成都二十中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精成都二十中2012—2013學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘總分：150分一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分．1．下列說法正確的是(C）A、三點確定一個平面B、四邊形一定是平面圖形C、梯形一定是平面圖形D、平面α和平面β有不同在一條直線上的三個交點2．空間的一個基底所確定平面的個數(shù)為（C）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個以上3．已知a、b、c為三條不重合的直線，下面有三個結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c則b⊥c；③若a∥b,b⊥c，則a⊥c。其中正確的個數(shù)為(B)A．0個B．1個C．2個D．3個4．一個正方體的展開圖如圖所示,A、B、C、D為原正方體的頂點,則在原來的正方體中(D）A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°5．下列命題中錯誤的是（D）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直線l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β6．下圖是一幾何體的三視圖(單位：cm)，則這個幾何體的體積為(B）A．1cm3B．3cm3C．2cm37．斜二測畫法中，邊長為a的正方形的直觀圖的面積為(D)A．a(chǎn)2B。eq\f(\r(2），2）a2C.eq\f（1，2)a2D.eq\f(\r(2）,4)a28、已知空間三點A(0,2,3），B（－2,1,6），C(1,－1,5)．若|a｜＝eq\r(3），且a分別與eq\o（AB，\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→）)垂直，則向量a為(C）A．（1，1,1）B．（－1，－1，－1）C．（1,1,1)或（－1,－1，－1)D．(1,－1，1）或（－1，1，－1）9．已知直線m、n和平面α、β，若α⊥β,α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是(B）A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α11．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB，\s\up6(→)）·eq\o（CD，\s\up6(→）)＋eq\o（AC，\s\up6(→))·eq\o（DB,\s\up6(→））＋eq\o（AD,\s\up6(→)）·eq\o（BC,\s\up6(→））的值為(A)A．0B.eq\f(\r(3),2）C．1D．無法確定11.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC,AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD,則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是（D)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC12．球O的球面上有四點S、A、B、C,其中O、A、B、C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S－ABC的體積的最大值為(D）A．1B.eq\f（1,3）C。eq\r（3）D.eq\f（\r（3），3)二、填空題（每小題4分，共16分)13已知a＝（－2,1，3)，b＝（－1,2，1），若a⊥(a－λb），則實數(shù)λ的值為214、等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是大于（填“大于、笑語或等于")。15．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，若E,F分別為線段A1D1，CC1三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟17．（本小題滿分12分)在四棱錐P－ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點，BG＝2GD，eq\o(PA，\s\up6(→)）＝a,eq\o(PB,\s\up6(→）)＝b,eq\o(PC,\s\up6（→))＝c，試用基底｛a，b,c}表示向量eq\o(PG，\s\up6（→））.[解析］∵BG＝2GD，∴eq\o（BG,\s\up6（→)）＝eq\f（2,3)eq\o（BD,\s\up6（→））.又eq\o（BD,\s\up6(→)）＝eq\o（BA，\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→））＝eq\o（PA,\s\up6（→)）－eq\o(PB,\s\up6(→）)＋eq\o(PC,\s\up6(→））－eq\o(PB，\s\up6（→）)＝a＋c－2b,∴eq\o(PG,\s\up6（→)）＝eq\o（PB,\s\up6（→））＋eq\o(BG，\s\up6（→))＝b＋eq\f（2,3)（a＋c－2b）＝eq\f(2,3）a－eq\f(1,3）b＋eq\f（2,3）c。18．（本小題滿分12分)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．(1）求證：BE∥平面PAD；(2）若AP＝2AB，求證:BE⊥平面PCD。[解析］(1)取PD的中點F，連結(jié)AF，F(xiàn)E,又∵E是PC的中點，∴在△PDC中，EF∥DC,且EF＝eq\f（DC,2），由條件知AB∥DC，且AB＝eq\f（DC,2），∴EF綊AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，又AF?平面PAD,BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD。（2）由（1)FE∥DC，BE∥AF,又∵DC⊥AD，DC⊥PA,∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF,在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F(xiàn)為PD的中點，∴AF⊥PD,又AF⊥EF且PD∩EF＝F,∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF,∴BE⊥平面PDC。yzNBCC11B11AA1yzNBCC11B11AA11Mx棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A(1）求的長；(2）求的值.解：以C為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系,（1）B（0,1，0），N（1，0，1），∴（2）∴,且，∴。20．如圖，已知四棱錐P－ABCD,側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形,底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°.（1)證明：∠PBC＝90°；（2)若PB＝3,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．[解析]（1）取AD中點O,連OP、OB，由已知得：OP⊥AD,OB⊥AD，又OP∩OB＝O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB,∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A（1，0,0)，B（0，eq\r(3)，0），C(－1,eq\r（3)，0)，由PO＝BO＝eq\r(3),PB＝3，得∠POB＝120°,∴∠POz＝30°，∴P（0，－eq\f（\r（3),2),eq\f（3,2))，則eq\o（AB,\s\up6（→)）＝(－1，eq\r（3),0），eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，0,0），eq\o（PB,\s\up6（→））＝(0,eq\f(3\r(3),2），－eq\f(3，2))，設(shè)平面PBC的法向量為n＝（x，y，z)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－x＝0,\f（3\r(3）,2)y－\f（3,2）z＝0)）,取z＝eq\r（3)，則n＝(0，1,eq\r(3）），設(shè)直線AB與平面PBC所成的角為θ，則sinθ＝｜cos〈eq\o(AB,\s\up6（→))，n〉｜＝eq\f（\r（3),4）.21．如圖，為圓的直徑，點、在圓上，,矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，。（1)求證：平面;（2）設(shè)的中點為，求證：平面；（3）設(shè)平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為，,求．(1)證明：平面平面，，平面平面=，平面，平面，又為圓的直徑，,平面。(2）設(shè)的中點為，則,又，則，為平行四邊形，，又平面，平面，平面。(3)過點作于，平面平面，平面，,平面，，．22．已知矩形ABCD中，,將ΔABD沿BD折起，使點A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上，E、F、G分別為棱BD、AD、AB的中點。（I）求證：DA⊥平面ABC；（II)求點C到平面ABD的距離；（III)求二面角G-FC-E余弦值的大小。解:如圖，以CB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點C，平面BDC方向向上