數(shù)學(xué)-專項7.12三角形的內(nèi)角與外角大題提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）-【】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題7.12三角形的內(nèi)角與外角大題提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2021春·江蘇南京·七年級南京第五初中?？茧A段練習(xí)）寫出下列命題的求證，并完成證明過程．命題：三角形三個內(nèi)角的和等于180°已知：如圖，△ABC求證：．證明：【答案】∠BAC【分析】先寫出求證，然后證明．過點A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，【詳解】解：求證：∠BAC+證明：過點A作EF∥∵EF∥∴∠1=∠B，∵∠1+∴∠BAC+即知三角形三個內(nèi)角的和等于180°

【點睛】本題考查證明三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是做平行線，利用平行線的性質(zhì)進行證明．2．（2018秋·江蘇南通·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)．【答案】85°【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠DAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADB=180°?∠DAB?∠B，代入求出即可．【詳解】解：∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°，∴∠DAB=1∵∠B=75°，∴∠ADB=180°?∠DAB?∠B=180°?20°?75°=85°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意：三角形的內(nèi)角和等于180°．3．（2020春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，∠A=∠ABD，∠C=∠CBD．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）若DE平分∠ADB交AB于點E，求證：DE∥BC．【答案】（1）90°；（2）見解析；【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知∠ADB=∠C+∠CBD，結(jié)合DE平分∠ADB可證∠BDE=∠CBD，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．

【詳解】解：（1）∵∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，∠A+∠ABD+∠C+∠CBD=180°，∴∠ABD+∠CBD=12×180°=90°，即∠ABC（2）∵∠C=∠CBD，∠ADB=∠C+∠CBD，∴∠CBD=12∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=1∴∠BDE=∠CBD，∴DE∥BC．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，EF⊥CD于點G，∠ADE=∠EFC．(1)請說明DE∥BC；(2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度數(shù)．【答案】(1)說明見解析；(2)∠CDE=【分析】（1）由題意易證AB//EF，則有∠ADE=∠DEF，從而得∠EFC=∠（2）結(jié)合已知條件與（1）的結(jié)論，可得DE∥BC，由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B的度數(shù)，再結(jié)合CD⊥AB，從而可得∠BCD的度數(shù)，利用DE∥BC求解即可．（1）解：∵CD⊥AB，EF⊥CD，

∴∠BDC=∠FGC=90°，

∴AB∥EF，

∴∠ADE=∠DEF，

又∵∠ADE=∠EFC，

∴∠DEF=∠EFC，

∴DE∥BC；（2）∵∠A+∠ACB+∠B=180°且∠A=60°，∠ACB=72°，∴∠B=48°，∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BCD=42°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD=42°．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．5．（2019春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線EF∥GH，點A在EF上，AC交GH于點B，若∠EAB＝108°，點D在GH上，∠BDC＝60°，求∠ACD的度數(shù)．【答案】∠ACD=48°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出∠EAB=∠ABD=108°，再根據(jù)∠ABD是△BCD的外角，即可得到∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：∵EF//∴∠EAB=∠ABD=108°∵∠ABD是△BCD的一個外角∴∠BCD+∠BDC=∠ABD∴∠BCD=∠ABD?∠BDC=108°?60°=48°即：∠ACD=48°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外交性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)以及三角形的外交性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6．（2020春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，點E是AC邊上的一點，∠ECD=∠EDC.（1）求證：ED//BC；（2）∠A=30°，【答案】（1）證明見解析；（2）110°.【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ACD=∠BCD，從而求出∠BCD=∠EDC，再利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明即可；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠BDC=∠A+∠ACD，可求出【詳解】（1）∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACD=∠BCD

∵∠∴∠BCD=∠EDC

∴ED//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

（2）∵∠BDC是△ADC的外角∴∠BDC=∠A∴∠ACD=∠BDC?∠A=65∴∠∴∠DEC=180故答案為（1）證明見解析；（2）110°.【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，準確識別圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2021春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．

(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，請說明(2)如圖2（∠B<∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠DAE=10°(2)∠DAE=1【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠BAC=80°，由角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用三角形的高線可求∠CAE得度數(shù)，進而求解即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAD=1∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∵∠C=60°，∴∠CAE=90°?60°=30°，∴∠DAE=∠CAD?∠CAE=10°；（2）解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAD=1∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，

