高三第一輪復習-3.1任意角與弧度制

第三章三角函數(shù)第1講任意角與弧度制及任意角三角函數(shù)第一課時任意角考綱要求考綱研讀1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化．3．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.任意角α的三角函數(shù)只與角α的大小有關．2．能根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值．3．能判斷不同三角函數(shù)在各個象限的符號.一、任意角1、角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．2、角的分類：〔1〕按角的旋轉(zhuǎn)方向，可分為：①正角：射線按逆時針旋轉(zhuǎn)所形成的角②負角：射線按順時針旋轉(zhuǎn)所形成的角③零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，形成的圖形〔2〕按終邊位置，可分為：①象限角：置角的頂點為____，角的始邊為____，那么角的終邊落在第幾象限就是第幾象限角。

xyo始邊終邊

終邊終邊終邊1)置角的頂點于原點終邊落在第幾象限就是第幾象限角2)始邊重合于X軸的正半軸終邊

ⅠⅡ

ⅢⅣ①象限角〔引例推導〕①象限角：A、第一象限角表示的集合為：B、第二象限角表示的集合為：C、第三象限角表示的集合為：D、第四象限角表示的集合為：②象限界角：假設角的終邊在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限，它稱為象限界角。A1、終邊落在x正半軸的角的集合為：A2、終邊落在x負半軸的角的集合為：A3、終邊落在x軸的角的集合為：B1、終邊落在y正半軸的角的集合為：B2、終邊落在y負半軸的角的集合為：B3、終邊落在y軸的角的集合為：C、終邊落在坐標軸的角的集合為：3、終邊相同的角：終邊與角α相同的角，可寫成S＝________

{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}xyo3003900-33003900=300+3600－3300=300－3600=300+1x3600

=300－1x3600

300==300+0x3600300+2x3600,300－2x3600

300+3x3600,300－3x3600…,…,與300終邊相同的角的一般形式為300＋KX3600，K∈Z與ａ終邊相同的角的一般形式為ａ＋Kｘ3600，K∈ZS={β|β=

a+kx3600,K∈Z}3、終邊相同的角〔引例推導〕二、根底練習：1、〔1〕寫出銳角的集合；〔2〕寫出第一象限的集合；〔3〕銳角和第一象限角有何關系？第一象限角一定是銳角嗎？反之，成立嗎？〔4〕類比以上過程，說明鈍角和第二象限角的關系？2、寫出〔1〕終邊落在直線ｙ＝ｘ上的角的集合?！?〕終邊落在直線ｙ＝-ｘ上的角的集合。3、給出以下四個命題，正確的個數(shù)有__個。①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．【題型一】：角的集合表示及象限角的判定【例1-1】：(1)寫出與－1840°終邊相同的角的集合M；(2)把－1840°的角寫成k·360°＋α(0°≤α＜360°)的形式；(3)假設角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α.【總結】在0°到360°范圍內(nèi)找與任意一個角終邊相同的角時，可根據(jù)實數(shù)的帶余除法進行．因為任意一個角α均可寫成k·360°＋α1(0°≤α1＜360°)的形式，所以與α角終邊相同的角的集合也可寫成{β|β＝k·360°＋α1，k∈Z}．如此題M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}．由此確定[－360°，360°]范圍內(nèi)的角時，只需令k＝－1和0即可．【例1-2】、假設α是第二象限的角,試分別確定2α,α/2,α/3的終邊所在位置.解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°〔k∈Z〕.〔1〕∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°〔k∈Z〕，∴2α是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.〔2〕∵k·180°+45°＜α/2＜k·180°+90°〔k∈Z〕，當k=2n〔n∈Z〕時，n·360°+45°＜α/2＜n·360°+90°；當k=2n+1〔n∈Z〕時，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.∴α/2是第一或第三象限的角.〔3〕∵k·120°+30°＜α/3＜k·120°+60°〔k∈Z〕，當k=3n〔n∈Z〕時，n·360°+30°＜α/3＜n·360°+60°；當k=3n+1〔n∈Z〕時，n·360°+150°＜α/3＜n·360°+180°；當k=3n+2〔n∈Z〕時，n·360°+270°＜α/3＜n·360°+300°.∴α/3是第一或第二或第四象限的角.【例1-3】、《三維設計》P53,例1〔2〕【例1-4】、《三維設計》P53,以題試法：1〔2〕四、總結〔一〕、今天講了哪些內(nèi)容？1、角的概念：2、角的分類：〔1〕按角的旋轉(zhuǎn)方向，可分為：①正角：射線按逆時針旋轉(zhuǎn)所形成的角②負角：射線按順時針旋轉(zhuǎn)所形成的角③零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，形成的圖形〔2〕按終邊位置，可分為：①象限角：A、第一象限角表示的集合為：②象限界角：3、終邊相同的角：終邊與角α相同的角，可寫成S＝________〔二〕今天涉及到的思想方法有哪些？{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}五、作業(yè)一、交：〔一〕必做：1、寫出終邊落在直線y=-x的角的集合。2、假設α是第三象限的角,試分別確定2α,α/2的終邊所在位置.二、不交：1、《三維設計》P53，考點一2、《課時跟蹤檢測》P235，12、復習《必修4》P6~15第二課時弧度制一、復習〔一〕、上一節(jié)課講了哪些內(nèi)容？1、角的概念：2、角的分類：〔1〕按角的旋轉(zhuǎn)方向，可分為：①正角：射線按逆時針旋轉(zhuǎn)所形成的角②負角：射線按順時針旋轉(zhuǎn)所形成的角③零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，形成的圖形〔2〕按終邊位置，可分為：①象限角：A、第一象限角表示的集合為：②象限界角：3、終邊相同的角：終邊與角α相同的角，可寫成S＝________〔二〕上一節(jié)課涉及到的思想方法有哪些？{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}二、知識點1、1弧度的角：長度等于_____________所對的圓心角2、規(guī)定：正角的弧度數(shù)為_____，負角的弧度數(shù)為_____，零角的弧度數(shù)為____3、弧度制：用弧度作為單位來度量角的單位制。注意：弧度制的單位是弧度或rad，可以省略，比方1rad可寫成1，但是角度制的單位是°，不能省略。4、角α的弧度數(shù)的絕對值：|α|＝__(其中l(wèi)是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r是圓的半徑〕。5、角度制與弧度制的換算：1rad=_____°【根底訓練1】把以下角度換算成弧度，或弧度換算成角度：〔1〕36°；〔2〕-150°；〔3〕1095°；〔4〕-7/6π〔5〕2/3180°＝___rad；π1°＝______rad≈0.01745rad；

