jì)算圖，在其縱對稱面內(nèi)有橫向力F和軸向拉力Ft共同作用，分析桿在拉伸與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。FtFtF2hh2

xyz桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

在拉力Ft作用下，桿各個(gè)橫截面上有相同的軸力FN=Ft,拉伸正應(yīng)力

t在各橫截面上的各點(diǎn)處均相等

在橫向力F作用下，桿跨中截面上的彎矩為最大，Mmax=Fl/4?？缰薪孛媸菞U的危險(xiǎn)截面。該截面上的最大彎曲正應(yīng)力

t=FANFtFtF2hh2

xyz

WmaxM=b

WmaxM桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

按疊加原理，桿件的最大正應(yīng)力是危險(xiǎn)截面下邊緣各點(diǎn)處的拉應(yīng)力,值為當(dāng)b＞t當(dāng)t=bb當(dāng)＜t

正應(yīng)力沿截面高度的分布情況：

注意:當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí)，桿內(nèi)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力必須分別滿足桿件的拉、壓強(qiáng)度條件。

危險(xiǎn)點(diǎn)處為單軸應(yīng)力狀態(tài)，故可將最大拉應(yīng)力與材料的許用應(yīng)力相比較，以進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

一矩形截面折桿尺寸如圖所示，已知F＝50kN，α＝30°。求B點(diǎn)橫截面上的應(yīng)力。解：B點(diǎn)處的內(nèi)力為B點(diǎn)處的應(yīng)力為

桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算例題：

廠房立柱的下端與基礎(chǔ)固定，其形狀、尺寸、加載方式如圖所示（圖中長度單位為毫米）。試求柱橫截面上的最大正應(yīng)力。桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算課堂練習(xí)：FF1F2載荷偏離縱向?qū)ΨQ面兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面同時(shí)作用有載荷非對稱彎曲問題梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算縱向?qū)ΨQ面梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算當(dāng)F1和F2共同作用時(shí)，應(yīng)用疊加法應(yīng)根據(jù)彎距在該點(diǎn)造成的應(yīng)力方向,再疊加危險(xiǎn)點(diǎn)：m-m截面上角點(diǎn)B有最大拉應(yīng)力，

D有最大壓應(yīng)力；可見，B、D點(diǎn)就是危險(xiǎn)點(diǎn)，離中性軸最遠(yuǎn)強(qiáng)度條件：B、D角點(diǎn)處的切應(yīng)力為零，按單向應(yīng)力狀態(tài)來建立強(qiáng)度條件。設(shè)材料的抗拉和抗壓強(qiáng)度相同，則斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件為梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

一般生產(chǎn)車間所用的吊車大梁,兩端由鋼軌支撐，可以簡化為簡支梁，如圖所示。圖中l(wèi)＝4m，大梁由32a熱軋普通工字鋼制成，許用應(yīng)力[σ]＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中點(diǎn)，作用線與y軸之間的夾角α＝5°，試校核吊車大梁的強(qiáng)度是否安全。梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算例題：（1）將斜彎曲分解為兩個(gè)平面彎曲的疊加解：梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算（2）確定兩個(gè)平面彎曲的最大彎矩（3）計(jì)算最大正應(yīng)力并校核強(qiáng)度查表：（4）討論，若

α=0，則結(jié)論：吊車起吊重物只能在吊車大梁垂直方向起吊，不允許在大梁的側(cè)面斜方向起吊?。。〔话踩。。×盒睆澢鷷r(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

一般情況下，受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力較為復(fù)雜，強(qiáng)度條件的建立需解決的問題：1、了解過該點(diǎn)各不同方位截面上的應(yīng)力變化規(guī)律，從而確定該點(diǎn)的最大應(yīng)力;2、應(yīng)力的組合形式有無限多的可能性，不可能由實(shí)驗(yàn)的方法來確定每一應(yīng)力組合下材料的極限應(yīng)力，因此需確定引起材料破壞的共同因素，從而確定許用應(yīng)力。

關(guān)于材料破壞的共同因素（即破壞規(guī)律）的假說，即稱為強(qiáng)度理論?？筛鶕?jù)強(qiáng)度理論來建立強(qiáng)度條件。最大應(yīng)力通過一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)來確定。平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析

構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處各截面方向上的應(yīng)力的情況，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。可由圍繞該點(diǎn)的一個(gè)單元體面上的應(yīng)力表示。一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)目的：通過應(yīng)力狀態(tài)分析求出該點(diǎn)處的

max、

max及其作用面，從而更好地進(jìn)行強(qiáng)度分析。特點(diǎn):單元體每個(gè)面上應(yīng)力均布；每對相互平行面上的性質(zhì)相同的應(yīng)力大小相等；可用截面法求任一截面上的應(yīng)力。單元體如何??？

在研究點(diǎn)的周圍，取一個(gè)由三對互相垂直的平面構(gòu)成的六面體，該六面體的邊長分別為無窮小量dx、dy和dz，如圖所示。dydzdxzxy平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

該應(yīng)力狀態(tài)則稱為平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析斜截面上的應(yīng)力已知如下圖a（或圖b）所示的一平面應(yīng)力狀態(tài)：由截面法求與前、后兩平面垂直的斜截面上應(yīng)力。斜截面ef的外法線與x軸間的夾角為

，稱為

截面。efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析應(yīng)力的正負(fù)和斜截面夾角的正負(fù)規(guī)定：α角

由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)切應(yīng)力使單元體或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析公式推導(dǎo)：平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析例題：某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成30o和－60o角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析主應(yīng)力和最大切應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析求導(dǎo)，求極值：主應(yīng)力主應(yīng)力方位最大切應(yīng)力按照值排序1、各向同性材料的廣義胡克定律

對各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系可由疊加原理求得.(1)、單向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律廣義胡克定律1(2)、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法++23廣義胡克定律123123312廣義胡克定律123廣義胡克定律★分析：1、即2、當(dāng)時(shí)，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：3、當(dāng)時(shí)，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。廣義胡克定律4、若單元體上作用的是一般的應(yīng)力時(shí)，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：xzy廣義胡克定律5、若平面單元體上作用的是一般的應(yīng)力時(shí)，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：廣義胡克定律例題：某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示,當(dāng)σx,σy,σz不變,τx增大時(shí),關(guān)于εx值的說法正確的是____.A.不變B.增大C.減小D.無法判定εx僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。所以當(dāng)切應(yīng)力增大時(shí)，線應(yīng)變不變。廣義胡克定律ss1、概述

1)單向應(yīng)力狀態(tài)：強(qiáng)度條件：強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力2)純剪應(yīng)力狀態(tài)：強(qiáng)度條件：t強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力3）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)txsx

研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設(shè)來確定破壞條件，從而建立強(qiáng)度條件，這就是強(qiáng)度理論的研究內(nèi)容。不可以!強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力4）材料破壞的形式(常溫、靜載)

塑性屈服：

脆性斷裂：鑄鐵：拉伸、低碳鋼：拉伸、例如：例如：材料破壞的形式不僅與材料有關(guān)，還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。沒有明顯的塑性變形發(fā)生突然斷裂產(chǎn)生顯著的塑性變形構(gòu)件喪失正常的工作能力扭轉(zhuǎn)等；扭轉(zhuǎn)等；強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力脆性斷裂塑性斷裂5）強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)力理論最大伸長線應(yīng)變理論最大切應(yīng)力理論形狀改變能密度理論第一類強(qiáng)度理論第二類強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度條件：1）最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)假設(shè):