浙江省金華市金華第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

浙江省金華市金華第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)的過程中，由到時(shí)，不等式的左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)C．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)3．現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票（其中3張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為（）A． B． C． D．4．一個(gè)停車場有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種5．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．6．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．107．如圖所示，在一個(gè)邊長為2.的正方形AOBC內(nèi)，曲和曲線圍成一個(gè)葉形圖陰影部分，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是（）A． B． C． D．8．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則()A． B． C． D．9．已知、是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．10．已知(為虛數(shù)單位)，則A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足方程，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．12．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若f(x)+fA．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,1) D．(1,+∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是__________（填序號）．①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是；②某水文站觀測到一天中珠江的水位；③西部影視城一日接待游客的數(shù)量；④閱海大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是.14．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為______．15．的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點(diǎn)，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若在處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.20．（12分）已知函數(shù)(其中a，b為常數(shù)，且，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求的解析式；(2)若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點(diǎn)，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，⊥平面且.(1)求證：平面⊥平面；(2)若設(shè)與平面所成夾角為，且，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】，虛部為．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的定義．2、C【解題分析】解：n=k時(shí)，左邊="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k時(shí)，左邊="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故選C3、C【解題分析】試題分析：將5張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有種不同的取法，若活動(dòng)恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎(jiǎng)票，第四次抽到最后一張中獎(jiǎng)票．共有種取法，∴考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式4、B【解題分析】

分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【題目詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車可以停進(jìn)4個(gè)停車場，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法

若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，

綜上,共有12種方法，

所以B選項(xiàng)是正確的.本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.5、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【題目詳解】∵復(fù)數(shù)（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝﹣1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

先作出約束條件表示的平面區(qū)域，令，由圖求出的范圍，進(jìn)而求出的最大值.【題目詳解】作出可行域如圖：令，由得，點(diǎn)；由得，點(diǎn)，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大值為4，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最小值為，所以的最大值為8.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生的作圖能力與數(shù)形結(jié)合的思想.7、C【解題分析】

欲求所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率，須結(jié)合定積分計(jì)算葉形圖（陰影部分）平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式求解．【題目詳解】聯(lián)立得.由圖可知基本事件空間所對應(yīng)的幾何度量，滿足所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部所對應(yīng)的幾何度量：（A）．所以（A）．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了幾何概型及定積分在求面積中的應(yīng)用，考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8、D【解題分析】

隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,

,

答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對稱性是解決問題的關(guān)鍵.9、C【解題分析】

設(shè)為邊的中點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，因?yàn)檎切蔚倪呴L為，所以有，進(jìn)而解得答案?！绢}目詳解】因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)在雙曲線上，設(shè)中點(diǎn)為，則，,因?yàn)檎切蔚倪呴L為，所以有，整理可得故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義及離心率，解題的關(guān)鍵是由題意求出的關(guān)系式，屬于一般題。10、B【解題分析】

由題得，再利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算得解.【題目詳解】由題得，故答案為：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.11、D【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到z，由實(shí)部與虛部的和為1，可求得的值．詳解：因?yàn)樗砸驗(yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為即所以所以選D點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

不等式的exfx<1的解集等價(jià)于函數(shù)g(x)=exf(x)圖像在y=1下方的部分對應(yīng)的x的取值集合，那就需要對函數(shù)g(x)=exf(x)的性質(zhì)進(jìn)行研究，將fx+f'x【題目詳解】解：令g(x)=因?yàn)閒所以，(故g故gx在R又因?yàn)閒所以，g所以當(dāng)x>0，gx<1，即e故選B.【題目點(diǎn)撥】不等式問題往往可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題求解，函數(shù)圖像問題有時(shí)借助函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性等）進(jìn)行研究，有時(shí)還需要構(gòu)造新的函數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②【解題分析】

利用離散型隨機(jī)變量的定義直接求解．【題目詳解】①③④中的隨機(jī)變量的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機(jī)變量；②中隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量．故答案為：②【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的定義的合理運(yùn)用，比較基礎(chǔ)．14、-1【解題分析】

分子分母同時(shí)乘以，進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化．【題目詳解】，其虛部為-1【題目點(diǎn)撥】分母實(shí)數(shù)化是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是一道基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中項(xiàng)的系數(shù).詳解：的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，，展開式項(xiàng)的系數(shù)為故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.16、1【解題分析】由雙曲線可知a>0，且焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故實(shí)數(shù)a＝1.點(diǎn)睛：如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解題分析】

求導(dǎo)并設(shè)出切點(diǎn)，建立方程組，解出即可；

（?。┣髮?dǎo)得，令，則函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，由此建立不等式組即可求解；

（ⅱ）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，且，故，通過換元令，可得，令，由導(dǎo)數(shù)研究其最值即可．【題目詳解】（1）由得，所以切點(diǎn)為，代入，即，得.（2），，（ⅰ）由題意知方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，可得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（ⅱ）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，由（?。┲?，)，當(dāng)，，所以，則在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，故，，令，由得，記，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，所以在上的取值集合為.因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，主要是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，當(dāng)有多個(gè)變量時(shí)，首先應(yīng)該想到的是減少變量個(gè)數(shù)，即降元思想，本題屬于較難題目．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數(shù)與相切于點(diǎn)，切線即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)，表達(dá)函數(shù)的切線方程，表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數(shù)，則，，.所以，.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；∴∴的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.19、（1）（2）函數(shù)在上遞增，在上遞減【解題分析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)，值為0，解得.（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)橛?，依題有，解得．（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得，（舍）當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減；所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的切線，函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、(1)(2)【解題分析】試題分析：（1）把點(diǎn)代入函數(shù)的解析式求出的值，即可求得的解析式．（2）由（1）知在上恒成立，設(shè)，利用g（x）在上是減函數(shù)，能求出實(shí)數(shù)m的最大值．試題解析：(1)由題意得(2)設(shè)在上是減函數(shù)在上的最小值因?yàn)樵谏虾愠闪⒓吹盟詫?shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法．21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)，求出長，寫出的坐標(biāo)．求出相應(yīng)向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對值．由向量的數(shù)量積運(yùn)算易求．【題目詳解】（1）過D作平行線DH，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖，在中，，，，，交于點(diǎn)，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設(shè)平面BEF的法向量為，所以，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，所以=.【題目點(diǎn)撥】本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，思維量很少，解法固定．22、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）根據(jù)已知可得和，由線面垂直判定定理可證平面，再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，設(shè)，以為原點(diǎn)，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量的垂直條件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求的值.解法二：三垂線法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，過點(diǎn)F做FM⊥EC于M，連OM，由已知可以證明FO⊥面AEC，∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角，通過菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面積法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，根據(jù)已知條件計(jì)算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【題目詳解】（1）證明：連結(jié)四邊形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：設(shè)，四邊形是菱形，，、為等邊三角形，，是的中點(diǎn)，，⊥平面，，在中有，，，以為原點(diǎn)，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則所以，，設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)二面角的為，則結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1連接AC交BD于O，連接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，F(xiàn)O=EO=,EF=2,EO2+FO2=EF2,∴F