小學(xué)奧數(shù) 組合的基本應(yīng)用（二）

7-5-2.組合的基本應(yīng)用（二）

削磔4山舉目掘

1.使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；

2.了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；

3.掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；

4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；

通過本講的學(xué)習(xí)，對組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合

技巧，如排除法、插板法等.

一、組合問題

日常生活中有很多“分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某

項(xiàng)活動等等.這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的

問題.

一般地，從“個不同元素中取出加個元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從“個不同元

素中取出機(jī)個元素的一個組合.

從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān).如果兩個組合中的元素完

全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的

組合.

從〃個不同元素中取出“個元素（加4〃）的所有組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出〃?個不同元素的

組合數(shù).記作C：.

一般地，求從〃個不同元素中取出的"個元素的排列數(shù)與'可分成以下兩步：

第一步：從“個不同元素中取出機(jī)個元素組成一組，共有C；種方法；

第二步：將每一個組合中的m個元素進(jìn)行全排列，共有成種排法.

根據(jù)乘法原理，得到琛=C：■成.

因此，組合數(shù)=蟲=.

"琛w（w-D-（w-2）--3-21

這個公式就是組合數(shù)公式.

二'組合數(shù)的重要性質(zhì)

一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：C?=C；；-,H（w<rt）

這個公式的直觀意義是：c;表示從“個元素中取出，九個元素組成一組的所有分組方法.c；”‘表示從"個

元素中取出（〃-m）個元素組成一組的所有分組方法.顯然，從〃個元素中選出機(jī)個元素的分組方法恰是從〃個

元素中選加個元素剩下的（〃-m）個元素的分組方法.

例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C；=C>

規(guī)定C；=l,端=1.

模塊一、組合之幾何問題

【例1】在一個圓周上有10個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫出多少不同的：

(1)直線段；⑵三角形；⑶四邊形.

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】由于10個點(diǎn)全在圓周上，所以這1()個點(diǎn)沒有三點(diǎn)共線，故只要在10個點(diǎn)中取2個點(diǎn)，就可以畫出一

條線段；在10個點(diǎn)中取3個點(diǎn)，就可以畫出一個三角形；在10個點(diǎn)中取4個點(diǎn)，就可以畫出一個四

邊形，三個問題都是組合問題.

由組合數(shù)公式：,

(1)可畫出。-%殷2=45(條)直線段.

￥2x1

<

(2)可畫出《-H出史@=120(個)三角形.

3x2x1

(3)可畫出C力=凱愕于仍個嚴(yán)邊形.

【答案】(DC；)=45⑵=120(3)C,1=210

【鞏固】平面內(nèi)有10個點(diǎn)，以其中每2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答

【解析】這道題不考慮線段兩個端點(diǎn)的順序，是組合問題，實(shí)際上是求從10個元素中取出2個元素的組合數(shù),

由組合教公式，G：=U==45,所以以10個點(diǎn)中每2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有45條.

102x1

【答案】45

【鞏固】在正七邊形中，以七邊形的三個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答

【解析】三角形的形狀與三個頂點(diǎn)選取的先后順序無關(guān)，所以這是一個組合問題，實(shí)際上是求從7個點(diǎn)中選

出3個點(diǎn)的選法，等于仁=乙3￡=35(種).

73x2x1

【答案】C；=35

［例2］平面內(nèi)有12個點(diǎn)，其中6點(diǎn)共線，此外再無三點(diǎn)共線.

(1)可確定多少個三角形？⑵可確定多少條射線？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】(1)分三類：

①有2個頂點(diǎn)在共線的6點(diǎn)中，另1個頂點(diǎn)在不共線的6點(diǎn)中的三角形有

5

6xC；=6x—=90^:

2x1

②有1個頂點(diǎn)在共線的6點(diǎn)中，另2個頂點(diǎn)在不共線的6點(diǎn)中的三角形有

-6x5

6xC；=6x—^=90(個)；

2x1

③3個頂點(diǎn)都在不共線的6點(diǎn)中的三角形有屐=6><5-4=20個.

