新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練 第08講 拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題 高頻精講（解析版）

第08講拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 3方法一：完全分離參數(shù)法 3方法二：部分分離參數(shù)法 7高頻考點(diǎn)二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍 12方法一：完全分離參數(shù)法 12方法二：部分分離參數(shù)法 19溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、分離變量法在處理含參的函數(shù)不等式和方程問題時(shí)，有時(shí)可以將變量分離出來(lái)，如將方程，轉(zhuǎn)化為這樣就將把研究含參函數(shù)與軸的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為不含參的函數(shù)與動(dòng)直線的位置關(guān)系問題，這種處理方法就叫分離變量法。（1）優(yōu)點(diǎn)：分離變量法可以將含參函數(shù)中的參數(shù)分離出去，避免直接討論，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）解題過程中可能遇到的問題：①參數(shù)無(wú)法分離；②參數(shù)分離后的函數(shù)過于復(fù)雜；③討論位置關(guān)系時(shí)可能用到的函數(shù)極限，造成說理困難.2、分類：分離參數(shù)法有完全分離參數(shù)法（全分參）和部分分離參數(shù)法（半分參）兩種注意事項(xiàng)：無(wú)論哪種分參方法，分參過程中需注意變量的正負(fù)對(duì)不等號(hào)的影響！3、常見題型1：恒成立/存在問題求解參數(shù)范圍核心知識(shí)點(diǎn)：將與0的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化成和的大小關(guān)系①恒成立②恒成立③恒成立④恒成立4、常見題型2：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍核心知識(shí)點(diǎn)：將轉(zhuǎn)化成，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法繪制函數(shù)的大致圖象（注意繪制圖象時(shí)，可能需要用到極限思想，才能精確確定圖象的輪廓）.第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍方法一：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，所以在上單調(diào)遞增，則等價(jià)于，即，令，，，因?yàn)?，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為；故選：B例題2．（2023春·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)已知，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若時(shí)，，，，故有，所以在處的切線方程為，即.（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，令，，所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.例題3．（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）由題知，，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，極小值為，無(wú)極大值.（2）因?yàn)閷?duì)于任意，都有成立，所以，即問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于恒成立，即，對(duì)于恒成立，令，所以，令，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)，要使，對(duì)于恒成立，只要，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題：，使得為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；若命題為真命題，則，即，若命題為假命題，則，即的取值范圍為.故答案為：.2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，即.（2）恒成立，即恒成立，于是恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，于是恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，所以的最小值是.3．（2023秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若存在，使函數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間是和.(2).【詳解】（1）解：由及得函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

由題意

解得，故，此時(shí)，由得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和.（2）解：因?yàn)?，由已知，若存在使函?shù)成立，則只需滿足當(dāng)時(shí)，即可．又，則，若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，∴，又∵，∴．若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，又，又，滿足題意，綜上所述，的取值范圍，即.方法二：部分分離參數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)橛薪猓从薪?，所以有解，由函?shù)在R上單調(diào)遞增，可得有解.解法一：令，則.①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二:若，則有解.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，即.若，則有解，易知恒小于零，所以，即.若，則，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法三：若，如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，再結(jié)合切線過原點(diǎn)得，故，由有解，得函數(shù)的部分圖象在直線的下方，所以，數(shù)形結(jié)合可知.若，易知函數(shù)的圖象必有一部分在直線的下方，符合題意.若，由函數(shù)的單調(diào)性可知，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在關(guān)于x的不等式(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，設(shè)，原問題轉(zhuǎn)化為：不等式的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，函數(shù)恒過點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，兩個(gè)函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)如下圖所示：要想不等式的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，只需滿足：，故選：D例題3．（2023秋·浙江·高三期末）已知函數(shù)，若恒成立，則的最小值是______________．【答案】1【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，作出函數(shù)的圖象如圖示，，即在原點(diǎn)處的切線斜率為1，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即有時(shí)，恒成立，故當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，所以在內(nèi)恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以，則，綜上所述，k的最小值為1，故答案為：1練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，且中只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意設(shè)g（x）＝xex，y＝ax﹣a，∵g′（x）＝（x+1）ex，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）遞減，在（﹣1，+∞）遞增，∴g（x）min＝g（﹣1），∵y＝ax﹣a恒過定點(diǎn)P（1，0），∴結(jié)合函數(shù)圖象得，KPA≤a＜KPB，又A（﹣2，），B（﹣1，），∴KPA，KPB，即a，故選C．2．（2023春·天津和平·高二天津二十中?？茧A段練習(xí)）（1）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則a的取值范圍是________．【答案】

