工程力學 課件-第9-11章-梁的平面彎曲-強度計算、剛度計算、組合變形

工程力學1梁平面彎曲的概念與計算簡圖2梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖4截面的幾何性質章節(jié)目錄|CONTENT5梁平面彎曲時橫截面上的正應力正應力強度計算第九章

梁的平面彎曲-強度計算6梁平面彎曲時橫截面上的切應力切應力強度計算7提高梁強度的措施彎曲的概念受力特點：桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶（其矢量垂直于桿軸）作用。MeMeABF梁平面彎曲的概念與計算簡圖——以彎曲為主要變形的桿件通稱為梁。梁變形特點：1、直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€；2、任意兩橫截面繞垂直于桿軸的軸作相對轉動。MeMeABF梁平面彎曲的概念與計算簡圖最基本、常見的彎曲問題——對稱彎曲

彎曲時梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合，因而一定是平面彎曲。梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)縱向對稱面變形前的軸線變形后的軸線橫截面對稱軸梁平面彎曲的概念與計算簡圖

特定條件下，發(fā)生非對稱彎曲的梁變形后其軸線所在平面也會跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面彎曲。（1）梁不具有縱對稱面；（2）梁有縱對稱面，但外力沒有作用在縱對稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對稱面不一致。非對稱彎曲——yzFzyFqxq梁平面彎曲的概念與計算簡圖梁的計算簡圖靜定梁

支座反力可以由靜力平衡方程求解的梁超靜定梁

支座反力僅由靜力平衡方程不能求解的梁梁平面彎曲的概念與計算簡圖梁按支承方法的分類懸臂梁簡支梁外伸梁固定梁半固定梁連續(xù)梁梁平面彎曲的概念與計算簡圖均勻分布荷載Me集中力偶集中力作用在梁上的載荷形式梁平面彎曲的概念與計算簡圖梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩取左側分離體分析任一橫截面m-m上的內(nèi)力mmxaABFFBFAFAFSyAmmxxCM剪力彎矩梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

使微段梁有順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負；使微段梁產(chǎn)生向下凸變形的彎矩為正，反之為負。Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0彎曲內(nèi)力符號規(guī)定：剪力“左上右下”為正彎矩“上壓下拉”為正梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

求圖示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4橫截面上的剪力和彎矩。解：求支反力

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA例題：梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程截面1—1截面2—2M1FS1FC111FAM2FS2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程截面3—3截面4—433C3M3FFS3FAFS4M44C4FB4梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa（1）橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側或右側梁段分離體的靜力平衡方程來確定。剪力值=截面左側（或右側）所有外力的代數(shù)和彎矩值=截面左側（或右側）所有外力對該截面形心的力矩代數(shù)和

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程（2）截面左側梁段向上的外力→正剪力→正彎矩順時針外力偶→正彎矩截面右側梁段向上的外力→負剪力→正彎矩順時針外力偶→負彎矩梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F（3）在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值=集中力大?。辉诩辛ε甲饔锰?，彎矩值發(fā)生突變，突變值=集中力偶矩大小。梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F

求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內(nèi)力。1212343455梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程課堂練習：剪力方程和彎矩方程剪力方程彎矩方程——反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

圖示懸臂梁受集度為q的均布荷載作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解：以自由端為坐標原點，列剪力方程和彎矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：

圖示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解：（1）求支反力（2）列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAq梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：

圖示簡支梁受集中荷載F作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解：（1）求支反力（2）列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出xBlAFabCFBFA梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：AC段CB段xBlAFabCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

圖示簡支梁在C點受矩為Me

的集中力偶作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。解:（1）求支反力Me

FA

FBBlACab梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程例題：（2）列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程

圖示懸臂梁AB，自由端受力F的作用，試寫出梁的剪力方程和彎矩方程。x梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程課堂練習：根據(jù)彎矩、剪力與分布荷載集度之間的微分關系其中分布荷載集度q(x)

以向上為正，向下為負。q(x)、FS(x)、M(x)間的微分關系梁的內(nèi)力與內(nèi)力方程剪力圖和彎矩圖

顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖繪制方法：（1）根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制；（2）利用載荷集度與剪力、彎矩之間的微分關系繪制。梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示懸臂梁受集度為q的均布荷載作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）列剪力方程和彎矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)例題：（2）作剪力圖和彎矩圖彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的上方(即彎矩值繪在彎曲時梁的受拉側)。xqlFS