63x2x1

根據(jù)加法原理，可確定90+90+20=200個三南形.

(2)兩點(diǎn)可以確定兩條射線，分三類：

①共線的6點(diǎn)，確定10條射線；

②不共線的6點(diǎn)，每兩點(diǎn)確定兩條射線，共有2x亡=2x~=30(條)射線；

2x1

③從共線的6點(diǎn)與不共線的6點(diǎn)中各取一個點(diǎn)可以確定6x6x2=72（條）射線.

根據(jù)加法原理，可以確定10+30+72=112（條）射線.

【答案】（1）200（2）112

【鞏固】如圖，問：⑴圖1中，共有多少條線段?

圖1

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答

【解析】（1）在線段回上共有7個點(diǎn)（包括端點(diǎn)A、B）.注意到，只要在這七個點(diǎn)中選出兩個點(diǎn)，就有

一條以這兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，所以，這是一個組合問題，而C；表示從7個點(diǎn)中取兩個不同點(diǎn)

的所有取法，每種取法可以確定一條線段，所以共有C；條線段.

7x6

由組合數(shù)公式知,共有3=21（條）不同的線段;

*22x1

⑵從。點(diǎn)出發(fā)的射線一共有11條，它們是。A,OP},OP2,OP3,,OR,.注意到每兩

條射線可以形成一個角，所以，只要看從11條射線中取兩條射線有多少種取法，就有多少個角.顯

然，是組合問題共有種不同的取法，所以，可組成c：個角.

共有C：=聾=暇^=55（個）不同的角.

由組合數(shù)公式知

【答案】⑴C；=21⑵=55

模塊二、組合之應(yīng)用題

【例3】6個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答

【解析】這與課前挑戰(zhàn)的情景是類似的.因?yàn)閮蓚€人握手是相互的，6個朋友每兩人握手一次，握手次數(shù)只

與握手的兩個人的選取有關(guān)而與兩個人的順序無關(guān)，所以這是個組合問題.

由組合數(shù)公式知，底=吧=15（次）.所以一共握手15次.

2x1

【答案】15

【鞏固】某班畢業(yè)生中有2（）名同學(xué)相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會大家一共握了多少次手？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答

【解析】《=迎丑=190（次）.

202x1

【答案】片=190

【例4］學(xué)校開設(shè)6門任意選修課，要求每個學(xué)生從中選學(xué)3門，共有多少種不同的選法？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答

【解析】被選中的3門排列順序不予考慮，所以這是個組合問題.

由組合數(shù)公式知，屐=6.5x4=20（種）.

63x2x1

所以共有2（）種不同的選法.

【答案】Cl=20

［例5］有2克，5克，20克的硅碼各1個，只用祛碼和一架已經(jīng)調(diào)節(jié)平衡了的天平，能稱出________種

不同的質(zhì)量。

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第5題

【解析】第一大類：感碼只放一邊。共有G+《+《=3+3+l=7或者23—1=7（種）；第二大類：兩邊都

放祛碼。再分類：兩邊各放一個，共有C；種；一邊放兩個一邊放一個有C；或者種。所以這一大

類共有短+《=3+3=6（種）。根據(jù)加法原理，共能稱出7+6=13（種）不同的質(zhì)量。

【答案】13種

【例6】工廠某日生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中有2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件進(jìn)行檢查，問：

（1）一共有多少種不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少種？

（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少種？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】（1）從10件產(chǎn)品中抽出3件，抽法總數(shù)為C2=120（種）

（2）3件中恰好一件次品，那么還有兩件正常品.

抽法總數(shù)為C；xC；=56（種）

（3）與“至少有一件是次品”互補(bǔ)的事件是“全都不是次品”

全都不是次品的抽法總數(shù)為C；=56（種）

所以至少有一件次品的抽法總數(shù)為120-56=64（種）.

