重難點突破：初中數(shù)學(xué)動點問題7大類20小類全梳理

重難點突破：初中數(shù)學(xué)動點問題全梳理

動點問題一直是中考熱點題型，近幾年考察探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三

角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)值、線段或面積的最值問題等，

下面就此問題的常見題型作簡單介紹。

題型一動點形成的面積問題

1.面積公式：三角形面積用S=L來表示，利用未知數(shù)的代數(shù)式來表示底和高。

2

2.面積比等于相似比的平方：面積無法用底和高表示時，利用相似三角形的面積比

等于相似比的平方來求解，只需要知道相似比和另一個三角形面積即可表示。

3.相似三角形：當(dāng)面積公式和面積比等于相似比的平方不能有效解題時，利用相似

三角形的比例關(guān)系求解。

角度1：利用公式法解決動點面積問題

例題1：在平面直角坐標(biāo)系》。丫中，拋物線丁=--+桁+，經(jīng)過點43,0)和5(2,3).過

1

點A的直線與y軸的負(fù)半軸相交于點C,且tan/C40=§.JA

(1)求這條拋物線的表達(dá)式及對稱軸；

(2)連接45、BC,求NA8C的正切值；11'

(3)若點。在x軸下方的對稱軸上，當(dāng)5080=5必比時，求點。的坐標(biāo).

解析：⑴J，=-(X-1)2+4對稱軸直線x=l

⑵C=(O,-1),5(2,3),4(3,0)

ZBJC=90°tan乙48c=1

⑶過。作軸，交》軸于交/C于G，則HG=W

3

S“c=5又&皿=抑OG=5=DG=￥.?.￡>(1-4)

變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知點A的坐標(biāo)為（凡3）（其中a>4）,射

線0與反比例函數(shù)y=上的圖像交于點P,點B、C分別在函數(shù)y=匕的圖像上，且

xx

軸，AC〃y軸.

（1）當(dāng)點P橫坐標(biāo)為6,求直線A。的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)8。，當(dāng)A5=3O時，求點A坐標(biāo)；

（3）聯(lián)結(jié)BP、CP,試猜想：口?的值是否隨a的變化而變化？如果不變，求出

SAACPS^CP

解析：（1）???反比例函數(shù)y=上的圖像經(jīng)過橫坐標(biāo)為6的點P,???點尸的坐標(biāo)為（6,2）.設(shè)

X

直線A。的表達(dá)式為y=（4工0）.將點P（6,2）代入y=底，解得k=L

；?所求反比例函數(shù)的解析式為y=.

（2）???A8//X軸，.?.點8縱坐標(biāo)為3,將y=3代入y="，得x=4.坐標(biāo)為（4,3）.

X

'：AB=BO,：.a-A=7（4-0）2+（3-0）2.解得a=9.二點A坐標(biāo)為（9,3）.

、7

⑶不變.延長AB交y軸于點D延長AC交無軸于點E,

10

'.,點C坐標(biāo)為（〃，一）.**?S^CEO=6,同理/加0=6,

,?S必。O_S^DO=‘MEO_S〉CEO，即S^BO=SMCO.

???△ABP與aABO同高，.?.鼠叫=”.同理鳥g=理..?.名業(yè)=].

S^ABOA。SAACOA。Sgcp

即當(dāng)。變化時，鼠皿的值不變，且恒為1

q

變式2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條拋物線與X軸交于A、B兩點,與y軸交于C

點,其中8(3,0),C(0,4),點A在X軸的負(fù)半軸上，OC=4Q4；

(1)求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點坐標(biāo);

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,點P是x軸正半軸上一個動點，過點P作尸交射線AC

于點"，聯(lián)結(jié)CP，若ACPM的面積為2,則請求出點P的坐標(biāo);

評職加分用期刊論文發(fā)表，課題，證書辦理，代寫評比論文，普通話二級甲等

證書加微/p>

解析：(1)設(shè)這條拋物線的解析式為丁=以2+法+03工0)它的頂點坐標(biāo)為(1,日)

(2)過點P作垂足為H.

?./點在》軸的正半軸上，二設(shè)氏此0).：4(-1,0),「.24=》+1.