ABl

Mxql22梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAq例題：ql

2FS

BlAq（2）作剪力圖和彎矩圖ql28l/2M梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程解：（1）列剪力方程和彎矩方程AC段CB段梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示簡支梁受集中荷載F作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。xBlAFabCFBFA例題：（2）作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFalFabMxlFBlAabC梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程解:（1）剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示簡支梁在C點受矩為Me

的集中力偶作用。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。Me

FA

FBBlACab例題：（2）剪力圖和彎矩圖當b>a時發(fā)生在C截面右側BlACabFslxMelMxMealMeb梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖

圖示懸臂梁AB，自由端受力F的作用，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。x課堂練習：根據(jù)彎矩、剪力與分布荷載集度之間的微分關系畫梁的內(nèi)力圖q(x)、FS(x)、M(x)間的微分關系梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖不同均布荷載下FS

圖和M

圖的特征：FS

圖M

圖集中力作用處集中力偶作用處

FS=0的截面或FS發(fā)生突變的截面彎矩M(x)為極值。

梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖幾種常見荷載下FS

圖和M

圖的特征：利用微分關系直接繪制剪力圖和彎矩圖的步驟：1．求支座反力；2．分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；3．計算控制截面內(nèi)力值，根據(jù)微分關系繪剪力圖和彎矩圖；4．確定和。梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖B3aACMe=3qa2axq

試利用彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關系繪制圖示梁的剪力圖和彎矩圖。FAFB解：支反力為梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖例題：AC段：

q=0，

剪力圖為水平直線；剪力值（1）剪力圖xFAFBB3aACMe=3qa2axqxAM(x)FS(x)FAFS5qa/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖CB段：q=常量<0，

剪力圖為向右下方傾斜的斜直線；因C點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故FS5qa/3xqa/38a/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖xFAFBB3aACMe=3qa2axq（2）彎矩圖AC段：剪力=常量彎矩圖→斜率為正值的斜直線彎矩值：支座A：MA=0C截面左側:B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx5qa2/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖CB段：

q=負常量彎矩圖→曲率為負(向下凸)的拋物線C點處有集中力偶作用→彎矩圖突變支座B：MB=0B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3x4qa2/3Mx5qa2/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖存在的截面，即彎矩M(x)在此處有極值（拋物線的頂點）。

FS5qa/3xqa/38a/3qa2/18x4qa2/3Mx5qa2/3梁的內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖AyzyzdAO靜矩（或一次矩）形心坐標公式均質等厚薄板的重心坐標C截面的幾何性質截面圖形的靜矩是對某一坐標軸定義的，故靜矩與坐標軸有關常用單位：m3

或mm3

。值可為正、負或0截面對形心軸的靜矩為零

若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸

組合圖形形心坐標計算公式：截面的幾何性質

試確定圖示梯形面積對底邊的靜矩，及其形心位置。解：圖形對底邊的靜矩形心位置abhzyOC1xC2x截面的幾何性質例題：極慣性矩.慣性矩.慣性積截面的幾何性質極慣性矩慣性矩慣性積極慣性矩與慣性矩的關系極慣性矩、慣性矩、慣性積的性質：1、慣性矩和慣性積是對一定軸而定義的，而極慣性矩，是對點定義的。2、慣性矩和極慣性矩永遠為正，慣性積可能為正、為負、為零。3、任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸的慣性積為零。截面的幾何性質4、對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠，其慣性矩越大。yy5、組合圖形對某一點的極慣性矩或對某一軸的慣性矩、慣性積6、極慣性矩、慣性矩和慣性積的量綱均為長度的四次方。截面的幾何性質極慣性矩、慣性矩、慣性積的性質：慣性半徑：dAzyOzy

任意形狀的截面圖形對某軸的慣性半徑定義為圖形對某軸的慣性矩與圖形面積之比的平方根，即慣性半徑的特征：1.慣性半徑是對某一坐標軸定義的。2.慣性半徑的單位為m。3.慣性半徑的數(shù)值恒取正值。截面的幾何性質