【答案】（1）120（2）56（3）64

[例7]200件產(chǎn)品中有5件是次品，現(xiàn)從中任意抽取4件，按下列條件，各有多少種不同的抽法（只要求

列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品.

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】第⑴題：與順序無關(guān)；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件.第⑵題：與順序無關(guān)：至少

有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四類情況，次品共5件.可用直接法

解答，也可用間接法解答.第⑶題：與順序無關(guān)；不都是次品，即至少有1件是正品.

⑴都不是次品，即全部為正品.

共有抽法G\種.

⑵至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情況.

共有抽法+G2G+C95G+C）種（或（C4）—二）種）.

⑶不都是次品，即至少有1件正品.

共有抽法??+心容+CMC+。）種（或（酸-點(diǎn)）種）.

【答案】⑴《⑵（4-品5）⑶（4-仁）

【例8】某班要在42名同學(xué)中選出3名同學(xué)去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在42人中選3人站成

一排，有多少種站法？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】要在42人中選3人去參加夏令營，那么，所有的選法只與選出的同學(xué)有關(guān)，而與三名同學(xué)被選出的

順序無關(guān).所以，應(yīng)用組合數(shù)公式，共有Cl種不同的選法.

要在42人中選出3人站成一排，那么，所有的站法不僅與選出的同學(xué)有關(guān)，而且與三名同學(xué)被選出

的順序有關(guān).所以，應(yīng)用排列數(shù)公式，共有鹿種不同的站法.

由組合數(shù)公式，共有C；?=%=42義4"40=11480（種）不同的選法：

E3x2x1

由排列數(shù)公式，共有成=42x41x40=68880（種）不同的站法.

【答案】鹿=68880

【例9】將三盤同樣的紅花和四盤同樣的黃花擺放成一排，要求三盤紅花互不相鄰，共有種不同

的方法.

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯，1試

【解析】因?yàn)槿P紅花不能相鄰，所以可以先將四盤黃花擺好，紅花只能擺在黃花之間或者黃花的兩邊.這

樣共有5個空，每個空最多只能放一盤紅花，相當(dāng)于從5個元素中取出3個，所以共有

或=絲丑=10種不同的放法.

51x2x3

【答案】C；=10

【例10］在一次合唱比賽中，有身高互不相同的8個人要站成兩排，每排4個人，且前后對齊.而且第二

排的每個人都要比他身前的那個人高，這樣才不會被擋住.一共有多少種不同的排隊(duì)方法？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答

【解析】因?yàn)樗腥说纳砀邇蓛刹煌?，所以只要確定了位于同一列的兩個人是誰，也就確定了他們的前后關(guān)

系.所以排隊(duì)方法總數(shù)為：

C^xC^xC^=28x15x6=2520（種）.

【答案】2520

【例11】在一次考試的選做題部分，要求在第一題的4個小題中選做3個小題，在第二題的3個小題中選做2

個小題，在第三題的2個小題中選做1個小題，有多少種不同的選法？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答

【解析】由于選做的題目只與選取的題目有關(guān)，而與題目的順序無關(guān)，所以在三道題中選題都是組合問題.

、4x3x?

第一題中，4個小題中選做3個，有=二4（種）選法;

3x2x1

第二題中，3個小題中選做2個，有C；===3（種）選法；

2x1

7x1

第三題中，2個小題中選做1個，有C：=3'=2（種）選法.

一1

根據(jù)乘法原理，一共有4x3x2=24（種）不同的選法.

【答案】24

【例12】某年級6個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲、乙、丙三名數(shù)學(xué)老師任教，每人教兩個班，分派的方法有多少

種？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】分三步進(jìn)行：

第一步，取兩個班分配給甲，與先后順序無關(guān)，是組合問題，有猿===15（種）選法；

2x1

4x3

第二步，從余下的4個班中選取兩個班給乙，有C：=—^=6（種）選法：

2x1

第三步，剩余的兩個班給丙，有1種選法.

根據(jù)乘法原理，一共有15x6x1=90（種）不同的分配方法.