【詳解】（1）函數(shù)，其中，設(shè)，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，使得，所以存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，直線恒過點(diǎn)，斜率為，故，且，解得所以的取值范圍是高頻考點(diǎn)二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍方法一：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（2023春·北京通州·高二通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)的極大值是20，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.如圖所示.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求，，的值；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增是和.(2)(3)【詳解】（1）根據(jù)圖象可知時(shí)，，即單調(diào)遞減；和時(shí)，，即單調(diào)遞增；故答案為：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增是和.（2）由已知可得：和是的兩個(gè)根，由（1）可得的極大值在處取得，故解得：故答案為：（3）由（2）知，的極小值為：結(jié)合的單調(diào)性可作其草圖，如下所示函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，所以.故答案為：例題2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，..(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，求和的值；(2)若，且的導(dǎo)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程是，所以即解得（2）由得，.顯然因此.令且，則，解方程得，，因此函數(shù)在和內(nèi)單增，在和內(nèi)單減，且極大值為，極小值為.的大致圖象如下：由圖象可知,當(dāng)或時(shí)，直線與曲線分別有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).故的取值范圍是.例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求在上的最值；(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【詳解】（1）解：，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，，所以，函?shù)在上的最小值為，最大值為.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)沒有零點(diǎn)，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程沒有實(shí)數(shù)根，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得最大值因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)椋?，?dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根，，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（且）.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）由題意知在有兩個(gè)不等實(shí)根，，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，，，作出的圖象如圖所示：由圖可知，解得且，即a的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由函數(shù)和在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以即在上恒成立；（2）由，得，令，則有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比大，故趨向于0，作出函數(shù)的大致圖象如下：結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍是．2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程，即，則．令，，則．令，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又趨近于0時(shí)趨近正無(wú)窮；趨近于正無(wú)窮時(shí)趨近正無(wú)窮，所以，即，故m的取值范圍是．3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（），.(1)若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點(diǎn)，所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，即；（2）由可得：，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，由，設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，故a的取值范圍為.方法二：部分分離參數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．【答案】答案見解析【詳解】解：關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)就是直線與曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如圖，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則．∵，∴，∴，∴，．結(jié)合圖像，知當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解．例題2．（2023秋·北京·高二清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線與直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)曲線與直線的公共點(diǎn)只有一個(gè)，證明見解析(3)實(shí)數(shù)的取值范圍是【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域是，所以，則，，切線方程是：，故切線方程為：；（2）解：曲線與直線的公共點(diǎn)只有一個(gè)，理由如下：設(shè)，，則令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減；則，故，有且只有一個(gè)根，即有且只有一個(gè)根，故曲線與直線的公共點(diǎn)只有一個(gè).（3）解：若對(duì)于任意，不等式恒成立，則又直線過定點(diǎn)，則過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，則切線方程為，將代入得：，設(shè)，，則，得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，所以關(guān)于的方程無(wú)解，則說明過點(diǎn)的切線不存在，則直線不與曲線相切，又函數(shù)的定義域是，所以，得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，，且，則可得的大致圖象如下：根據(jù)上述結(jié)論結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與曲線總有交點(diǎn)，從而要使對(duì)于任意，不等式恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是.練透核心考點(diǎn)1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間