試計算圖中矩形截面對于其對稱軸z和y的慣性矩。解：取平行于z軸的狹長條，則

dA=bdy同理y

dyyhCzb(1)計算圖形對z軸的慣性矩(2)計算圖形對y軸的慣性矩截面的幾何性質例題：慣性矩.慣性積的平行移軸公式

在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小

但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小截面的幾何性質求圖示圓對其切線AB的慣性矩。BAdzyO（1）求圖形對形心軸的慣性矩（2）求圖形對其切線AB的慣性矩解：截面的幾何性質例題：試計算T形截面對形心軸的慣性矩。C21202020120yzC1zcC(yc)截面的幾何性質課堂練習：內(nèi)力應力梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算純彎曲橫力彎曲梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算純彎曲時梁橫截面上的正應力1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對轉動了一個角度。實驗現(xiàn)象：幾何方面梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算平面假設

梁在純彎曲時，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對稱軸的某一軸轉動。中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入一側的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層。中性層:中性層中性軸Me

Me

梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算r——中性層的曲率半徑CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算物理方面

不計擠壓，即認為梁內(nèi)各點均處于單軸應力狀態(tài)。當s<sp，且拉、壓彈性模量相同時，有即直梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。zOyzdAsdAy梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算靜力學方面即中性軸z是形心軸。對稱彎曲時此條件將自動滿足。zOyzdAsdAy得梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算這是純彎梁變形時中性層曲率的表達式。EIz稱為梁的彎曲剛度。梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算zOyzdAsdAy彎曲正應力計算公式梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算將zOyzdAsdAy代入得中性軸

z

為橫截面的對稱軸時稱為彎曲截面系數(shù)yzzybh梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算中性軸

z不是橫截面的對稱軸時Ozyyt，maxyc，max梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算簡單截面的彎曲截面系數(shù)⑴矩形截面zybh梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算yzd⑵圓形截面梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算(4)型鋼截面：參見型鋼表式中DOdyz⑶空心圓截面梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算

如圖所示懸臂梁，橫截面為直徑等于200mm的實心圓，試計算梁內(nèi)橫截面上最大正應力。分析：ＤL30kN·m30kN·m

純彎曲解：（1）計算W（2）計算

max梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算例題：純彎曲理論的推廣橫力彎曲時：1、由于切應力的存在梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算彈性力學的分析結果：對于細長梁（l/h>5

），純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，其結果仍足夠精確。Fl4lF梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算橫力彎曲計算公式

長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，求B截面上a、b、c各點的正應力。梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算例題：（壓）梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算解：（1）畫彎矩圖，確定B截面彎矩（2）計算各點正應力梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件可按單向應力狀態(tài)來建立：材料的許用彎曲正應力中性軸為橫截面對稱軸的等直梁梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算拉、壓強度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算

鑄鐵梁受荷載情況如圖示。已知：T形截面的形心坐標yc＝61mm，截面對形心軸的慣性矩Iz=403×10－7m4，鑄鐵抗拉強度[σ＋]=50MPa，抗壓強度[σ－]=125MPa。試按正應力強度條件校核梁的強度。梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算例題：C截面B截面綜上，梁的強度條件滿足，安全！梁平面彎曲時橫截面上的正應力

正應力強度計算解：（1）確定截面彎矩（2）計算危險截面的應力梁橫截面上的切應力推導思路：近似方法不同于前面章節(jié)各種應力計算公式的分析過程橫截面上切應力分布規(guī)律的假設橫截面上彎曲切應力的計算公式分離體的平衡梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算矩形截面梁對稱彎曲時橫截面上切應力的分布規(guī)律m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx1、橫截面上的τ方向與FS平行2、τ沿截面寬度是均勻分布的梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算其中：FS→橫截面上的剪力；Iz

→整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b

→與剪力垂直的截面尺寸，即矩形的寬度；矩形截面梁彎曲切應力計算公式

→橫截面上求切應力的點處橫線以外部分面積對

中性軸的靜矩梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算矩形橫截面上彎曲切應力的變化規(guī)律梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算

t沿矩形截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2)同一橫截面上的最大切應力tmax在中性軸處(y=0)；(3)上下邊緣處（y=±h/2)，切應力為零。tmaxzyOtmax