【答案】90

【例13】將19枚棋子放入5x5的方格網(wǎng)內(nèi)，每個方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個數(shù)均為奇數(shù)

個，那么共有種不同的放法.

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，初賽

【解析】5x5的方格網(wǎng)共有25個方格，放入19枚棋子，說明還有6個空格.由于棋子的數(shù)目較多，直接考

慮棋子比較困難，可以反過來考慮6個空格.由于每行每列的棋子個數(shù)均為奇數(shù)個，而每行每列都

有5個方格，說明每行每列的空格數(shù)都是偶數(shù)個.那么每行每列的空格數(shù)可能為0,2或4.如果有

某一行或某一列的空格數(shù)為4個，為保證每行每列的空格數(shù)都是偶數(shù)個，那么這4個空格所在的列

或行都至少還有另外1枚棋子，這樣至少有8個空格，與題意不符，所以每行每列的空格數(shù)不能為

4個，只能為0個或2個.則肯定是某3行和某3列中每行每列各有2個空格，如下：

□□o

□OQ

?？诳?/p>

其中□表示空格，。表示有棋子的方格，其它的方格則全部有棋子.

選擇有空格的3行3列有CxG=l°xl°=l0°種選法，在這3行3列中選擇6個空格（也相當(dāng)于每

行每列選擇1枚棋子)有3x2xl=6種選法，所以總共有100x6=600種不同的放法.

【答案】600

【例14］甲射擊員在練習(xí)射擊，前方有三種不同類型的氣球，共3串，有一串是紅氣球3個，有一串是黃

氣球2個，有一串是綠氣球4個，而且每次射擊必須射最下面的氣球，問有多少種不同的射法？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)射擊規(guī)則，任意一種打法都對應(yīng)三個紅色氣球，二個黃色氣球，四個綠色氣球，即9個物體的

排列，當(dāng)然有9x8x7x6x5x4x3x2x1種排列方法.

但是，其中三個紅色氣球是不能隨意排列的，應(yīng)該是固定由下到上的，而上面卻包括了它的隨意排

列的情況，所以應(yīng)該除以3x2x1,其他黃色氣球、綠色氣球依此類推.

所以共有射擊方:去：(9x8x7x6x5x4x3x2xl)+(3x2xl)+(2xl)+(4x3x2xl)

=(9x8x7x6x5x4)4-(2xl)-=-(4x3x2xl)=l260(種).

本題也可以這樣想：任意一種打法都對應(yīng)9個物體的排列，從中先選出3個位置給紅色氣球，有C；

種選法；這3個紅色氣球的順序是固定的，所以它們之間只有一種排列順序；再從剩下的6個位置

中選出2個給黃色氣球，有C；種選法；它們之間也只有一種排列順序；剩下的4個位置給綠色氣球，

它們之間也只有一種排列順序.所以，根據(jù)乘法原理，共有《xC；=1260種不同的射法.

【答案】1260

【例15】某池塘中有A、B、C三只游船，A船可乘坐3人，3船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3個成

人和2個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他

們5人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，所以兒童不能乘坐C船.

⑴若這5人都不乘坐C船，則恰好坐滿A、B兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在A船上，此

時A船上還必須有1個成人，有G=3種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在4、8兩船

上，則8船上有1個兒童和1個成人，1個兒童有=2種選擇，1個成人有C；=3種選擇，所以有

2x3=6種方法.故5人都不乘坐C船有3+6=9種安全方法；

⑵若這5人中有1人乘坐C船，這個人必定是個成人，有仁=3種選擇.其余的2個成人與2個兒童，

①若兩個兒童在同一條船上，只能在A船上，此時A船上還必須有1個成人，有C；=2種方法，所以

此時有3x2=6種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么8船上有1個兒童和1個成人，此時1個

兒童和1個成人均有=2種選擇，所以此種情況下有3x2x2=12種方法；故5人中有1人乘坐C船

有6+12=18種安全方法.

所以，共有9+18=27種安全乘法.