?在RrA40c中，OA2+OC2=AC2;又?.?04=1,OC^4：.AC=V17

ZPHA=90°sinZCAO=—="=二,PH=*二0

APx+1V17<17

BPCM

?：PMIIBCvM3,0),P(x,0)

ABAC

①點P在點8的左側(cè)時，BP=3-x,?=姿，CM=回二，

4V174

S.M=2:.--CM-PH^2,眄―),4、，=2解得x=1....尸(1,0)

△c224717

②點P在點8的右側(cè)時，BP=x-3,二二誓CM=

4V17眄4：一"

.j_-3)4(x+l)

S^PCM=2:.^-CM-PH=2

'24V17

解得％=1+20,赴=1-20(不合題意，舍去)

■-P(1+20,0).綜上所述，尸的坐標(biāo)為(1,0)或(1+20,0)

評職加分用期刊論文發(fā)表，課題，證書辦理，代寫評比論文，普通話二級甲

等證書加微/p>

角度2：利用面積比等于相似比的平方解決動點面積問題

例題2：如圖，已知在梯形A3QD中，AD//BC,AB=DC=5,AD=4.M、N分

別是邊AD.BC上的任意一點，聯(lián)結(jié)AN、ON.點E、F分別在線段AN、DN上，且

MEHDN,MF//AN,聯(lián)結(jié)EF.

(1)如圖1,如果EF〃BC,求E/7的長；

(2)如果四邊形MEN/的面積是AAQN的面積的°,求AM的長；

8

(圖1)

解析：(1),CADHBC,EF//BC,：.EF//AD.

又,：MEHDN,二四邊形EFDM是平行四邊形..\EF=DM.

同理可證，EF=AM.：.AM=DM.VAD=4,EF=AM=-AD=2.

2

35S65

c,c,c艮口彳導(dǎo)。AAME,。WMF_±

'"'"0四初0”加廣—Q°AADN',?0A4M￡十°tJ)MF~o°&ADN'1何7h一g，

88?MDNu4AZW?

s2

,:MEHDN,：.^AME^/\AND.：.^￡-AM

2

°sMDNAD

同理可證，△DMRsaONA.即得24=4/.

SiADNA°

設(shè)AM=X>則DM=AD—AM=4—x.?,?——+———^―=—.

16168

即得/_4》+3=0.解得x尸i,X2=3.；.AM的長為1或3.

變式3：已知直線4、12,乙〃4,點A是4上的點，B、C是4上的點，AC±BC,

ZABC=60°,AB=4,。是4?的中點，。是CB延長線上的點，將池。。沿直

線C。翻折，點。與￡>'重合.

(1)如圖1,當(dāng)點。落在直線6上時，求DB的長；

(2)延長。。交(于點E,直線O。分別交九、4于點M、N.

①如圖2,當(dāng)點E在線段AM上時，設(shè)AE=x,DN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其

定義域；②若旬CW的面積為?當(dāng)時，求AE的長.

2

解析

⑴寐結(jié)UZT,作LCDD'H

又4DC。=ZDCO=60°

/.Z.DCH=60°

???CD=CD'=4

/.BD=2

(2)ZDCO=ZD'CO=ZBOC=60=

AOBD=ZNCD'=120°

又ZODC="D'C

???4BODs4CND'

.??絲=我L即2=」

GVCD'2+x+yx+2

4

/.y=----x(0vx42)

’x

⑶53、=；￡>Nx。戶=：0

「?DN=3

當(dāng)點E在線段4M上時，DN=y=3

±-x=3,解?將,v=l(舍負(fù))

x

當(dāng)點E在線段延長線上時

同理可證，4BODs4CND'

.BOBD-2AE

??，=-----,pf7'一?=”.

CNCD'2+AE-3AE+2

解得、AE=4

練上、的箕為1或4

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變式4如圖1,在梯形ABCD中，AD//BC,對角線ACJ_3C,AD=4cm,

ZD=45°,3C=3cm.

(1)求cos/8的值；

(2)點E為BC延長線上的動點，點/在線段CD上(點尸與點。不重合)，且滿足

ZAFC^ZADE,如圖2,設(shè)BE=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)

的定義域；

(3)點E為射線上的動點，點/在射線8上，仍然滿足NAFC=NA￡>￡,當(dāng)&4ED

的面積為2cm②時，求3E的長.

解析：(1)AD//BC,ZACB^ZDAC.-：AC1BC,ZACB=90°./.

ZZMC=90°.VZ￡>=45°,ZACD^45°.：.AD^AC.-.'AD^4,AC=4.

