新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

1．1.1空間向量及其運(yùn)算[課標(biāo)解讀]

1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程.3.了解空間向量投影的概念及投影向量的意義．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)

大小方向模長度長度2．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量叫做________，記為0單位向量________的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向________且模________的向量稱為相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量或平行向量有向線段所在的直線叫做向量的基線．如果空間中一些向量的基線________________，則這些向量叫做________或________零向量模為1相等相反相同相等同向等長互相平行或重合共線向量平行向量狀元隨筆平面向量的有關(guān)概念和約定，能否將它們從平面推廣到空間？[提示]只要去掉“在平面內(nèi)”的限定，平面向量的概念與約定都可以原封不動(dòng)地推廣到空間中．知識(shí)點(diǎn)二空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律空間向量的運(yùn)算加法減法數(shù)乘加法與數(shù)乘運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b＝b＋a；(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb狀元隨筆空間兩個(gè)向量的加減法與平面內(nèi)兩個(gè)向量的加減法完全一致嗎？[提示]完全一致．凡涉及空間兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們．知識(shí)點(diǎn)三空間向量的夾角如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，記作________．非零∠AOB〈a，b〉[0，π]互相垂直a⊥b知識(shí)點(diǎn)四兩個(gè)向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝________交換律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝________λ(a·b)b·aa·c＋b·c知識(shí)點(diǎn)五兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?________③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝________④|a·b|≤|a|·|b|a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2

基礎(chǔ)自測(cè)1.下列命題中，假命題是(

)A．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B．兩個(gè)相反向量的和為零向量C．只有零向量的模等于0D．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等答案：D解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的兩個(gè)向量稱為相反向量；任意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．

120°60°相等相反4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．120°

課堂探究·素養(yǎng)提升

答案：B

方法歸納(1)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件．(2)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問題的關(guān)鍵．

①②

(2)下列四個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若a，b滿足|a|>|b|且a，b同向，則a>b；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號(hào)為(

)A．①②③B．④C．③④

D．①④答案：B解析：對(duì)于①：長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；對(duì)于②：向量是不能比較大小的，故不正確；對(duì)于③：不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，故③錯(cuò)；只有④正確．題型2空間向量的加、減法運(yùn)算【思考探究】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則及向量減法的三角形法則有什么特點(diǎn)？[提示]

(1)空間中任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，因此，它們的加減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．(2)若兩個(gè)空間向量的始點(diǎn)相同，則這兩個(gè)向量即為平面向量．求這兩個(gè)向量之和時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮平行四邊形法則．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)，因此為便于記憶，常把這個(gè)和向量叫做“封口向量”，求空間中若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．

狀元隨筆一般地，起點(diǎn)相同三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？[提示]起點(diǎn)相同的三個(gè)不共面的向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量，也稱平行六面體法則．

(3)空間向量的減法運(yùn)算也可以看成是向量的加法運(yùn)算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，而平面向量滿足加法交換律，因此空間向量也滿足加法交換律．

狀元隨筆空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么？[提示]任意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣．方法歸納(1)空間向量夾角范圍同兩平面向量夾角范圍一樣，即[0，π].(2)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起．(3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．

答案：(1)60°

(2)120°

(3)180°

(4)120°

(5)60°

(6)120°

狀元隨筆根據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算，求出每組向量中每個(gè)向量的模以及它們的夾角，注意充分結(jié)合正四面體的特征．

(2)如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長都等于1，且彼此的夾角都是60°，求對(duì)角線AC1和BD1的長．

方法歸納1．利用數(shù)量積求異面直線所成角(或余弦值)的方法：2．求兩點(diǎn)間的距離或某條線段的長度的方法：先將此線段用向量表示，然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通過向量運(yùn)算去求|a|，即得所求距離．3．證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．4．證明與空間向量a，b，c有關(guān)的