【答案】27

【例16】有藍(lán)色旗3面，黃色旗2面，紅色旗1面.這些旗的模樣、大小都相同.現(xiàn)在把這些旗掛在一個旗

桿上做成各種信號，如果按掛旗的面數(shù)及從上到下顏色的順序區(qū)分信號，那么利用這些旗能表示

多少種不同信號？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答

【解析】按掛旗的面數(shù)來分類考慮.

第一類：掛一面旗.從藍(lán)、黃、紅中分別取一面，可以表示3種不同信號；

第二類：掛兩面旗.按顏色分成：紅+黃(石=2種)：紅+藍(lán)(片=2種)；黃+籃(石=2種)；

黃+黃(1種)；藍(lán)+藍(lán)(1種)；共8種；

第三類：掛三面旗.按顏色分類：紅+籃+藍(lán)（C；=3種）；紅+黃+黃（C；=3種）；紅+黃+藍(lán)（H=6

種）；黃+黃+藍(lán)（C；=3種）；黃+藍(lán)+藍(lán)（C；=3種）；藍(lán)+藍(lán)+藍(lán)（1種）；共19種；

第四類：掛四面旗.按顏色分類：紅+黃+黃+藍(lán)（仁x2=12或6*+2=12種）；紅+黃+藍(lán)+藍(lán)

（C：x2=12或6+2=12種）；紅+藍(lán)+藍(lán)+藍(lán)（C：=4種）；黃+黃+籃+藍(lán)（C；xC；=6種）；黃

+藍(lán)+藍(lán)+藍(lán)（C：=4種），共38種；

第五類：掛五面旗.按顏色分類：紅+黃+黃+藍(lán)+藍(lán)（C；x0X。=30種）；紅+黃+藍(lán)+藍(lán)+藍(lán)

（C；x2xl=20種）；黃+黃+藍(lán)+藍(lán)+藍(lán)（《xC；=10種），共60種；

第六類：掛六面旗.紅+黃+黃+藍(lán)+藍(lán)+籃（C；xC；xC：=60種）.

根據(jù)加法原理，共可以表示3+8+19+38+60+60=188種不同的信號.

【答案】188

【例17】從1（）名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽.在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有3名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人.

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴恰有3名女生入選，說明男生有5人入選，應(yīng)為《X黨=14112種；

⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求.運(yùn)用包含與

排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：

味-C：）-C；＞xC=43758;

⑶4人必須入選，則從剩下的14人中再選出另外4人，有叱=1001種；

⑷從所有的選法種中減去這4個人同時入選的C；種：

C-或=43758-1001=42757.

⑸分三類情況：4人無人入選；4人僅有1人入選；4人中有2人入選，共：

黨+CxG：+第x比=34749.

【答案】⑴《X盤=14112種；

（2）或-a-xC=43758;

⑶品=1001種;

⑷品-C：=43758-1001=42757.

（5）第,+《xG[+戲x3=34749.

【例18]從4名男生，3名女生中選出3名代表.

（1）不同的選法共有多少種？

⑵“至少有一名女生”的不同選法共有多少種？

⑶“代表中男、女生都要有”的不同選法共有多少種？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答

7乂A乂5

【解析】⑴相當(dāng)于從7名學(xué)生中任意選3名，不同的選法有斕=；；；=35（種）.

（2）方法一：可以分成三類：

4Va

①選1名女生，選2名男生.由乘法原理，有C；C：=3x―^=18（種）選法；

2x1

②選2名女生，選1名男生.由乘法原理，有戲—x4=12（種）選法；

2x1

③選3名女生，男生不選，有1種選法.

根據(jù)加法原理，”至少有一名女生”的不同選法有18+12+1=31（種）.

方法二：先不考慮對女生的特殊要求，從從7名學(xué)生中任意選3名，有C：=―7x6匕x二5=35（種）選法;

3x2x1

考慮一個女生都不選的情況，則3名代表全產(chǎn)生于男生中，有《=4x3x2=4（種）選法,

3x2x1

所以，至少選一名女生的選法有35-4=31種，這種“去雜法”做起來也比較簡單.