VBC=3,..AB^yjAC2+BC2=5...cosZB=—=-.

AB5

(2)???ADUBC,：.ZADF=ADCE.

■：ZAFC=ZFDA+ZFAD,ZADE=ZFDA+ZEDC,

AnDF

又ZAFC=ZADE,ZFAD=ZEDC.:./SADF?\DCE：.—.

DCCE

在HMDC中，DC2=AD1+AC2,又AD=AC=4,，DC=4&.

4y72372.、°

二,BE=x,CE=x-3.DF=y,--.y=~^x——?定義域為3<x<11.

■,472x-322

(3)當(dāng)點E在BC的延長線上，由⑵可得：A4D尸?ADCE,.?.學(xué)好=(黑片

SWD=2,AD—4,DC-4-72,S&DCE=4.

=—xCExAC,—x{BE-3)x4=4,BE=5.

22

當(dāng)點E在線段6c上，同理可得：gx(3—6￡)x4=4.，晅=1.所以BE的長為5或1.

角度3:利用銳角三角比法解決動點面積問題

例題3：已知在平面直角坐標(biāo)系xoy(如圖)中，拋物線y=+》x+c經(jīng)過點4(4,0)、

點C(0,-4)，點B與點A關(guān)于這條拋物線的對稱軸對稱；

(1)用配方法求這條拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,求NAC3的正弦值；

(3)點P是這條拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為〃2(〃2>0),過點尸作y軸的

垂線P。，垂足為Q，如果NQPO=N3CO,求機(jī)的值；

解析:

⑴代人用4,0),C(0-4),得地物線解析式為了=1--才-4,

配方得y=g(xT)2_g,.,?頂點坐標(biāo)為［「彳)

⑵作OH_L4c于〃，

由已知，地物線對稱軸為直域x=1,故5(-2,0),AB=6\

由B=OC=4,則NCMC=45。，故△43H為等腰直角三角形;

因此石〃=/7=3&，又BC=4*+l=2岳>

仙2"更=嗎=亞;

故14BCH中,

BC24510

(3)RiZkgCC>中，tanNBCO=空=2=L,故見△(?產(chǎn)Q中，tanZQPO=^-=~-=^-,

OC42FQ%2

(1>1

故可設(shè)產(chǎn)［況士,%,分別代入地物線解析式y(tǒng)=5/一彳_4,

解得加=紅叵或加=土叵(舍去負(fù)值).

22

變式4：已知在平面直角坐標(biāo)系皿y中，拋物線y=o?+加+c(“>0)與x軸相交于

A(-1,0),8(3,0)兩點，對稱軸/與x軸相交于點C,頂點為點。，且NAOC的正切值

為L

2

(1)求頂點。的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的表達(dá)式；

(3)尸點是拋物線上的一點，且位于第一象限，聯(lián)結(jié)AE,若NE4C=NADC,求尸點

的坐標(biāo).

解析:(1)???拋物線與％軸相交于A(-1,0),5(3,0)兩點,

對稱軸/：直線尤=1,AC=2

?：ZACD=90°,tanZAOC=g,/.CD=4,Va>(),￡>(1,-4)

(2)設(shè)y=a(x-l)--4

將x=-l,y=0代入上式，得，a=l

所以，這條拋物線的表達(dá)為y=2x-3

(3)過點/作軸，垂足為點”

設(shè)網(wǎng)乂/一2》一3),"：ZFAC=ZADC,：.tanZFAC=tanZADC,

iFH1

VtanZADC=-,AtanZE4C=—=-

2AH2

v2_7V_Q1

?：FH=X2-2X-3,A//=X+1,-----------=-

x+12

解得/=-i(舍

鞏固1：如圖，在直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=?%2-2ax+c與x軸的正半軸相交于點

A、與y軸的正半軸相交于點B,它的對稱軸與x軸相交于點C,且NO3C=NQ4B,

AC=3.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)如果點。在此拋物線上，DF±OA,垂足為E。尸與線段A8相交于點G,

且5加?6：5小榜=3：2，求點。的坐標(biāo)?

解析：(1)?..拋物線y=or2_2or+c的對稱軸為直線》=一衛(wèi)=1,

a

：.OC=\,0A=0C+AC=4,...點A(4,0).

?：NOBC=/OAB,AtanZOAfi=tanZOBC,—

OAOB

1

2=3

：.OB=2,?,?點8(0,2),???

