（課標(biāo)全國版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 第11講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 （講）原卷版+解析

第11講函數(shù)模型及其應(yīng)用【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算【課標(biāo)解讀】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長特征，掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟．(重點(diǎn))2.了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對(duì)不同函數(shù)的圖象進(jìn)行比較．3.建立函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的)，要正確地確定實(shí)際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．【備考策略】從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)冷考點(diǎn)．預(yù)測(cè)2022年高考將主要考查現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)經(jīng)營、工程建設(shè)、企業(yè)的贏利與虧損等熱點(diǎn)問題中的增長或減少問題，以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)模型為主，考查考生建模能力和分析解決問題的能力.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同知識(shí)點(diǎn)二種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)【特別提醒】1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題例1.【2019·北京卷】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【方法技巧】(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．【變式探究】某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費(fèi)f(x)(單位：元)滿足關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0<x≤A，,C＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2020年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元【舉一反三】某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元高頻考點(diǎn)二構(gòu)建一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題例2.某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30－eq\f(5,2)R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A．[4，8] B．[6，10]C．[4%，8%] D．[6%，10%]【方法突破】(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題．【變式探究】如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．高頻考點(diǎn)三構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3．【2020·全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【方法技巧】(1)要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題．【變式探究】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年【舉一反三】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年高頻考點(diǎn)四構(gòu)建分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題例4.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))【方法突破】(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【變式探究】某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

第11講函數(shù)模型及其應(yīng)用【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算【課標(biāo)解讀】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長特征，掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟．(重點(diǎn))2.了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對(duì)不同函數(shù)的圖象進(jìn)行比較．3.建立函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的)，要正確地確定實(shí)際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．【備考策略】從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)冷考點(diǎn)．預(yù)測(cè)2022年高考將主要考查現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)經(jīng)營、工程建設(shè)、企業(yè)的贏利與虧損等熱點(diǎn)問題中的增長或減少問題，以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)模型為主，考查考生建模能力和分析解決問題的能力.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同知識(shí)點(diǎn)二種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)【特別提醒】1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題例1.【2019·北京卷】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15【解析】①x＝10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付元.②設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元，當(dāng)元時(shí)，李明得到的金額為，符合要求；當(dāng)元時(shí)，有恒成立，即，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?綜上，①130；②15.【方法技巧】(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．【變式探究】某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費(fèi)f(x)(單位：元)滿足關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0<x≤A，,C＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2020年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元【答案】A【解析】根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x>5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)×(20－5)＝11.5.【舉一反三】某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元【答案】D【解析】設(shè)毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當(dāng)p∈(0,30)時(shí)，L′(p)>0；當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，L′(p)<0.故L(p)在p＝30時(shí)取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)＝23000.高頻考點(diǎn)二構(gòu)建一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題例2.某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30－eq\f(5,2)R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A．[4，8] B．[6，10]C．[4%，8%] D．[6%，10%]【答案】A【解析】根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]．【方法突破】(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題．【變式探究】如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．【解析】(1)如圖，作PQ⊥AF于點(diǎn)Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}．(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝10，所以當(dāng)x∈[4,8]時(shí)，S(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米．高頻考點(diǎn)三構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3．【2020·全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因?yàn)镽0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為t1天，則eeq\s\up8(0.38(t＋t1))＝2e0.38t，所以eeq\s\up8(0.38t1)＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8(天)．故選B．【方法技巧】(1)要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題．【變式探究】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年【答案】B【解析】根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列{an}，其中，首項(xiàng)a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n－1>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)，又eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【舉一反三】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年【答案】B【解析】根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列{an}，其中首項(xiàng)a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n－1>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)，又eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.高頻考點(diǎn)四構(gòu)建分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題例4.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))【解析】(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20<x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，再由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)（200－x），20<x≤200.))(2)依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x（200－x），20<x≤200.))當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；當(dāng)20<x≤200時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x(200－x)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（200－x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(10000,3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)x＝100時(shí)，f(