⑶“代表中男、女生都要有”，可以分成兩類：

①1名男生，2名女生，由乘法原理，有C，C；=7=vx74=12（種）選法；

2x1

②2名男生，1名女生，由乘法原理，有C；?盤=3x—^=18（種）選法.

2x1

根據(jù)加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同選法共有12+18=30（種）.

【小結(jié)】選擇問題是組合問題中的一類常見問題，可根據(jù)具體情況從正面考慮或逆向求解，采用“去雜法”.

【答案】⑴=35（2）31（3）3（）

【鞏固】在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng),

按照下列條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

（4）既有主任，又有外科醫(yī)生.

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】4星【題型】解答

【解析】⑴先從6名內(nèi)科醫(yī)生中選3名，有科=6x5x4=20種選法;再從4名外科醫(yī)生中選2名，共有

63x2x1

4x4

C：=—^=6種選法.根據(jù)乘法原理，一共有選派方法20x6=12（）種.

2x1

用“去雜法”較方便，先考慮從10名醫(yī)生中任意選派5人，有2）=252種選派方

⑵9x7x6

5x4x3x2xl

法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況.由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只派外科

醫(yī)生.如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有=C：=6種選派方法.所以，一共有252-6=246種既有內(nèi)科醫(yī)

生又有外科醫(yī)生的選派方法.

⑶如果選1名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選4人，有2x（^=2x8x7x6x5=140種選派方法;

“4x3x2xl

Q7x6

如果選2名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選3人，有l(wèi)x《=lxx=種選派方法.根據(jù)

3x2x1

加法原理，一共有140+56=196種選派方法.

(4)分兩類討論：

①若選外科主任，則其余4人可任意選取，有仁=史業(yè)衛(wèi)3=126種選取方法；

4x3x2xl

②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法'’有

zz8x7x6x55x4x3x2

C7-C,=-----------------------=65種選取法.

54x3x2xl4x3x2xl

根據(jù)加法原理，一共有126+65=191種選派方法.

【答案】(1)120(2)246(3)196(4)191

【例19】在10名學(xué)生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音

響設(shè)備，今選派由6人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3人，安裝音響設(shè)備要3人，共有多少種

不同的選人方案？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】4星【題型】解答

【解析】按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類：

（1）兩人都不選派，有-----^=10（種）選派方法：

3x2x1

（2）兩人中選派1人，有2種選法.而針對此人的任務(wù)又分兩類：

5x4

若此人要安裝電腦，則還需2人安裝電腦，有。；=二上=10（種）選法，而另外會安裝音響設(shè)備的

2x1

3人全選派上，只有1種選法.由乘法原理，有10x1=10（種）選法；

若此人安裝音響設(shè)備，則還需從3人中選2人安裝音響設(shè)備，有C；=^—=3（種）選法，需從5人

2x1

中選3人安裝電腦，有C；=土二上=10（種）選法.由乘法原理，有3x10=30（種）選法.

3x2x1

根據(jù)加法原理，有10+30=40（種）選法；

綜上所述，一共有2x40=80（種）選派方法.

⑶兩人全派，針對兩人的任務(wù)可分類討論如下：

①兩人全安裝電腦，則還需要從5人中選1人安裝電腦，另外會安裝音響設(shè)備的3人全選上安裝

音響設(shè)備，有5x1=5（種）選派方案；

②兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設(shè)備，有《'仁=|4x券=60（種）選派方案：

③兩人全安裝音響設(shè)備，有3xC：=3x-----^=30（種）選派方案.

3x2x1

根據(jù)加法原理，共有5+60+30=95（種）選派方案.

綜合以上所述，符合條件的方案一共有10+80+95=185（種）.

【答案】（1）10（2）80（3）185

【例20】有11名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通.從

中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時

工作.問這樣的分配名單共可以開出多少張？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】4星【題型】解答

【解析】針對兩名英語、日語都精通人員（以下稱多面手）的參考情況分成三類：

⑴多面手不參加，則需從5名英語翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇，需從4名日語翻譯員

中選出4人，有1種選擇.由乘法原理，有5x1=5種選擇.