∴∠CAE=90°?∠C，∴∠DAE=∠CAD?∠CAE===1即∠DAE=1【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高、角平分線的定義，學(xué)生應(yīng)熟練掌握三角形的高、中線和角平分線這些基本知識，能靈活運用解決問題．8．（2022秋·七年級單元測試）如圖，A島在B島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏東80°方向，C島在A島的南偏東30°方向，從C島看A，B兩島的視角∠ACB【答案】70°【分析】先根據(jù)方向角的概念，得出∠DBA=50°，∠DBC=80°；∠ABC=【詳解】解：如圖所示：∵A島在B島的北偏東50°方向，即∠DBA=50°∵C島在B島的北偏東80°方向，即∠DBC=80°∴∠ABC=∵C島在A島南偏東30°方向，即∠CAE=30°

∵BD∥∴∠DBA=∴∠BAC=在△ABC中，∠BCA=180°?【點睛】本題考查了方向角的定義，平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．正確理解方向角的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2020秋·江蘇南通·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB．若∠CAD＝40°．求∠ADE的度數(shù)．【答案】40°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)大角減小角求出∠BAD，利用平行線的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°．∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAD＝40°，∴∠BAD＝80°﹣40°＝40°，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝40°．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·江蘇淮安·七年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在△ABC中，AD是角平分線，E為邊AB上一點，連接DE，∠EAD＝∠EDA，過點E作EF⊥BC，垂足為F．

(1)求證：DE∥AC；(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BAC=95°【分析】（1）只需要證明∠EDA=∠CAD，即可證明DE∥AC；（2）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EDF=50°，進而求出∠BED=95°，再利用平行線的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥（2）解：∵EF⊥BD，∴∠EFD=90°，∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，∵DE∥∴∠BAC=∠BED=95°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．11．（2019春·江蘇無錫·七年級階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=72°，求∠AEC和∠DAE的度數(shù)．

【答案】∠AEC=75°，∠DAE=15°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE=∠CAE=12∠BAC=33°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠AEC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DAE【詳解】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=42°，∠C=72°，∴∠BAC=66°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-∠AEC=15°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的高和角平分線，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，若∠ADE=150°，求∠B的度數(shù).【答案】60°【分析】先求出∠EDC=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C=∠EDC=30°，再由直角三角形兩銳角互余即可求解．【詳解】解：∵∠ADE=150°，∴∠EDC=30°，∵DE∥BC，

∴∠C=∠EDC=30°，又∵∠A=90°，∴∠B=90°-∠C=60°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，求出∠C的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D自點B開始向點C移動，連結(jié)AD，P為AD延長線上一點，PE⊥BC所在直線于點E．(1)若AD平分∠BAC，∠B＝76°，∠P＝27°，求∠C的度數(shù)；(2)若∠BAC=80°，∠B=70°，請直接寫出在點D的整個運動過程中，∠P大小的取值范圍是：________．【答案】(1)22°(2)0°≤∠P≤60°【分析】（1）先求出∠ADB，再求∠BAD，進而可得∠BAC，即可求出結(jié)果．（2）要求∠P的范圍，只需求∠PDE的范圍，當(dāng)AD⊥BC時，∠PDE最大，當(dāng)C、D重合時，∠PDE最小，進而可得結(jié)果．（1）解：∵PE⊥BC，∴∠PEB＝90°，∵∠P＝27°，∴∠CDP＝180°?90°?27°＝63°，∴∠ADB＝∠CDP＝63°，∵∠B＝76°，∴∠BAP＝180°?∠B?∠ADB＝41°，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAP＝82°，∴∠C＝180°?∠BAC?∠B＝22°；（2）解：∵∠P＋∠PDE＝90°，∴只需求∠PDE的范圍，當(dāng)AD⊥BC時，∠PDE最大為90°，此時D、E兩點重合，∠P＝0°，當(dāng)D與C重合時，∠PDE最小，且等于∠C＝30°，此時∠P＝90°?∠PDE＝60°，∴∠P的范圍是：0°≤∠P≤60°．故答案為：0°≤∠P≤60°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，熟練使用三角形內(nèi)角和為180°進行角度的推導(dǎo)是解題關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇揚州·七年級校考階段練習(xí)）已知點A在射線CE上，∠BDA＝∠C．(1)如圖1，若AC∥BD，求證：(2)如圖2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，請證明∠DAE+2∠C＝90°；【答案】(1)見解析見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠DAE＝∠BDA，再根據(jù)∠BDA＝∠C得到∠DAE＝∠C，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)三角形的外角等于其余兩內(nèi)角之和可得到∠BGA＝∠BDA+DAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°得到∠BGA+∠C＝90°，再根據(jù)∠DAE＝∠C，可得到結(jié)果．（1）證明：∵AC∥BD，∴∠DAE＝∠BDA，

∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE＝∠C，∴AD∥BC；（2）證明：如圖2，設(shè)CE與BD相交于點G，∠BGA＝∠BDA+DAE，∵BD⊥BC，∴∠BGA+∠C＝90°，∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE+2∠C＝90°．【點睛】本題考查了兩直線平行內(nèi)錯角相等，三角形外角等于其余兩內(nèi)角之和，三角形內(nèi)角和為180°，解題的關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系．15．（2022春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知如圖，線段AD、CB相交于點O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【答案】2∠P＝∠B＋∠D，理由見解析【分析】根據(jù)“8字形”可得∠OAB＋∠B＝∠OCD＋∠D，∠EAP＋∠P＝∠ECD＋∠D，由角平分線的定義可得∠OAB＝2∠EAP，∠OCD＝2∠ECD，整理可得結(jié)論．【詳解】解：2∠P＝∠B＋∠D，理由：如圖，AD與CP相交于點E，

在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB＋∠B＝∠OCD＋∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠EAP＋∠P＝∠ECD＋∠D，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠OAB＝2∠EAP，∠OCD＝2∠ECD，∴2∠P－∠B＝2∠D－∠D，整理得，2∠P＝∠B＋∠D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識，只要同學(xué)們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會有許多意想不到的收獲，下面兩幅圖都是由同一副三角板拼合得到的：(1)如圖1，請你計算出的∠ABC的度數(shù)．(2)如圖2，若AE∥BC，請你計算出∠AFD的度數(shù)．【答案】(1)∠ABC＝75°(2)∠AFD＝75°【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度數(shù)，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度數(shù)；

（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求得∠C的度數(shù)，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即可求得∠AFD的度數(shù)．（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識．題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．（2022春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，△ABC中，∠BAD=∠EBC，AD交BE于F．(1)試說明：∠BFD=∠ABC；(2)若∠ABC=40°，EG∥AD，EH⊥BE，求【答案】(1)見解析(2)50°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）得：∠BFD=40°，再根據(jù)EG∥AD，可得∠BEG=∠BFD=40°，然后根據(jù)（1）解：∵∠BFD是△ABF的外角，

∴∠BFD=∠BAD+∠ABF，∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC=∠ABC；（2）解：∵∠ABC=40°，∠BFD=∠ABC，∴∠BFD=40°，∵EG∥∴∠BEG=∠BFD=40°，∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∴∠HEG=90°-40°=50°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，CB⊥AE，垂足為B，CB與DE相交于點F，連接AC交DE于點D，∠C=30°．給出以下三個條件：①∠E=40°；②∠A=60°；③∠DFB=130°．從中選擇一個合適的作為條件，求∠CDE的度數(shù)．你選擇的條件是_______________（填序號）．【答案】③（答案不唯一）【分析】選擇③可直接利用三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE．【詳解】解：選擇③，∵∠DFB＝130°，∴∠CDE＝∠BFD－∠C＝130°－30°＝100°；故答案為：③．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

19．（2022春·江蘇南通·七年級校考階段練習(xí)）如圖，∠AOB=36°，CD⊥OA，垂足為D，E在射線OB上的一個動點，連接DE，若∠CED=2∠CDE，求∠ODE的度數(shù)．【答案】∠ODE=108°或48°【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得出∠DCO=54°，由鄰補角求得∠DCB=126°，進而分類討論，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠AOB=36°，CD⊥OA，∴∠DCO=90°?36°=54°，∴∠DCB=126°，當(dāng)點E在C點的右邊時，∵∠CED=2∠CDE∴∠DCO=∠CDE+∠CED=3∠CDE=54°設(shè)∠CDE=α，∴3α=54°解得α=18°∴∠ODE=90°+18°=108°。當(dāng)點E在C點的左邊時，∴∠DCB=3α=126°解得α=42°

