2024屆浙江省嘉興市七校高二數學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆浙江省嘉興市七校高二數學第二學期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線（是正常數）上有兩點、，焦點，甲：；乙：；丙：；?。?以上是“直線經過焦點”的充要條件有幾個（）A． B． C． D．2．設是曲線上的一個動點，記此曲線在點點處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．3．已知是等差數列的前n項和，且，則的通項公式可能是（）A． B． C． D．4．設，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件5．設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．6．設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上，恒成立，則稱函數在上為“凸函數”，已知當時，在上是“凸函數”，則在上()A．既有極大值,也有極小值 B．既有極大值,也有最小值C．有極大值,沒有極小值 D．沒有極大值,也沒有極小值7．設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，則a的值為()A．1 B． C． D．8．已知函數的定義域為，為的導函數，且，若，則函數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知集合A=A．x0<x≤3 B．x0≤x≤3 C．x10．橢圓的左、右焦點分別為，弦過，若的內切圓的周長為，兩點的坐標分別為，，則（）A． B． C． D．11．命題“，”的否定為（）A．， B．，C．， D．，12．已知為虛數單位，復數滿足，在復平面內所對的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，點在線段上，若，則________.14．已知方程有兩個根、，且，則的值為______.15．已知點，，，，復數、在復平面內分別對應點、，若，則的最大值是__________.16．已知中，角．．的對邊分別為．．，且，，，則____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合U＝R，集合A＝{x|（x－2）（x－3）<0}，函數y＝lg的定義域為集合B．（1）若a＝，求集合A∩（?UB）；（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍．18．（12分）數列滿足.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.19．（12分）如圖，矩形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知拋物線的焦點為拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設其交點為.（1）證明：為定值；（2）設的面積為，寫出的表達式，并求的最小值．21．（12分）《西游記女兒國》是由星皓影業(yè)有限公司出品的喜劇魔幻片，由鄭保瑞執(zhí)導，郭富城、馮紹峰、趙麗穎、小沈陽、羅仲謙、林志玲、梁詠琪、劉濤等人領銜主演，該片于2017年電影之夜獲得年度最受期待系列電影獎，于2018年2月16日（大年初一）在中國內地上映.某機構為了了解年后社區(qū)居民觀看《西游記女兒國》的情況，隨機調查了當地一個社區(qū)的60位居民，其中男性居民有25人，觀看了此片的有10人，女性居民有35人，觀看了此片的有25人.（1）完成下面列聯表：性別觀看此片未觀看此片合計男女合計（2）根據以上列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為“該社區(qū)居民是否觀看《西游記女兒國》與性別有關”？請說明理由.參考公式：.附表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828|22．（10分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理驗證四個選項結論成立時，實數的值，可以得出“直線經過焦點”的充要條件的個數.【題目詳解】設直線的方程為，則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標為.將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得，，由韋達定理得，.對于甲條件，，得，甲條件是“直線經過焦點”的必要不充分條件；對于乙條件，，得，此時，直線過拋物線的焦點，乙條件是“直線經過焦點”的充要條件；對于丙條件，，即，解得或，所以，丙條件是“直線經過焦點”的必要不充分條件；對于丁條件，，化簡得，得，所以，丁條件是“直線經過焦點”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結論只有個，故選B.【題目點撥】本題考查拋物線的幾何性質，以及直線與拋物線的綜合問題，同時也考查了充分必要條件的判定，解題時要假設直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求解，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.2、B【解題分析】分析：求出原函數的導函數，利用基本不等式求出導函數的值域，結合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當且僅當時上式“=”成立．，即曲線在點點處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點睛：本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．3、D【解題分析】

由等差數列的求和公式，轉化為，故，分析即得解【題目詳解】由題意，等差數列，且可得故所以當時，則的通項公式可能是故選：D【題目點撥】本題考查了等差數列的通項公式和求和公式，考查了學生概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.4、C【解題分析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．5、A【解題分析】

構造函數，首先判斷函數的奇偶性，利用可判斷時函數的單調性，結合函數圖象列不等式組可得結果.【題目詳解】設，則的導數為，因為時，，即成立，所以當時，恒大于零，當時，函數為增函數，又，函數為定義域上的偶函數，當時，函數為減函數，又函數的圖象性質類似如圖，數形結合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【題目點撥】本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題.聯系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.6、C【解題分析】此題考查函數極值存在的判定條件思路：先根據已知條件確定m的值，然后在判定因為時，在上是“凸函數”所以在上恒成立，得在是單調遞減，的對稱軸要滿足與單調遞增單調遞減，當時有極大值，當時有極小值所以在上有極大值無極小值7、D【解題分析】

根據分布列中所有概率和為1求a的值.【題目詳解】因為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，選D.【題目點撥】本題考查分布列的性質，考查基本求解能力.8、B【解題分析】分析：根據題意求得函數的解析式，進而得到的解析式，然后根據函數的特征求得最值．詳解：由，得，∴，設（為常數），∵，∴，∴，∴，∴，∴當x=0時，；當時，，故當時，，當時等號成立，此時；當時，，當時等號成立，此時．綜上可得，即函數的取值范圍為．故選B．點睛：解答本題時注意從所給出的條件出發(fā)，并結合導數的運算法則利用構造法求出函數的解析式；求最值時要結合函數解析式的特征，選擇基本不等式求解，求解時注意應用不等式的條件，確保等號能成立．9、A【解題分析】