4OB0=\6a-8。+c,

c=2.

此拋物線的表達(dá)式為y=-

(2)由=3：2得。G：FG=3：2,DF：FG=5：2,

設(shè)OF=帆，WAF=4—m,DF=—m2+—tn+2,

42

山口徂FGAF4-m,1.1?c、.4一機(jī)

mFGHUB,得----，??FG----------,??(—m2H—m+2).--------=5.2,

OBOA2422

2

Am-7/H+12=0,mx-3,m2=4(不符合題意，舍去),

.??點。的坐標(biāo)是(3,-)

4

鞏固2：如圖，已知AABC與MOE都是等邊三角形，點。在邊AC上（不與4、C重合）,

DE與相交于點尸.

(1)求證：ABCD^AAMF；

(2)若8C=1,設(shè)CD=x,AF=y-

S7

①求》關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；②當(dāng)x為何值時，產(chǎn):二弓？

、4BCD9

(1)證明：；AABC與蝕?！?都是等邊三角形，ZA=NC=NB￡>E=60。

ZADF+ZBDE=ZC+ZDBC,二ZADF=ADBC，：.NBCDsM)AF

(2)ABCD^DAF,：.—=—

ADAF

1r

*.*BC=1,設(shè)C￡)=x,AF=y,/.-------=—,)；=x-x2(0<x<l)

1-xy

(3)解法一：???AABC與ABOE都是等邊三角形，

AZE=ZC=60°,ZEBD=ZCBA=60°,：.ZEBF=ZCBD

RFRFc

:.岫BFs&CBD,?:BE=BD,BC=l,ABE2=BF

BCBD

q_BE2_7

7?U&BEF.17，AF，

,:WBFsbCBD,?二一，??....■~~~~，BE=BF=二—，

SgCD9S&BCDBC2999

*e*X-X2=￡，解得玉=g,%21上或2時，S&BEF=1

=—，，當(dāng)X二

333SmCD9

解法二：:△ABC與AfiDE都是等邊三角形，

AZE=ZC=60°,NEBD=NCBA=g。，:.NEBF=NCBD

:ZBFSACBD,.?.^^=黑=1

S*G9SiBC-9

7

VBC=\,BE=BD,BD2=-

9

過點B作6H_LAC于點H,VZC=60°,/.BH=—9：.DH=~.CH=-

262

當(dāng)點。在線段CH上時，CD=CH-DH=L-L=L

263

11o

當(dāng)點。在線段C〃的延長線上時，CD=CH+DH=-+-=-

263

綜上所述，當(dāng)或2時，星空=2.

33S*D9

鞏固3：在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,點P是射線D4上一動點，將三角板直角

頂點重合于點P,三角板兩直角邊中的一邊始終經(jīng)過點C,另一直角邊交射線84于點E.

(1)判斷AE4尸與APOC一定相似嗎？請證明你的結(jié)論；

(2)設(shè)">=x,AE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域;

(3)是否存在這樣的點P,是華產(chǎn)周長等于八。。。周長的2倍？若存在，請求出PD

的長度；若不存在，請簡要說明理由.

解析：(1)AEAP^APDC

①當(dāng)P在AD邊上時，如圖(1)：?.?矩形ABC。，ZD=ZA=90,：.Zl+Z2=900

據(jù)題意NCPE=90；.Z3+Z2=90a,N1=N3,△EAPs△PDC

②當(dāng)P在邊上時，如圖(2)：同理可得

(2)若點尸在邊A。上，據(jù)題意：PD=xPA=6-xDC^4AE=y

2

p八AcmkEPAy6-x6x-x13

又△E1APs△PDC——/.—=----y------=—x~2H—x

'PDDC,x4,442

(0<x<6)

若點P在邊D4延長線上時，據(jù)題意PO=x,則B4=x—6,DC=4,AE=y,

2

..入l.cA.AEPA.yx-6.x-6x八

.AEAP^APDC..——=——=---；.y=-----(zx>6)

'PDDC,x4.4'7

(3)假如存在這樣的點尸，使4X4尸周長等于APDC的2倍

①若點P在邊AO上△E4P<-APDC：.C?p:Croc=(6-力:4(6-x):4=2,

.??x=-2不合題意舍去；②若點P在邊D4延長線上，同理得(％-6):4=2，x=14

綜上所述：存在這樣的點尸滿足題意，此時尸D=14

鞏固4：如圖，已知拋物線,=必2+加+。經(jīng)過點A(0,-4),點5(-2,0),點

C(4,0).