∴∠CDE=42°∴∠ODE=90°?42°=48°綜上所述，∠ODE=108°或48°【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的兩個銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·江蘇淮安·七年級?？计谀┤鐖D，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．(1)求CD的取值范圍；(2)若AE∥BD，∠A＝50°，∠BDE＝130°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)1＜CD＜9(2)80°【分析】（1）三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，據(jù)此可得CD的取值范圍；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠AEF的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠C的度數(shù)．（1）解：∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴5?4＜CD＜5＋4，∴CD的取值范圍是：1＜CD＜9；（2）解：∵AE∥BD，∴∠AEF＝∠BDE＝130°，∵∠AEF是△ACE的外角，∴∠C＝∠AEF?∠A＝130°?50°＝80°．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．21．（2022春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┰跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問題我們常將其作為一個數(shù)學(xué)模型加以識記，以積累和豐富自己的問題解決經(jīng)驗．

【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】(1)如圖1，在△ABC中，點E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點，則有∠E=12∠A請直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問題：【簡單應(yīng)用】(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC=40°．延長BA至G，延長AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫出∠E+∠F與∠A+∠D的關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)70°(3)①205°

②2(∠EBF+∠AEF)=∠BAD+∠ADC+180°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，即可得到答案（2）先推導(dǎo)出∠AEC=12∠ABC=20°（3）①延長BA，CD交于點M，延長CE、BF交于點N，可得∠N=12∠M（1）

解：∵∠EBC+∠EBD=180°又因為在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°∴∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB∴∠EBD=∠E+∠ECB同理可得：∠ABD=∠A+∠ACB又因為BE和CE分別是∠ABD和∠ACB的角平分線∴∠EBD=∴即∠E=∴∠E=（2）解：∵∠ABC=40°∴∠AEC=∵∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長線交于E、F，∴∠EAC+∠FAC===90°∴∠F=180°?90°?20°=70°（3）解：①延長BA，CD交于點M，延長CE、BF交于點N，如下圖所示，

∵BF、CE平分∠ABG,∠DCB∴∠N=∵∠BAD=150°,∠ADC=80°∴∠M=180°?(180°?150°)?(180°?80°)=50°∴∠N=25°∠AEF+∠BFE=360°?(180°?25°)=205°②∵∠AEF+∠BFE=360°?(180°?∠N)=180°+∠N∠BAD+∠ADC=180°+∠M又∵∠N=∴∠AEF+∠BFE?180°=即：2(∠EBF+∠AEF)=∠BAD+∠ADC+180°【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．22．（2021春·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1，G2，…，G9，若∠【答案】(1)∠(2)①40，②90，③70°【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可證明；（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠【詳解】（1）∠BDC連接AD并延長至點F，

由外角定理可得∠BDF=∠BAD∵∠BDC∴∠BDC∵∠BAC∴∠BDC（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX∵∠A=50°，∴∠ABX故答案是：40；②由（1）的結(jié)論易得∠DBE=∠DAE∵∠DAE=50°，∴∠ADB∵DC平分∠ADB，EC平分∠∴∠ADC=1∴∠DCE③由②知，∠B∵∠B∴設(shè)∠A為x∵∠ABD∴110∴x=70∴∠A

故答案是：70°．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC23．（2023春·七年級單元測試）如圖，直線MN與直線AB,CD分別交于點E,F，∠1與∠2互補．(1)如圖1，求證AB∥CD；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，EP的延長線與CD交于點G，點H是MN上一點，且PF∥GH，求證：GH⊥EG；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于點Q，∠QPF:∠HPK=3:2，求∠HPF的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)18°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定方法求證即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，求得∠EPF=90°，即可求解；（3）設(shè)∠HPK=2x°，則∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，列方程求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可得：∠1+∠2=180°，∠1+∠BEF=180°∴∠2=∠BEF，∴AB（2）證明：由題意可得：EP平分∠BEF，F(xiàn)P平分∠EFD，∴∠PEF=12∵AB∥

