高中數(shù)學(xué)定理公式

高中數(shù)學(xué)概念、公式、定理匯編函數(shù)一．函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性1.如果函數(shù)y=f(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,則奇函數(shù)<===>f(x)=f(x)<===>f(x)+f(x)=0;偶函數(shù)<===>f(x)=f(x)<===>f(x)f(x)=0.2.在公共定義域內(nèi):兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù);3.研究函數(shù)的單調(diào)性,首先必須弄清它的定義域;4.判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法是:1、定義法，2、導(dǎo)數(shù)法,5.用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性,首先必須弄清復(fù)合關(guān)系,再用"同增(或同減)者增;一增一減、一減一增者減".二.一次函數(shù)、二次函數(shù)1.一次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是:y=kx+b(k≠0),圖象是直線,當(dāng)k>0時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)k<0時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)b=0時(shí),直線過(guò)原點(diǎn),稱之為正比例函數(shù),是奇函數(shù).2.二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是:y=ax2+bx+c(a≠0),其圖象是開(kāi)口向上(或下)的拋物線,對(duì)稱軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是O'(,).3.求二次函數(shù)表達(dá)式的方法主要是待定系數(shù)法,標(biāo)準(zhǔn)形式(一般形式):y=ax2+bx+c(a≠0).頂點(diǎn)式:,其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為.兩點(diǎn)式:y=a(xx1)(xx2),其中x1,x2為圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).三.冪函數(shù)、指函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)1.冪函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是:(其中是自變量,為常數(shù)),①當(dāng)為正有理數(shù)時(shí),圖象過(guò)(0,0)和(1,1)兩個(gè)點(diǎn),在>0時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)為負(fù)有理數(shù)時(shí),圖象都過(guò)(1,1)一個(gè)點(diǎn),在>0時(shí)單調(diào)遞減;②所有冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限;2.指數(shù)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是:y=ax(a>0且a≠1),定義域?yàn)镽,值域?yàn)?1時(shí),單調(diào)遞增;0<a<1時(shí),單調(diào)遞減.3.對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是:y=logax(a>0且a≠1),定義域?yàn)?值域?yàn)镽;a>1時(shí),單調(diào)遞增;0<a<1時(shí),單調(diào)遞減.4.對(duì)數(shù)恒等式換底公式5．對(duì)數(shù)運(yùn)算法則6．指數(shù)冪運(yùn)算法則四.函數(shù)圖象1、函數(shù)作圖的一般步驟：確定函數(shù)定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)，分析函數(shù)，確定作圖方法。分析函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等。確定函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，如曲線的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等；確定函數(shù)圖象的關(guān)鍵線，如對(duì)稱軸、漸近線等。2、函數(shù)作圖的常用方法：運(yùn)用基本函數(shù)的圖象作圖；視函數(shù)為方程作圖；變換作圖；平移變換：的圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位，向上平移b（b>0）個(gè)單位得的圖象；的圖象向右平移a(a>0)個(gè)單位，向下平移b（b>0）個(gè)單位得的圖象。伸縮變換：的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)閎（b>0）倍,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k(k>0)倍，所得圖象的函數(shù)解析式為。對(duì)稱變換：(1).函數(shù)y=f(x)的圖象與它的反函數(shù)y=的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱;(2).函數(shù)y=f(x)的圖象分別與y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的圖象關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,(3).函數(shù)y=｜f(x)｜的圖象是保留y=f(x)的圖象在x軸上方(包括x軸上的點(diǎn))的部分,再加上把y=f(x)的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱得到的圖形.(4).y=f(｜x｜)的圖象是在x≥0時(shí)的區(qū)間上y=f(x)的圖象,再加上在x<0的區(qū)間上將右邊的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱所得的圖形;(5)對(duì)于函數(shù)y=f(x)：若對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x值，都有f(a+x)=f(ax)或f(2ax)=f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；若對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x值，都有f(a+x)+f(ax)=2b或f(2ax)+f(x)=2b，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱；函數(shù)y=f(xa)與函y=f(ax)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.