矩形截面簡支梁受力如圖所示。求σmax,τmax。梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算例題：解：（1）確定最大彎矩、最大剪力（2）根據(jù)公式計算最大正應力、最大切應力工字形截面梁(1)、腹板上的切應力梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算zyOtmaxtmintmax(2)、翼緣上的切應力翼緣上最大切應力小于腹板上最大切應力，工程上一般不考慮。圓截面梁切應力的分布特征：邊緣各點切應力的方向與圓周相切；切應力分布與y軸對稱；與y軸相交各點處的切應力其方向與y軸一致。關于其切應力分布的假設：1、離中性軸為任意距離y的水平直線段上各點處的切應力匯交于一點；2、這些切應力沿y方向的分量ty沿寬度相等。zyOtmaxkk'O'd最大切應力tmax

在中性軸z處梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算梁的切應力強度條件

一般tmax發(fā)生在FS,max所在截面的中性軸處，該位置s=0。不計擠壓，則tmax所在點處于純剪切應力狀態(tài)。梁的切應力強度條件為對等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算梁上smax所在點處于單軸應力狀態(tài)，其正應力強度條件為梁上任意點G和H→平面應力狀態(tài)，若這種應力狀態(tài)的點需校核強度時不能分別按正應力和切應力進行，而必須考慮兩者的共同作用（強度理論）。Csmax

DsmaxGtsHtsEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算強度足夠橫力彎曲梁的強度條件：

最大正應力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，該處的切應力為零，即正應力危險點處于單軸應力狀態(tài)；

最大切應力通常發(fā)生在最大剪力截面的中性軸處，該處的正應力為零，即切應力危險點處于純剪切應力狀態(tài)；梁平面彎曲時橫截面上的切應力

切應力強度計算合理配置梁的荷載和支座控制強度條件：M↓Wz↑輔梁lFl4FFl4l4l2

Fl8提高梁強度的措施合理選取截面形狀1、盡可能使橫截面面積分布在距中性軸較遠處，以使彎曲截面系數(shù)與面積比值W/A增大。yzzybhz2、對于由拉伸和壓縮強度相等的材料制成的梁，其橫截面應以中性軸為對稱軸。提高梁強度的措施3、對于拉、壓強度不等的材料制成的梁，應采用對中性軸不對稱的截面，以盡量使梁的最大工作拉、壓應力分別達到（或接近）材料的許用拉應力[st]和許用壓應力[sc]。Ozyy1y2提高梁強度的措施合理設計梁的外形

考慮各截面彎矩變化可將梁局部加強或設計為變截面梁。

若梁的各橫截面上的最大正應力都達到材料的許用應力，則稱為等強度梁（魚腹梁）。(a)

l2Fh(x)b(b)Fl2提高梁強度的措施工程力學1梁的變形與位移的概念2撓曲線近似微分方程3用積分法求梁的位移4用疊加法求梁的位移章節(jié)目錄|CONTENT5梁的剛度計算6提高梁剛度的措施第十章

梁的平面彎曲-剛度計算xy撓曲線m-mn-nyΔxx（連續(xù)、光滑平坦的平面曲線）yz梁變形的表示方法θ梁的變形與位移的概念（1）撓度y

：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移。

（3）轉角θ：橫截面繞中性軸轉過的角度（角位移）。符號規(guī)定：向上為正，向下為負。符號規(guī)定：逆時針為正，順時針為負。（2）軸向位移Δx：橫截面形心在軸線方向的線位移。略去不計

撓曲線曲線性質：撓曲線方程xyxy(x)oθ(x)θ(x)（2）撓曲線上任一點的切線斜率等于梁上該截面的轉角值。（1）撓曲線上任一點的縱坐標等于梁上該截面的撓度值；撓度和轉角之間的關系

梁的變形與位移的概念中性層曲率表示的彎曲變形公式數(shù)學中的曲率公式撓曲線微分方程

撓曲線近似微分方程在小變形條件下正負號確定：（1）線彈性范圍（2）小變形條件（3）平面彎曲適用條件：

撓曲線近似微分方程C、D為積分常數(shù)，由位移的邊界與連續(xù)條件確定。積分一次，積分二次，

積分法過程用積分法求梁的位移邊界條件（2）鉸支座的約束條件（1）固定端的約束條件

用積分法求梁的位移（3）交界處的連續(xù)條件

懸臂梁AB受力如圖所示，已知：梁的剛度為EI,梁長度為l。

求：撓曲線方程及轉角方程，|y|max、|θ|max解：（1）彎矩方程（2）列撓曲線近似微分方程并積分積分得：

用積分法求梁的位移例題：（3）由邊界條件確定積分常數(shù)（4）確定撓曲線方程及轉角方程（5）求最大撓度和轉角

用積分法求梁的位移

懸臂梁AB受力如圖所示，已知：梁的剛度為EI,梁長度為l。求：撓曲線方程及轉角方程，|y|max、|θ|max解：（1）列彎矩方程（2）寫撓曲線微分方程并積分（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)；