∴∠EFD+∠BEF=180°∴∠PFE+∠PEF=1∴∠EPF=90°，∵PF∥GH，∴∠PGH=90°，即GH⊥EG；（3）設(shè)∠HPK=2x°，則∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°∵PF∥GH，∴∠PHK=∠FPH=2x°，∴∠QPK=7x°，又∵PQ平分∠EPK，∴∠EPQ=∠QPK=7x°，由（2）得：∠EPF=∠EPQ+∠QPF=90°，即3x°+7x°=90°解得x=9，∴∠HPF=18°．【點睛】此題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，垂直的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．24．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習(xí)）【原題再現(xiàn)】課本第42頁有這樣一道題：如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置．試探索∠A小明提出一種正確的解題思路：連接AA′，則∠1、∠2分別為△AEA請你按照小明的思路解決上述問題．【變式探究】如圖2，若將原題中“點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A'的位置”變?yōu)椤包cA落在四邊形BCDE外點A′的位置”，試猜想此時∠A

【結(jié)論運用】將四邊形紙片ABCD（∠C=90°，AB與CD不平行）沿EF折疊成圖3的形狀，若∠1=110°，∠2=40°，請直接寫出∠ABC的度數(shù)．【答案】原題再現(xiàn)：2∠A=∠1+∠2，理由見解析；變式探究：2∠A=∠1?∠2，理由見解析；結(jié)論運用：55°【分析】原題再現(xiàn)：先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DA′E=∠DAE變式探究：設(shè)A′E交AC于點M，先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A結(jié)論運用：延長BA,CD，相交于點N，先利用變式探究的結(jié)論可得∠N=35°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可得．【詳解】解：原題再現(xiàn)：2∠A=∠1+∠2，理由如下：如圖1，連接AA由折疊的性質(zhì)得：∠DA∵∠1=∠EAA∴∠1+∠2=∠EA即2∠A=∠1+∠2；變式探究：2∠A=∠1?∠2，理由如下：如圖2，設(shè)A′E交AC于點由折疊的性質(zhì)得：∠A∵∠1=∠A+∠AME,∠AME=∠A

∴∠1=∠A+∠A即2∠A=∠1?∠2；結(jié)論運用：如圖3，延長BA,CD，相交于點N，由變式探究的結(jié)論得：2∠N=∠1?∠2，∵∠1=110°，∠2=40°，∴∠N=110°?40°∵∠C=90°，∴∠ABC=90°?∠N=55°．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．（2022春·江蘇連云港·七年級階段練習(xí)）將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在點A'處．【感知】如圖①，點A落在四邊形BCDE的邊BE上，則∠A與∠1之間的數(shù)量關(guān)系是；【探究】如圖②，若點A落在四邊形BCDE的內(nèi)部，則∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【拓展】如圖③，點A落在四邊形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，則∠A的大小為．【答案】（1）∠1=2∠A；（2）2∠A=∠1+∠2；（3）28°【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=∠A+∠EA′D，根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠EA′D=∠A，即可求出答案；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°?∠A′，兩式相加可得∠A'DA+∠A'EA=360°?(∠A+∠A')，即∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME=∠A′+∠2，∠1=∠A+∠DME，推出∠1=∠A+∠A′+∠2，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖①，∠1=2∠A．理由如下：由折疊可得：∠EA′D=∠A；∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A，故答案為：∠1=2∠A；（2）如圖②，2∠A=∠1+∠2．理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°?∠A′，∴A′DA+∠A′EA=360°?(∠A+∠A′)，∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折疊可得：∠A=∠A′，∴2∠A=∠1+∠2，故答案為：2∠A=∠1+∠2；（3）如圖③，∵∠DME=∠A′+∠2，∠1=∠A+∠DME，由折疊可得：∠A=∠A′，∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，∴2∠A=∠1?∠2=80°?24°=56°，

∴∠A=28°．故答案為：28°．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，本題主要考查運用定理進行推理和計算的能力．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形運用外角的性質(zhì)列等式求解．26．（2022春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤切蝺?nèi)角和定理告訴我們：如圖①三角形三個內(nèi)角的和等于180°．(1)【定理推論】如圖②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，點D是BC延長線上一點．由平角的定義可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．(2)【初步運用】如圖③，點D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點．①若∠A=80°，∠DBC=150°，則∠ACB=_____°;②若∠A=80°，則∠DBC+∠ECB=______°．(3)【拓展延伸】如圖④，點D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點．①若∠A=80°，∠P=150°，則∠DBP+∠ECP=_____°；②分別作∠DBP和∠ECP的平分線，交于點O，如圖⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之間的數(shù)量關(guān)系；③分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN，如圖⑥，若∠A=∠P，求證：BM∥CN．【答案】(1)∠A(2)