五.函數(shù)的值域或最值1．求函數(shù)的值域(最值),必須重視函數(shù)的定義域,解應(yīng)用問(wèn)題時(shí),在目標(biāo)函數(shù)后必須寫清定義域;2．求函數(shù)的值域(或最值)的常用方法主要是:(1)直接觀察;(2)用二次函數(shù)的最值公式;(3)用實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的判別式;(4)求反函數(shù)的定義域;(5)配方法;(6)利用已知基本初等函數(shù)的值域,如:｜sinx｜≤1,ax>0(a>0且a≠1)等;(7)用均值不等式(注意:正,定,等三條缺一不可);(8)用已知函數(shù)的單調(diào)性求,如:二次函數(shù),三角函數(shù),函數(shù)y=ax(a>0,b>0,x>0)在(0,)上單調(diào)遞減,在[,+∞)上單調(diào)遞增,(需證);(9)換元法.有代數(shù)換元和三角換元兩種,前者要注意新元的范圍,后者要使變?cè)?角)的范圍最小;(10)數(shù)形結(jié)合,注意發(fā)現(xiàn)條件和目標(biāo)函數(shù)隱含的幾何意義.六、函數(shù)與方程1．方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。2．零點(diǎn)存在性定理：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的，且，那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)。三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)1．角的概念（1）角度與弧度的互化:1°=弧度←180°=π弧度→1弧度=（2）弧長(zhǎng)公式:=││r;扇形面積公式:s=r=││r2（3）所有與終邊相同的角都可以寫成=+·360°(∈Z)或=+2π(∈Z)的形式.2．三角函數(shù)定義:任意角終邊上的一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為r(r>0),則sin=cos=tan=3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：tan=sin+cos=14．誘導(dǎo)公式：sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tansin()=sincos()=costan()=tansin()=sincos()=costan()=tansin(2)=sincos(2)=costan(2)=tansin()=coscos()=sinsin(+)=coscos(+)=sin5．兩角和與差的三角函數(shù)：sin()=sincoscossincos()=coscossinsintan()=tan()=6．二倍角的三角函數(shù)：sin2=2sincoscos2=cossin=2cos1=12sintan2=8．化一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)公式:其中的輔助角所哪個(gè)象限由點(diǎn)(,b)的象限決定,的值由tan=確定.9.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)名稱y=sinxy=cosxy=tanx圖象奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T=2πT=2πT=π單調(diào)區(qū)間增[2kπ-,2kπ+]減[2kπ+,2kπ+]增[2kπ+,2kπ+2]減[2kπ,2kπ+]增（kπ-,kπ+）對(duì)稱性對(duì)稱軸x=kπ+對(duì)稱中心（kπ,0）對(duì)稱軸x=kπ對(duì)稱中心（kπ+,0）對(duì)稱中心（,0）最大值x=2kπ+時(shí)，y=1x=2kπ時(shí)，y=1無(wú)最小值x=2kπ-時(shí)，y=-1x=2kπ+時(shí)，y=-1無(wú)周期函數(shù)f(x+T)=f(x),(T是不為零的常數(shù)),其中nT都是f(x)的周期(n∈Z,n0)(2)周期:y=Asin(ωx+ψ)+m及y=Acos(ωx+ψ)+m的周期T=y=Atan(ωx+ψ)+m的周期T=（3）三角函數(shù)的變換作圖.主要掌握以下幾種基本變換:y=sinxy=sin(x+ψ)y=sin(ωx+ψ)(ω>0)y=sinxy=sin(ωx)y=sin(ωx+ψ)(ω>0)二、解三角形1.三角形內(nèi)角和A+B+C=π;2.有關(guān)斜三角形的幾個(gè)結(jié)論(1)正弦定理:.(2)余弦定理:由此可知:當(dāng)時(shí)C>90°;當(dāng)時(shí)C<90°.(3)面積公式:S=absinC=bcsinA=acsinB=不等式一．不等式性質(zhì)1．對(duì)稱性a>bb<a2．傳遞性a>b,b>ca>c3．加法a>ba+c>b+ca>b,c>da+c>b+d4．乘法a>b,c>0ac>bca>b,c<0ac<bca>b>0,c>d>05．乘方a>b>0,nNa>b6．開(kāi)方a>b>0,nN7．倒數(shù)a>b,ab>0二．均值不等式（基本不等式）1．a(chǎn),bRa+b2ab2．a(chǎn),bRa+b2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào)）3．a(chǎn),b，cRa+b+c3abc4．a(chǎn),b，cRa+b+c3（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),取等號(hào)）5．a(chǎn),bR（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào)）三.絕對(duì)值不等式1．<aa<x<a;>ax>a或x<a(a>0)七．不等式的解法1．一元一次不等式，一元二次不等式；（其中）2．指數(shù)不等式的解法：當(dāng)a.>1時(shí)，；當(dāng)0<a<1時(shí),3．對(duì)數(shù)不等式的解法：f(x)>0當(dāng)a.>1時(shí)，g(x)>0f(x)>g(x)f(x)>0當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)>0f(x)<g(x)6．注意換元法在解不等式中的運(yùn)用：如解不等式(logx)+3logx4>0數(shù)列一．