例題：用積分法求梁的位移（4）撓曲線方程及轉角方程在兩端A、B，截面轉角數(shù)值相等，符號相反，絕對值最大：5、求最大撓度和轉角

用積分法求梁的位移寫出梁的彎矩方程；積分法求位移步驟如下：求撓曲線近似微分方程，并積分；利用邊界條件和連續(xù)條件，確定出積分常數(shù)；求撓曲線方程、轉角方程及其它待求量。用積分法求梁的位移試求圖示簡支梁的撓曲線方程和轉角方程（抗彎剛度為EI

）解：（1）寫出彎矩方程；AC段：CB段：用積分法求梁的位移例題：（2）列出撓曲線微分方程，并積分；AC段：CB段：用積分法求梁的位移（3）列出邊界條件、連續(xù)性條件，確定積分常數(shù)：可得

當須分段表示彎矩方程時，需用連續(xù)條件、邊界條件一起確定積分常數(shù)。

用積分法求梁的位移（4）列出轉角方程和撓曲線方程積分法適用于求任意截面的撓度和轉角。用積分法求梁的位移AC段：CB段：

懸臂梁AB受力如圖所示，已知：梁的剛度為EI,梁的跨度為l。求圖所示懸臂梁B端的撓度與轉角。q用積分法求梁的位移課堂練習：疊加法：

當梁上同時作用幾種載荷時，可分別求出每一種載荷單獨作用下的變形，然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時的變形。疊加法應用條件：各種載荷與變形量之間成線性關系；小變形疊加法適用性：主要用于求指定截面的變形。用疊加法求梁的位移1、將作用在梁上的復雜載荷分解成幾種簡單載荷作用的情況；使用疊加法的計算步驟：3、將撓度和轉角分別疊加，即可求出復雜載荷作用下所求截面的撓度和轉角。2、確定各種簡單載荷作用下所求截面的撓度和轉角；用疊加法求梁的位移

橋式起重機的大梁自重為集度q的均布載荷，吊重F為作用于梁中點的集中力。試求大梁跨度中點的撓度。（梁的長度l和抗彎剛度EI已知）xyABl/2Cl/2qFxyABCql/2l/2xyABCFl/2l/2

用疊加法求梁的位移例題：解：均布載荷q引起中點的撓度：集中載荷F引起中點的撓度：q和F共同作用引起中點的撓度：xyABCql/2l/2

xyABCFl/2l/2

用疊加法求梁的位移

如圖所示，梁AC段的撓曲線方程為

,則該段的轉角方程為

。截面B的轉角和撓度分別為

、

。用疊加法求梁的位移例題：與為許可值，可查設計手冊。其中，為保證梁的正常工作，需要對其最大轉角和最大撓度加以限制即要求滿足剛度條件：梁的剛度計算（1）改變加載方式

除外加載荷外，梁的位移y、

還與梁的彎曲剛度EI成反比，與跨長l的n次方成正比，因此，提高剛度的措施還有：

提高梁剛度的措施（3）減少梁的跨度或增加支承(改變結構)。（2）升高EI

各種鋼材E相差不大，主要提高I，在截面面積A不變時，盡可能使面積分布遠離中性軸。如工字形、箱形等截面。PP提高梁剛度的措施工程力學1組合變形的概念和實例2桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時的強度計算3梁斜彎曲時的強度計算4平面應力狀態(tài)應力分析章節(jié)目錄|CONTENT5廣義胡克定律第十一章

組合變形6強度理論和相當應力7圓軸承受彎扭組合變形時的強度計算組合變形:構件在荷載作用下，同時發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形工程實用:煙囪，傳動軸，吊車梁的立柱煙囪：自重引起軸向壓縮