70

260

(3)230；∠P＝【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義可得結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式可得結(jié)論；②根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與三角形內(nèi)角和定理列式可得結(jié)論；（3）①連接AP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論可得等式，將兩個等式相加可得結(jié)論；②設(shè)∠DBO＝x，∠OCE＝y(tǒng)，則∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y(tǒng)，由①得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，即可得到結(jié)論；③延長BP交CN于點Q，構(gòu)建三角形PQC，由①的結(jié)論得：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，根據(jù)角平分線的定義，證明∠MBP＝∠PQC，可得結(jié)論．【詳解】（1）∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B，故答案為：∠A+∠B；（2）①∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC-∠A＝70°，故答案為：70；②∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)＝∠A+(∠ACB+∠A+∠ABC)＝∠A+180°，∵∠A＝80°，∴∠DBC+∠ECB＝260°，故答案為：260；（3）①連接AP，如圖，∵∠DBP＝∠BAP+∠BPA，∠ECP＝∠CAP+∠CPA，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA＝∠BAC+∠BPC，∵∠BAC＝80°，∠BPC＝150°，

∴∠DBP+∠ECP＝230°，故答案為：230；②設(shè)∠DBO＝x，∠OCE＝y(tǒng)，則∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y(tǒng)，則：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠P．∵∠O＝50°，∴∠P＝∠A+100°，故答案為：∠P＝∠A+100°；③證明：延長BP交CN于點Q，如圖：∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，∵由①知：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，又∠A＝∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP．∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴BM∥CN．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)的推理及運用，角平分線的定義，平行線的判定．根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題的關(guān)鍵．27．（2022春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，直角△DEF與直角△ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF=30°，∠ABC=38°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，

(1)如圖2，當(dāng)∠α=_____時，DE∥BC；(2)如圖2，當(dāng)∠α=_____時，EF與△ABC的一邊平行；(3)如圖3，當(dāng)頂點C在△DEF內(nèi)部時（不包含邊界），邊DF、DE分別交BC，AC的延長線于點M、N，①∠BMD與∠AND度數(shù)的和是否變化？若不變，求出∠BMD與∠AND的度數(shù)和；若變化，請說明理由；②若使得∠AND≥∠BMD，求∠α的度數(shù)范圍．【答案】(1)8°(2)8°或60°或98°(3)①∠BMD與∠AND度數(shù)的和不變，和為60°；②∠α的度數(shù)范圍為53°＜α≤68°．【分析】（1）當(dāng)∠EDA=∠B=38°時，DE∥BC，得出α=38°-30°，即可得出結(jié)果；（2）分三種情況討論，畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；（3）①連接MN，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，則∠CNM+∠CMN=90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，即可得出結(jié)論；②由當(dāng)頂點C在△DEF內(nèi)部時，可求解53°＜α＜68°，由∠AND≥∠BMD，∠BMD+∠AND=60°，得出∠AND≥60°-∠AND，解得∠AND≥30°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠AND+∠NDM+α+∠A=180°，即∠AND=98°-α，得出98°-α≥30°，解得α≤68°，即可得出結(jié)果．（1）解：當(dāng)DE∥BC時，如圖，∵DE∥BC，

∴∠EDA=∠B=38°，∵∠FDE=30°，∴∠α=∠EDA-∠FDE=38°-30°=8°，∴∠α=8°時，DE∥BC．故答案為：8°；（2）解：當(dāng)EF∥AC時，∵∠ACB=∠DEF=90°，此時DE∥BC，由（1）得∠α=8°時，EF∥AC；當(dāng)EF∥AB時，如圖，∵∠ACB=∠DEF=90°，∴∠EDA=90°，∴∠α=∠EDA-∠FDE=90°-30°=60°；當(dāng)EF∥BC時，∵∠ACB=∠DEF=90°，∴DE⊥BC，如圖，∵DE⊥BC，∴∠BGD=90°，