(1)求這個拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo)；

(2)已知點M在y軸上，/OMB+NOAB=ZACB,求點M的坐標(biāo).

解析：(1)；拋物線>=公2+區(qū)+。經(jīng)過點A(0,-4),點3(—2,0),點C(4,0)

1

Cl——

c=-42

???<4Q—2b+c=0解得方程組的解為<b=-i

16。+4。+c=0c=-4

...這個拋物線的解析式為：曠=3/一》一4頂點為(1,-1)

(2)如圖：取QA的中點，記為點N：Q4=OC=4,ZAOC=90°：.ZACB=45Q

,/點N是。A的中點,ON=2又OB=2；.OB=ON

又；NBON=9C：.ZONB=45Q：.NACB=NONB

???Z0MB+ZOAB=ZACBZNBA+ZOAB=ZONB：.ZOMB=ZNBA

1°當(dāng)點M在點N的上方時，記為Mi

/NBA=/OM\B,:AABNsAAM\B

ANAB又,：AN=2,AB=2也

~AB~AMx

.?.AM=10又：A(0,—4)AM,(0,6)

2°當(dāng)點M在點N的下方時，記為M2.點M\與點Mi關(guān)于x軸對稱，M2(0,-6)

綜上所述，點M的坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6)

題型二動點形成的相切問題

1.直線和圓相切：圓心到直線距離等于半徑

構(gòu)造直角三角形，利用三角比、勾股定理等來表示圓心到直線距離及半徑，建立等量關(guān)系

2.圓和圓相切：兩圓半徑和等于圓心距.

利用平行線分線段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相關(guān)線段，建立等量關(guān)系

角度4:直線與圓相切問題

例題4：如圖，在5c中，AB=AC=10,BC=12,點石、戶分別在邊3C、AC上(點

F不與點A、C重合)EF//?把A/WC沿直線￡尸翻折，點C與點。重合，設(shè)FC-x-

(1)求N3的余切值；

(2)當(dāng)點。在AA5c1的外部時，DE、。產(chǎn)分別交A8于M、N,若MN=y,求y關(guān)

于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；

(3)(下列所有問題只要直接寫出結(jié)果即可)

以E為圓心、3E長為半徑的OE與邊AC

①沒有公共點時，求x的取值范圍.

②一個公共點時，求x的取值范圍.

③兩個公共點時，求x的取值范圍.

解：(1)作AH_LBC，垂足為H，如圖1所示:

,?,AB=AC=10?BC=12>

BH=CH=6>

?,■^<102-62=8>

+RBH-

6=3.

c°F一S"

（2）如圖2所示：

EF〃AB，

.EC-FC

"BC~AC,

即匹=2_,

1210

國1

EC=—.v?

BE=12-9X，

5

???NCEF=NDEF，EF”AB，

ZBME=ZDEF，NCEF=NB，

NBME=NB，

.??ME=BE=12-1-.Y.

???DM=DE-ME=Wx-12,

3

EF*MN，

.DM-AIN

"~DE~'EF,

???y=2x-l。，(5<x<10)；

（3）①當(dāng)0<x<%或寸，0E與邊AC沒有公共點;

1oy

②當(dāng)x=警或W4x<5時，G）E與邊AC有一個公共點；

?lb

⑤當(dāng)5<x<U時，OE與邊AC有兩個公共點.

變式5：己知：矩形ABCD中，過點8作BG±AC交AC于點E,分別交射線AD于

F點、交射線于G點，BC=6.

(1)當(dāng)點尸為AO中點時，求AB的長；

(2)聯(lián)結(jié)AG,設(shè)45=樂5??=、，求V關(guān)于光的函數(shù)關(guān)系式及自變量》的取值范圍；

(3)是否存在x的值，使以。為圓心的圓與BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若

不存在，請說明理由.