π180半徑長的弧正數(shù)負數(shù)零6、特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)的對照表〔要求：記住〕：7、弧長公式和扇形的面積公式：〔1〕弧長公式：l=_____(注意：單位制是_______)〔2〕扇形的面積公式：S=

0o30o45o60o90o180o270o

0

43223

|α|·r

弧度制

二、根底練習：1、〔見《三維設計》P52，小題能否全?。?〕弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為____,面積為____.三、題型二：扇形的弧長和面積公式【例2-1】〔見《三維設計》P54，例3〕〔1〕扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角?！?〕扇形周長是40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？(一)今天講了哪些知識？1、1弧度的角：長度等于_____________所對的圓心角2、規(guī)定：正角的弧度數(shù)為_____，負角的弧度數(shù)為_____，零角的弧度數(shù)為____3、弧度制：4、角α的弧度數(shù)的絕對值：5、角度制與弧度制的換算：

半徑長的弧正數(shù)負數(shù)零四、小結五、作業(yè)二、不交：1、《課時跟蹤檢測》P235，2,102、復習《必修4》第三課時任意角的三角函數(shù)(一)上節(jié)課講了哪些知識？1、1弧度的角：長度等于_____________所對的圓心角2、規(guī)定：正角的弧度數(shù)為_____，負角的弧度數(shù)為_____，零角的弧度數(shù)為____3、弧度制：4、角α的弧度數(shù)的絕對值：5、角度制與弧度制的換算：

半徑長的弧正數(shù)負數(shù)零一、復習二、新課〔任意角的三角函數(shù)〕1、三角函數(shù)的定義：設α是一個任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離是r(r＞0)，那么(1)比值—叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝____.(2)比值—叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝____.(3)比值—叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝_____.