∵∠B=40°，∠GDA是△GDB的一個外角，∴∠GDA=∠B+∠BGD=38°+90°=128°，∵∠EDF=30°，∴∠α=∠GDA-∠FDE=128°-30°=98°，∴∠α=98°時，EF∥BC．綜上，當(dāng)∠α=8°或60°或98°時，EF∥BC．故答案為：8°或60°或98°；（3）解：①∠BMD與∠AND度數(shù)的和不變；理由如下：連接MN，如圖3所示：在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，∴∠CNM+∠CMN=90°，在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，∴∠BMD+∠AND=180°-90°-30°=60°；②∵∠ABC=38°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∠A=52°，∴∠CDA=83°，當(dāng)點C在DE邊上時，α+30°=83°，解得：α=53°，當(dāng)點C在DF邊上時，α=83°，

∴當(dāng)頂點C在△DEF內(nèi)部時，53°＜α＜83°；∵∠AND≥∠BMD，∠BMD+∠AND=60°，∴∠AND≥60°-∠AND，∴∠AND≥30°，∵∠AND+∠NDM+α+∠A=180°，∠A=90°-38°=52°，即∠AND+30°+α+52°=180°，∴∠AND=98°-α，∴98°-α≥30°，解得：α≤68°，∴∠α的度數(shù)范圍為53°＜α≤68°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、不等式等知識，合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．28．（2022春·江蘇連云港·七年級?？计谀┤鐖D，已知∠COD=90°，直線AB與OC交于點B，與OD交于點A，射線OE和射線AF交于點G．(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=36°，則∠OGA=______；(2)若∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13(3)將（2）中“∠OBA=36°”改為“∠OBA=β”，其余條件不變，求∠OGA的度數(shù)（用含β的代數(shù)式表示）；(4)若OE將∠BOA分成1:2兩部分，AF也將∠BAD分成1:2兩部分，∠ABO=β30°<β<90°，則∠OGA的度數(shù)=______________________（用含β【答案】(1)18°(2)12°(3)∠OGA=

(4)13β或2【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進行計算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進行計算即可；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進行計算即可；（4）分四種情況：①當(dāng)∠EOD:∠COE=2:1，∠GAD=23∠BAD時；②當(dāng)∠EOD:∠COE=2:1，∠FAD=13∠BAD時；③當(dāng)∠EOD:∠COE=1:2，∠GAD=2（1）解：∵∠COD=90°，即∠BOA=90°，∠OBA=36°，∴∠BAD=∠BOA+∠OBA=126°，∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA=90°，∴∠GAD=12∠BAD=63°∴∠OGA=∠GAD?∠GOA=63°?45°=18°．故答案為：18°．（2）解：∵∠BOA=90°，∠OBA=36°，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=126°，∵∠BOA=90°，∠GOA=13∠BOA∴∠GAD=42°，∠GOA=30°，∴∠OGA=∠GAD?∠GOA=42°?30°=12°；故答案為：12°．（3）解：∵∠BOA=90°，∠OBA=β，∴∠BAD=∠BOA+∠OBA=90°+β，∵∠BOA=90°，∠GOA=13∠BOA∴∠GAD=30°+13β

∴∠OGA=∠GAD?∠GOA=1（4）解：①當(dāng)∠EOD:∠COE=2:1時，∠EOD=60°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=β+90°，∵AF將∠BAD分成1:2兩部分，即∠GAD=2∴∠GAD=2∵∠GAD=∠EOD+∠OGA，∴60°+∠OGA=2解得：∠OGA=2②當(dāng)∠EOD:∠COE=2:1時，∠EOD=60°，∵AF將∠BAD分成1:2兩部分，即∠FAD=1∴射線OE和射線AF無交點；③當(dāng)∠EOD:∠COE=1:2時，∠EOD=30°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=β+90°，∵AF將∠BAD分成1:2兩部分，即∠GAD=2∴∠GAD=2∵∠GAD=∠EOD+∠OGA，∴30°+∠OGA=2解得：∠OGA=2④當(dāng)∠EOD:∠COE=1:2時，∠EOD=30°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=β+90°，∵AF將∠BAD分成1:2兩部分，

即∠FAD=1∴∠GAD=1∵∠GAD=∠EOD+∠OGA，∴30°+∠OGA=1解得：∠OGA=1綜上可得：∠OGA的度數(shù)為13β或23故答案為：13β或23【點睛】本題考查了角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在（4）中找出所有情況．三角形外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．29．（2022春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，直線m與直線n相交于點O，A、B兩點同時從點O出發(fā)，點A以每秒x個單位長度沿直線n