+水平方向的風力而引起彎曲，傳動軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲

+扭轉

立柱：荷載不過軸線，為偏心壓縮=軸向壓縮

+純彎曲組合變形的概念和實例組合變形強度計算的步驟:1.外力分析

將荷載簡化為符合基本變形外力作用條件的靜力等效力系。2.內(nèi)力分析

分別做出各基本變形的內(nèi)力圖，確定構件危險截面位置及其相應內(nèi)力分量。3.應力分析

按危險截面上的內(nèi)力值，分析危險截面上的應力分布，確定危險點所在位置，按疊加原理畫出危險點的應力狀態(tài)圖。4.強度分析

根據(jù)危險點的應力狀態(tài)和桿件的材料按強度理論進行強度計算。

疊加法：將作用于桿件上的荷載簡化，簡化后的每一荷載只產(chǎn)生一種基本變形；每一種基本變形下桿件的應力和位移，結果疊加起來。屋架傳來的壓力吊車傳來的壓力自重風力組合變形的概念和實例橫向力與軸向力共同作用

略去由軸向力引起的彎矩,按疊加原理分別計算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應力，求其代數(shù)和，即得在拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應力。

圖示由兩根槽鋼組成桿件的計算圖，在其縱對稱面內(nèi)有橫向力F和軸向拉力Ft共同作用，分析桿在拉伸與彎曲組合變形時的強度計算。FtFtF2hh2

xyz桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時的強度計算

在拉力Ft作用下，桿各個橫截面上有相同的軸力FN=Ft,拉伸正應力

t在各橫截面上的各點處均相等

在橫向力F作用下，桿跨中截面上的彎矩為最大，Mmax=Fl/4?？缰薪孛媸菞U的危險截面。該截面上的最大彎曲正應力

t=FANFtFtF2hh2

xyz

WmaxM=b

WmaxM桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時的強度計算

按疊加原理，桿件的最大正應力是危險截面下邊緣各點處的拉應力,值為當b＞t當t=bb當＜t

正應力沿截面高度的分布情況：

注意:當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，桿內(nèi)的最大拉應力和最大壓應力必須分別滿足桿件的拉、壓強度條件。

危險點處為單軸應力狀態(tài)，故可將最大拉應力與材料的許用應力相比較，以進行強度計算。

桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時的強度計算

一矩形截面折桿尺寸如圖所示，已知F＝50kN，α＝30°。求B點橫截面上的應力。解：B點處的內(nèi)力為B點處的應力為

桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時的強度計算例題：

廠房立柱的下端與基礎固定，其形狀、尺寸、加載方式如圖所示（圖中長度單位為毫米）。試求柱橫截面上的最大正應力。桿件承受軸向拉（壓）與彎曲組合變形時的強度計算課堂練習：FF1F2載荷偏離縱向對稱面兩個縱向對稱面同時作用有載荷非對稱彎曲問題梁斜彎曲時的強度計算縱向對稱面梁斜彎曲時的強度計算當F1和F2共同作用時，應用疊加法應根據(jù)彎距在該點造成的應力方向,再疊加危險點：m-m截面上角點B有最大拉應力，

D有最大壓應力；可見，B、D點就是危險點，離中性軸最遠強度條件：B、D角點處的切應力為零，按單向應力狀態(tài)來建立強度條件。設材料的抗拉和抗壓強度相同，則斜彎曲時的強度條件為梁斜彎曲時的強度計算

一般生產(chǎn)車間所用的吊車大梁,兩端由鋼軌支撐，可以簡化為簡支梁，如圖所示。圖中l(wèi)＝4m，大梁由32a熱軋普通工字鋼制成，許用應力[σ]＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中點，作用線與y軸之間的夾角α＝5°，試校核吊車大梁的強度是否安全。梁斜彎曲時的強度計算例題：（1）將斜彎曲分解為兩個平面彎曲的疊加解：梁斜彎曲時的強度計算（2）確定兩個平面彎曲的最大彎矩（3）計算最大正應力并校核強度查表：（4）討論，若