解析：(1)?.?點產(chǎn)為AO中點，且A0406,；.4尸=3

?.?矩形A8CO中，ZABC=90Q,BG^AC于點E,；.NABE+NEBC=90°,

ZACZEBC-9O0；.NABE=NACB,：.AABF-ABCF,.?.竺=竺.?.壯3夜

BCAB

②當(dāng)尸點在線段延長線上時，DG=CD-CG=x——=-------

XX

33

14_x-36xx-36xz八

；?S/AFG=-AFCG=--一即y=---(x>6)

(3)過點D作DHA.BG于點H

以點D為圓心的圓與BC、BG都相切:.CD=DH：.NDBF=NCBD

矩形ABCD中，ZACB-ZCBD(

.?.RtABEC中，NACB+NCBD+NDBFWO。：.ZACB-300

.,.RtZ\A3C中，tanNAC8="^；.tan30°=—：.x=2-73

BC6

即當(dāng)x=26時，以點。為圓心的圓與BC、BG都相切.】

角度5:圓與圓相切問題；

例題5：如圖，已知AA5C中，AB-AC-5,8C=6,點0是邊8c上的動點，以點0為

圓心，0B為半徑作圓0，交邊AB于點￡＞，過點O作/\

ZODP=ZB'交邊AC于點尸，交圓。于點反設(shè)=

（1）當(dāng)點尸與點。重合時，求尸。的長；\/

（2）設(shè)AP—EP=y,求y關(guān)于》的函數(shù)解析式及定義域；

（3）聯(lián)結(jié)0P,當(dāng)OP_L8時，試判斷以點P為圓心，PC為半徑圓P與圓。位置關(guān)系.

解析：（1）?；AB=AC,：.ZB=ZACB,二4=180P-2NB；

VOD=OB,：.ZB^ZODB,又NODP=/B,

ZPDA^\S0P-2ZB；：.ZA=ZPDA^：.PD=AC=5.

（2）1°當(dāng)月在線段。P上時，過點A、O作AH_LBC、OG±DE,垂足為“、G.

在中，ZAHB=90°,.-.osB=-=-；在R/AOGO中，NOGD=90°,

CAB5

oA

cosZODG=-**.DG=ODcosZODG=OBcosB=-x;DE=2DG=-x;

OD55

由(1)得，PA=PD；PA—"=PO—"=OE；???y=￡x，定義域為竺.

56234

2。當(dāng)點￡在線段OP的延長線上時，可得y=625-192"定義域為經(jīng)vXV里.

352346

(3)過點4、C分別作CM1AB,垂足分別為“、M.

當(dāng)OP_LOO時，得APODsMHB；；.OD:OP:PD=3:4:5；；.OD=x,OP=-x

PD=-x;又AB?CM=AH?BC；：?CM="；

35

22

在R/AAMC中，ZAMC=90°,：.AM=^AC-CM=-；.-.CosA=^=—；

5AC25

「6

5----x

過點尸作PNLAB,垂足為N.在R/AAPN中，ZANP=90。，AN=—=

225

PA=PD=—%,cosA=AN=PA-cosA；即9一3%=3%*2；解得

325

33232

JOB—PC<OPvO3+PC；???圓P與圓O相交.

3

變式6：如圖，已知在RfAABC中，NACB=90°,cosB=—,BC=3,ZACB=90°,

P是射線AB上的一個動點，以P為圓心，出為半徑的。P與射線AC的另一個交點

為。，直線尸。交直線于點E.

（1）當(dāng)44=1時，求CE的長；

（2）如果點P在邊AB的上，當(dāng)0尸與以點。為圓心，CE為半徑的。。內(nèi)切時，

求。P的半徑；

（3）設(shè)線段BE的中點為Q,射線PQ與。P相交于點F,點P在運動過程中，當(dāng)PEHCF

時，求AP的長.

B

'E

（備用圖1）

解析：（1）作PH，AC,垂足為H,???PH過圓心，??.AH=D”

3

VZACB=90°,J.PH//BC,VcosB=-,BC=3,：.AB=5,AC=4

5

PH1.3..4

■:PH〃BC,：.；,----=—?,PH=—，,,AH=DH=—

BCAB,35,55

34

,?8上,又,：里=也._5_=

5CEDC,''CE-1-2--,

5

???C石=2當(dāng)。尸與。。內(nèi)切時，點C在。尸內(nèi)，，點。在AC的延長線上

5

過點P作PGL4G垂足為G,設(shè)以二九則PG=3X，AG=DG=-XCD=-X-4,

555

4..CE_DCCE

CG=4——工，CE=-x-3(1分)

5,~PGT~45

DG,-X-X

55

?.?。尸與。C內(nèi)切，PA—CE=PC,

；?x-(gx-3)=Jx)2+(4--x)2

/.24x2-130x+175=0,x,=—.x,=-(舍去)

11222

.?.當(dāng)0P與。C內(nèi)切時，0P的半徑為三.