（2）多面手中有一人入選，有2種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：

如果參加英文翻譯，則需從5名英語翻譯員中再選出3人，有C；==10種選擇,需從4名

3x2x1

日語翻譯員中選出4人，有1種選擇.由乘法原理，有2x10x1=20種選擇；

如果參加日文翻譯，則需從5名英語翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇，需從4名日語翻

譯員中再選出3名，有C；=C：=4種選擇.由乘法原理，有2x5x4=40種選擇.根據(jù)加法原理，

多面手中有一人入選，有20+40=60種選擇.

（3）多面手中兩人均入選，對應(yīng)一種選擇，但此時又分三種情況：

①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個語種.

5x4

情況①中，還需從5名英語翻譯員中選出2人，有點(diǎn)—=10種選擇.需從4名日語翻譯員中

2x1

選4人，1種選擇.由乘法原理，有1x10x1=10種選擇.

情況②中，需從5名英語翻譯員中選出4人，有仁=C；=5種選擇.還需從4名日語翻譯員中選

出2人，有C：=—^=6種選擇.根據(jù)乘法原理，共有1x5x6=30種選擇.

2x1

情況③中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇.剩下的需從5名英語翻譯員中選出3人，

有一=二-=10種選擇,需從4名日語翻譯員中選出3人，有仁=（7：=4種選擇.由乘法原

3x2x1

理，有1x2x10x4=80種選擇.

根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有1（）+30+80=12（）種選擇.

綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出5+60+120=185張.

【小結(jié)】組合問題中出現(xiàn)“多面手”時，往往“多面手”是進(jìn)行分類討論的對象，這樣可以簡化問題.

【答案】（1）5（2）60（3）185

【鞏固】某旅社有導(dǎo)游9人，其中3人只會英語，2人只會日語，其余4個既會英語又會日語.現(xiàn)要從中選6

人，其中3人做英語導(dǎo)游，另外3人做日語導(dǎo)游.則不同的選擇方法有多少種？

【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】4星【題型】解答

【解析】此題若從“多面手'’出發(fā)來做，不太簡便，由于只會日語的人較少，所以針對只會日語的人討論，分

三類：

（1）只會日語的2人都出場，則還需1個多面手做日語導(dǎo)游，有4種選擇.從剩下的只會英語的人和

多面手共6人中選3人做英語導(dǎo)游，有戲=6x5x4=20種選擇.

3x2x1

由乘法原理，有4x20=80種選擇.

(2)只會日語的2人中有1人出場，有2種選擇.還需從多面手中選2人做日語導(dǎo)游，有C；=士二=6

2x1

Sx4x3

種選擇.剩下的只會英語的人和多面手共5人中選3人做英語導(dǎo)游，有C：==10種選擇.

53x2x1

由乘法原理，有2x6x10=120種選擇.

⑶只會日語的人不出場，需從多面手中選3人做日語導(dǎo)游，有C：=C：=4種選擇.

剩下的只會英語的人和多面手共4人中選3人做英語導(dǎo)游，有=C：=4種選擇.

由乘法原理，有4x4=16種選擇.根據(jù)加法原理，不同的選擇方法一共有80+120+16=216種.

【小結(jié)】當(dāng)"多面手''的數(shù)量較多時，對“多面手''分類討論.問題反倒不簡單了.那么.此時應(yīng)靈活選擇數(shù)量

較少的一類元素討論(如本題中的會日語的導(dǎo)游).做題時要根據(jù)具體問題靈活處理.

【答案】⑴20(2)120(3)216

7-5-2.組合的基本應(yīng)用(二)

*舊￥額第目掘

.___

1.使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；

2.了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；

3.掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；

4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；

通過本講的學(xué)習(xí)，對組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合

技巧，如排除法、插板法等.

一、組合問題

日