等差數(shù)列、等比數(shù)列1．定義和等價(jià)形式等差數(shù)列：，，，等比數(shù)列：，2．通項(xiàng)與求和公式等差數(shù)列：等比數(shù)列：3．等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)4．性質(zhì)等差數(shù)列：（1）（2）m+n=p+q（3）也成等差數(shù)列（4）若{an},{bn}是等差數(shù)列,Sn,Tn分別為{an},{bn}的前n項(xiàng)和,則等比數(shù)列：（1）（2）m+n=p+q（3）也成等比數(shù)列一般數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系式一般數(shù)列的前n項(xiàng)和求法（1）公式法①分解為等差數(shù)列或等比數(shù)列，分組求和②利用已知公式，如（2）裂項(xiàng)法求和:適用于通項(xiàng)是分式形式的數(shù)列;如:;;（3）錯(cuò)位相減法求和:適用于通項(xiàng)an=bn·cn,其中{bn}是等差數(shù)列,{cn}是等比數(shù)列;如:求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析幾何直線數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：若點(diǎn)，點(diǎn)P分有向線段成定比λ，則：λ==；==4、直線斜率的定義式為，兩點(diǎn)式為k=5、直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式：，斜截式：兩點(diǎn)式：截距式：一般式：7、點(diǎn)到直線的距離：8、兩條平行線的距離是二．圓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：(r>0)圓的一般方程是：其中，半徑是，圓心坐標(biāo)是三．圓錐曲線1、橢圓的定義：（1）（2）（0<e<1）2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：和。3、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，其中5、雙曲線的定義：（1）（2）（e>1）6、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：和7、雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，漸近線方程是，其中9、與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是10、拋物線的定義：（拋物線的離心率e=1）11、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：(p>0)12、拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線方程是：；若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：，過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦（稱為通徑）的長(zhǎng)是：13、若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為；極坐標(biāo)互化公式：2、圓心在點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程是：3、中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓參數(shù)方程是：（為參數(shù)）求軌跡方程的常見(jiàn)類型及其解法直接法：直接列方程，化簡(jiǎn)；定義法：先判斷軌跡是何種曲線，再求方程；代入法（坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法）：將所求軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到已知曲線上；參數(shù)法：引入?yún)?shù)，建立參數(shù)方程立體幾何一、有關(guān)平行的證明1、線∥線⑴公理4⑵⑶⑷l1∥l2l1∥αα∥βl1∥l3l1∥l2l1∥l2l1∥l2l2∥l3α∩β=l2線∥線線∥線線∥面線∥線面∥面線∥線同垂直于一個(gè)平面線∥線2、線∥面⑴⑵α∥βa∥αa∥βa∥b線∥線線∥面面∥面線∥面3、面∥面⑴⑵α∥βα∥βa∥αb∥β線∥面面∥面同垂直于一直線面∥面二、有關(guān)垂直的證明1、線⊥線⑴⑵⑶a∥b三垂線定理⊥射影⊥斜線平面內(nèi)直線逆定理⊥斜線⊥射影（線⊥面線⊥線）（線⊥線線⊥線）2、線⊥面⑴⑵⑶⑷a∥bα∥β(線⊥線線⊥面)3、面⊥面（線⊥面面⊥面）三．位置關(guān)系空間直線的位置關(guān)系有三種：a∥b（２）（３）a，b是異面直線２、空間直線與平面的位置關(guān)系有三種：（１）（２）（３）a∥α３、空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：（１）α∥β（２）七．面積與體積1、面積公式：（-底面周長(zhǎng)，-直截面周長(zhǎng)，-高，-斜高，-側(cè)棱長(zhǎng)或母線長(zhǎng)，-底面半徑，R-球的半徑）直棱柱側(cè)面積：斜棱柱側(cè)面積：正棱錐側(cè)面積：圓柱側(cè)面積：圓錐側(cè)面積：正棱臺(tái)側(cè)面積：球的表面積：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的圓心角公式：（弧度）2、體積公式：，，特別地，：圓錐體：，復(fù)數(shù)一.復(fù)數(shù)的概念:復(fù)數(shù)相等:復(fù)數(shù)的模：=平面向量與空間向量1．坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則.3．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)，則λ，4．向量的數(shù)量積：定義：.坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè),則向量在上的射影：||cos，其中為和的夾角5．重要定理、公式:平面向量的基本定理如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使兩個(gè)向量平行（共線）的充要條件設(shè)，則兩個(gè)非零向量垂直的充要條件設(shè)，則線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且，則概率與統(tǒng)計(jì)1．等可能事件的概率P（A）=（m為A中所含基本事件數(shù)，n為基本事件總數(shù)）2．若事件A、B為互斥事件,則P（A+B）=P（A）+P（B）3．若事件A、B為相互獨(dú)立事件,則P（A·B）=P（A）·P（B）4