12

(3)VZABC+ZA=90°,ZPEC+ZCDE=90°

VZA^ZPDA,；.NABC=NPEC

?；NABC=NEBP,：.NPEC=NEBP,：.PB=PE

???點。為線段BE的中點，.?.PQ_L8C,，「。〃人。

.?.當(dāng)PE〃。尸時，四邊形尸。。尸是平行四邊形，...PFCD

當(dāng)點P在邊A3的上時，x=4--x,x=—

513

當(dāng)點尸在邊A3的延長線上時，x=-x-4,x=—

53

綜上所述，當(dāng)尸石〃CT時，AP的長為空或空

133

變式7：如圖，在A/SC中，/ACB為直角，AB=10,NA=30°，半徑為1的動圓

Q的圓心從點C出發(fā)，沿著C8方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P

從點B出發(fā)，沿著BA方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設(shè)運動時間為，秒

(0<r<5)以尸為圓心，長為半徑的。尸與AB、8C的另一個交點分別為區(qū)D,

連結(jié)EQ.

(1)判斷并證明ED與BC的位置關(guān)系，并求當(dāng)點。與點D重合時t的值；

(2)當(dāng)。P和AC相交時，設(shè)CQ為x,0P被AC

截得的弦長為y,求y關(guān)于光的函數(shù)；并求當(dāng)OQ過點B時。P被AC截得的弦長；

(3)若。尸與。。相交，寫出f的取值范圍.

解析：(1)連接PD,；8、E、D都在。P上

：.PB=PD,NPBD=NPDB,PD=PE,NPDE=NPED

???△BOE的內(nèi)角和為180”.N8DE=N8OP+N

PDE=90°,二即：DE±BC

'：ZBCA=90°,NA=30°

J.DE//CA,：./\BDE^/\BCA,

.BD__BC\

"~BE~~BA~2

設(shè)C0=C0=f,80=5力BE=2t

代入有Y5-t1解得：”三5

2t22

當(dāng)r="I■時Q與。重合，

(2)設(shè)。P和AC相交于M、N,

BP=CQ=x,AP=AB-BP=10-x過點P作PHrAC于點H

在RsAP”中，易知：PH=LAP

2

PH=-(lO-x)

2

在Rt"HN中,易知：HN=dpN-PH?=

-V3%*2*4+20x-100

2

MN=2MH=V3X2+20X-100

當(dāng)。Q經(jīng)過8點時，(如圖)CQ=CB-。8=4,

將f=：=4代入得：MN=卻

(3)當(dāng)QOP與。。外切時，如圖，

易知此時/Q3P=60°,BQ=5-t,PQ=t+\,BP=t

17-797

t=------------，

4

?.?從此時起直至停止運動，O尸與。。都處于相交位置

六。尸與O。相交時r的取值范圍為：一回745

4

角度6:圓與其他結(jié)合問題

例題6：已知：AB=8,。0經(jīng)過點A、B.以A8為一邊畫平行四邊形ABC。，另一邊

CO經(jīng)過點。（如圖1）.以點B為圓心，BC為半徑畫弧，交線段于點E（點E不與

點。、點C重合）.

（1）求證：OD=OE；

（2）如果。0的半徑長為5（如圖2）,設(shè)OD=x,BC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，

并寫出它的定義域；

（3）如果的半徑長為5,聯(lián)結(jié)AC,當(dāng)時，求的長.

DOE

備用圖

解析：（1）聯(lián)結(jié)04、OB（如圖1T）,易得Q4=O3,ZOAB=ZOBA.

???四邊形ABC。是平行四邊形，二A3〃CD,AD=BC.

,:BE=BC,AD=BC,：.AD=BE

又???AB//CD,四邊形ABE。是等腰梯形.ZDAB=ZEBA

又，:ZOAB=ZOBA,：.ZDAB-ZOAB-ZEBA-ZOBA.

即/OAD=NOBE

在AAO。和△BOE中，，：OA=OB,ZOAD=ZOBE,AD=BE,

...△AO庠△BOE.OD=OE

方法2：,：4^DE=NBED,/DAO=/EBO,AD=BE,:./^AOD^ABOE.

方法3：：/^DE=NB