y r x r y x【根底練習1】角α的終邊上任意一點P(-3，4),sinα,cosα,tanα∴sinα

=4/5,cosα=-3/5,

tanα=-3/4其中r=【題型三】三角函數(shù)的定義【例1-1】角α的終邊在直線3x+4y=0上，sinα,cosα,tanα的值?？偨Y：角α的終邊所在直線方程，那么可①先設終邊上一點的坐標，②再求出詞典到原點的距離r，③最后根據(jù)三角函數(shù)的定義求相關問題。注意：假設角α的終邊落在一直線上，一般要分類討論?！纠?-2】(11江西)(《三》P54,高)角α終邊上一點P〔4，y〕,且，那么y=______.【變式1-1】見《三維設計》P54,以題試法2；P55，針對訓練【例1-3】(11課標)角α終邊在直線y=2x上，那么cos2α=____2、三角函數(shù)在各象限的符號：(1)、根據(jù)三角函數(shù)的定義，在()內(nèi)判斷對應的三角函數(shù)值在各象限的符號：(2)、總結：三角函數(shù)正值口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)、根底練習：〔見下頁〕()()()()sinα=()+-+-()()()()cosα=()+-+-()()()()tanα=()+-+-在第一象限內(nèi)，r_0,x_0,所以sinα_0。同理可得，其它象限的符號

2、三角函數(shù)在各象限的符號：3、終邊相同的角的各三角函數(shù)之間的關系：〔1〕與角α終邊相同的角可表示為________由三角函數(shù)的定義，其三角函數(shù)值________，即公式：〔2〕公式：cos(2kπ+α)=_____sin(2kπ+α)=_____tan(2kπ+α)=_____〔3〕結論：終邊相同的角的同名三角函數(shù)______〔4〕作用：利用此公式，可以將求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2π〔或0°~360°〕的角的三角函數(shù)。比方：求tan(-672°〕，可以轉(zhuǎn)化為tan______?〔5〕【根底訓練】求值：①sin(-660°)；②cos(7π/3)cos

αβ＝α＋k·360°，k∈Z不變sin

αtan

α50°相等終邊相同點的坐標相同同一函數(shù)值相同原因：4.幾個特殊角的三角函數(shù)值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度數(shù)sinαcosαtanα〔要求：默寫并懂得使用〕第四課時單位圓與三角函數(shù)線理解角α的正弦線?余弦線?正切線,可以用有向線段來表示角α的三角函數(shù)值,會作出角的三角函數(shù)線.一、復習導入1、三角函數(shù)的定義：設α是一個任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離是r(r＞0)，那么(1)比值—叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝____.(2)比值—叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝____.(3)比值—叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝_____.

y r x r y x特別的，當r=1時，sinα=___;cosα=___;tanα=___;其中r=2、單位圓：一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓此時，點P的坐標為(__,__)3.有向線段的概念：帶有方向的線段叫有向線段；有向線段的數(shù)值由其長度大小和方向來決定。如在數(shù)軸上，|OA|=3，|OB|=3有向線段=3有向線段OB=3二、三角函數(shù)線設角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標為，即，其中cosα＝，sinα＝，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，那么tanα＝.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的、、.(cosα，sinα)P(cosα，sinα)OMMPAT余弦線正弦線正切線P(cosα，sinα)P(x,y)P(x,y)對于三角函數(shù)線,要結合以下圖弄清以下幾點:1.三角函數(shù)線的位置:正弦線為α的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段,余弦線在x軸上;正切線在過單位圓與x軸正方向的交點的切線上.三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi),一條在單位圓外.

2.三角函數(shù)線的方向:正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點,余弦線由原點指向垂足;正切線由切點指向與α終邊或其反向延長線的交點.

3.三角函數(shù)值的正負:三條有向線段與x軸或與y軸同向那么為正值,與x軸或與y軸反向那么為負值.

如果角α的終邊在坐標軸上,就要注意考慮特殊情況.1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。三、根底練習2-1、MP,OM,AT分別是60°角的正弦線,余弦線,正切線,那么一定有()

A.MP<OM<ATB.OM<MP<AT

C.AT<OM<MPD.OM<AT<MP

解析:作圖易知.

答案:B

2-2、〔10天津〕比較a=sin5π/7，b=cos2π/7，c=tan2π/7的大?。篲____<______<_______

3、〔09重慶〕比較a=sin11°，b=cos10°，c=sin168°的大?。篲____<______<_______

題型二求角α的范圍

4、在單位圓中畫出適合以下條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.

(1)sinα≥

(2)cosα≤分析:先作出sinα 和cosα 時角α的終邊,然后結合圖形解不等式.解:(1)作直線 交單位圓于A?B,連結OA?OB,那么OA與OB圍成的區(qū)域(陰影局部)即為角α的終邊的范圍.

故滿足條件的角α的集合為

{α|2kπ ≤α≤2kπ k∈Z}.

(2)作直線x=-交