先化簡求出集合A，B，進而求出A∩B．【題目詳解】∵集合A={x|x-3xB={x|x≥0}，∴A∩B={x|0＜x≤3}．故選：A．【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10、A【解題分析】

設△ABF1的內切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設內切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．可得==?|F1F1|，即可得出．【題目詳解】由橢圓=1，可得a=5，b=4，c==2．如圖所示，設△ABF1的內切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設內切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．則==?|F1F1|，∴4a=|y1﹣y1|×1c，∴|y1﹣y1|==．故選C．【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程定義及其性質、三角形內切圓的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11、A【解題分析】

全稱命題的否定為特稱命題，易得命題的否定為，.【題目詳解】因為命題“，”為全稱命題，所以命題的否定為特稱命題，即，，故選A.【題目點撥】本題考查含有一個量詞的命題的否定，注意“任意”要改成“存在”.12、B【解題分析】

化簡得到，得到答案.【題目詳解】，故，故對應點在第二象限.故選：.【題目點撥】本題考查了復數的化簡，對應象限，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意，由于題目中給出了較多的邊和角，根據題目列出對應的正余弦定理的關系式，能較快解出BD的長度.【題目詳解】根據題意，以點A為原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系。過點B作垂直AC交AC于點E，則,又因為在中，,所以,,故.【題目點撥】本題主要考查學生對于正余弦定理的掌握，將幾何問題轉化為坐標系下的問題是解決本題的關鍵.14、或1【解題分析】

對方程的兩根分成實根和虛根兩種情況討論，再利用韋達定理和求根公式分別求解．【題目詳解】當△時，，；當△時，，故答案為：或1．【題目點撥】此題考查實系數二次方程根的求解，考查分類討論思想的運用，求解的關鍵在于對判別式分大于0和小于0兩種情況．15、【解題分析】

由題意可知，點在曲線內，點在圓上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【題目詳解】由題意知，點在曲線內，點在圓上，如下圖所示：由三角不等式得，當點為正方形的頂點，且點、方向相反時，取最大值，故答案為.【題目點撥】本題考查復數模的最值，解題時充分利用三角不等式與數形結合思想進行求解，能簡化計算，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.16、【解題分析】，∴，由余弦定理得，∴，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）【解題分析】

（1）由一元二次不等式可解得集合．根據對數的真數大于0可得,將其轉化為一元二次不等式可解得集合,從而可得．畫數軸分析可得．（2）將是的必要條件轉化為．分析可得關于的不等式組,從而可解得的范圍．【題目詳解】（1）集合，因為．所以函數，由，可得集合．或，故．（2）因為是的必要條件等價于是的充分條件，即，由，而集合應滿足>0，因為，故，依題意就有：，即或，所以實數的取值范圍是．考點：1集合的運算;2充分必要條件．18、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據題設條件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通項公式．（2）利用數學歸納法的證明步驟對這個猜想加以證明．詳解：（1）根據數列滿足，當時，，即；當時，，即；同理，由此猜想；（2）當時，，結論成立；假設（為大于等于1的正整數）時，結論成立，即，那么當（大于等于1的正整數）時，∴，∴，即時，結論成立，則.點睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由，即可得面，即可證明平面平面；（2）過作，垂直為，以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）．求得平面的法向量為．則，即可求出與平面所成角的正弦值．【題目詳解】（1）在中，，又，，平面則平面，從而，又，，則平面又平面，從而平面平面.（2）過作，垂足為，由（1）知平面.以為原點，為軸正方向如圖建立空間直角坐標系.不妨設，則，.則，設為平面的一個法向量，則，令，則，設，則故與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題主要考查線面垂直，面面垂直判定定理的應用，以及利用向量法求直線與平面所成角的大小，意在考查學生的直觀想象能力和數學運算能力．20、（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值1．【解題分析】分析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線方程與拋物線方程聯立消去y，根據判別式大于0求得和，根據曲線1y=x2上任意一點斜率為y′=，可得切線AM和BM的方程，聯立方程求得交點坐標，求得和，進而可求得的結果為0，進而判斷出AB⊥FM．（2）利用（1）的結論，根據的關系式求得k和λ的關系式，進而求得弦長AB，可表示出△ABM面積．最后根據均值不等式求得S的范圍，得到最小值．詳解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點F（0，1），準線方程為y=﹣1，顯然AB斜率存在且過F（0，1）設其直線方程為y=kx+1，聯立1y=x2消去y得：x2﹣1kx﹣1=0，判別式△=16（k2+1）＞0，x1+x2=1k，x1x2=﹣1.于是曲線1y=x2上任意一點斜率為y′=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中1y1=x12，1y2=x22，聯立方程易解得交點M坐標，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）,從而=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命題得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而1y1=x12，1y2=x22，則x22=，x12=1λ，|FM|=因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y=﹣1的距離，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=．于是S=|AB||FM|=，由≥2知S≥1，且