α=0，則結論：吊車起吊重物只能在吊車大梁垂直方向起吊，不允許在大梁的側面斜方向起吊?。?！不安全?。。×盒睆澢鷷r的強度計算

一般情況下，受力構件內(nèi)一點處的應力較為復雜，強度條件的建立需解決的問題：1、了解過該點各不同方位截面上的應力變化規(guī)律，從而確定該點的最大應力;2、應力的組合形式有無限多的可能性，不可能由實驗的方法來確定每一應力組合下材料的極限應力，因此需確定引起材料破壞的共同因素，從而確定許用應力。

關于材料破壞的共同因素（即破壞規(guī)律）的假說，即稱為強度理論?？筛鶕?jù)強度理論來建立強度條件。最大應力通過一點處的應力狀態(tài)來確定。平面應力狀態(tài)應力分析

構件內(nèi)一點處各截面方向上的應力的情況，稱為該點的應力狀態(tài)?？捎蓢@該點的一個單元體面上的應力表示。一點處的應力狀態(tài)目的：通過應力狀態(tài)分析求出該點處的

max、

max及其作用面，從而更好地進行強度分析。特點:單元體每個面上應力均布；每對相互平行面上的性質相同的應力大小相等；可用截面法求任一截面上的應力。單元體如何??？

在研究點的周圍，取一個由三對互相垂直的平面構成的六面體，該六面體的邊長分別為無窮小量dx、dy和dz，如圖所示。dydzdxzxy平面應力狀態(tài)應力分析ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

該應力狀態(tài)則稱為平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)應力分析斜截面上的應力已知如下圖a（或圖b）所示的一平面應力狀態(tài)：由截面法求與前、后兩平面垂直的斜截面上應力。斜截面ef的外法線與x軸間的夾角為

，稱為

截面。efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy平面應力狀態(tài)應力分析應力的正負和斜截面夾角的正負規(guī)定：α角

由x正向逆時針轉到n正向者為正；反之為負。正應力拉應力為正壓應力為負切應力使單元體或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。平面應力狀態(tài)應力分析公式推導：平面應力狀態(tài)應力分析例題：某單元體應力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成30o和－60o角，試求此二斜面ab和bc上的應力。在二向應力狀態(tài)下，任意兩個垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。平面應力狀態(tài)應力分析主應力和最大切應力平面應力狀態(tài)應力分析求導，求極值：主應力主應力方位最大切應力按照值排序1、各向同性材料的廣義胡克定律

對各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，正應力只引起線應變，切應力只引起切應變，應力分量和應變分量的關系可由疊加原理求得.(1)、單向應力狀態(tài)的廣義胡克定律廣義胡克定律1(2)、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法++23廣義胡克定律123123312廣義胡克定律123廣義胡克定律★分析：1、即2、當時，即為二向應力狀態(tài)：3、當時，即為單向應力狀態(tài)；即最大與最小主應變分別發(fā)生在最大與最小主應力方向。廣義胡克定律4、若單元體上作用的是一般的應力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應力-應變關系為：xzy廣義胡克定律5、若平面單元體上作用的是一般的應力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應力-應變關系為：廣義胡克定律例題：某點的應力狀態(tài)如圖所示,當σx,σy,σz不變,τx增大時,關于εx值的說法正確的是____.A.不變B.增大C.減小D.無法判定εx僅與正應力有關，而與切應力無關。所以當切應力增大時，線應變不變。廣義胡克定律ss1、概述

1)單向應力狀態(tài)：強度條件：強度理論和相當應力2)純剪應力狀態(tài)：強度條件：t強度理論和相當應力3）復雜應力狀態(tài)txsx

研究復雜應力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設來確定破壞條件，從而建立強度條件，這就是強度理論的研究內(nèi)容。不可以!強度理論和相當應力4）材料破壞的形式(常溫、靜載)

塑性屈服：

脆性斷裂：鑄鐵：拉伸、低碳鋼：拉伸、例如：例如：材料破壞的形式不僅與材料有關，還與應力狀態(tài)有關。沒有明顯的塑性變形發(fā)生突然斷裂產(chǎn)生顯著的塑性變形構件喪失正常的工作能力扭轉等；扭轉等；強度理論和相當應力脆性斷裂塑性斷裂5）強度理論最大拉應力理論最大伸長線應變理論最大切應力理論形狀改變能密度理論第一類強度理論第二類強度理論強度理論和相當應力強度條件：1）最大拉應力理論(第一強度理論)假設: