八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題12.2.3 三角形全等的判定3（ASA）（教師版）

專(zhuān)題12.2.3三角形全等的判定3（ASA）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，掌握和會(huì)用““ASA”條件判定兩個(gè)三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過(guò)程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過(guò)探究三角形全等的條件的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角形全等的判定3：（ASA）知識(shí)點(diǎn)三角形全等的判定3：角邊角（ASA）文字：在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；圖形：符號(hào)：在與中，【微點(diǎn)撥】1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線(xiàn)段之間的關(guān)系，比如線(xiàn)段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)化．2.全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高也相等.【知識(shí)拓展1】角邊角判定三角形全等的條件例1．（2021?宜興市期中）如圖，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根據(jù)“ASA”使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是．【分析】利用ASA定理添加條件即可．【解答】解：還需添加的條件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案為：∠B＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【即學(xué)即練】1.（2021?覃塘區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線(xiàn)上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角邊角對(duì)應(yīng)相等，只需找出一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等即可，進(jìn)而得出答案．【解答】解：需要補(bǔ)充的條件是∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】利用ASA判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）例2．（2022·廣東·佛山市惠景中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測(cè)出我軍陣地與敵人碉堡的距離．我軍戰(zhàn)士想到一個(gè)辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線(xiàn)通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)；然后轉(zhuǎn)過(guò)身保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線(xiàn)落在了我軍陣地的點(diǎn)上；最后，他用步測(cè)的辦法量出自己與點(diǎn)的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵士兵的視線(xiàn)通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)B，然后轉(zhuǎn)過(guò)身保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線(xiàn)落在了我軍陣地的點(diǎn)E上，∴∠A=∠D，∵，，∴∠ACB=∠DFE=90°，∵AC=DF，∴判定△ABC≌△DFE的理由是ASA，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，分析題意找到相等的角和邊判定三角形的全等是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2.（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小淇同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A處步行到達(dá)B處的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ)，其具體信息匯集如下：如圖，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足為D，已知AB＝25米，請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度．【答案】25m【分析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和題意證明△ABO≌△CDO，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO．∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°．∴∠ABO＝90°．即OB⊥AB．∵相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，∴OB＝OD．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA）．∴CD＝AB＝25（m）．答：標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度為25m．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活選用判定三角形全等的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）如圖，小明把一塊三角形的玻璃片打碎成三塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全相同的玻璃片，那么最省事的辦法是帶_________去．【答案】③【分析】根據(jù)全等三角形的判定可即可求解．【詳解】解：第①塊和第②塊都沒(méi)有保留完整的邊，而全等三角形的判定定理中，至少存在一條邊，第③塊保留了一邊邊和兩個(gè)角，則利用ASA判定定理可得到一個(gè)全等三角形，進(jìn)而可帶③去，故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的條件，解題的關(guān)鍵是需要注意的是只靠一個(gè)角或兩條邊不能等得到全等．【知識(shí)拓展3】利用ASA證明三角形全等（求線(xiàn)段的長(zhǎng)度）例3．（2021·陜西榆林·七年級(jí)期末）如圖，中，于，于，與交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．5 C．4 D．7【答案】A【分析】先證△ADC≌△BDE(ASA)，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得DE=DC=3，再根據(jù)AE=AD-DE即可求解．【詳解】解：∵，∴∠ADC=∠BDE=90°，∠AFE=90°，又∵∠AEF=∠BED，∴∠CAD=∠EBD在△ADC與△BDE中∴△ADC≌△BDE(ASA)，∴DE=DC=3，∴AE=AD-DE=5-3=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理清題意進(jìn)行合理推理．【即學(xué)即練1】3．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期中）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)A作的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)交內(nèi)部于點(diǎn)P，交邊于點(diǎn)D，連結(jié)，若，的面積分別為4、2，則的面積是（

）A．24 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】根據(jù)ASA可證，由全等的性質(zhì)可得，，即P是中點(diǎn)，由等底同高可得，，，從而計(jì)算，故得出答案．【詳解】由題可得：，，，在與中，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，求等底同高的面積，掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】利用ASA證明三角形全等（求角的度數(shù)）例4．（2022·重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，，點(diǎn)D在AC邊上，，AE和BD相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，即可求出．(1)解：證明：和相交于點(diǎn)，．在和中，，．又，，．在和中，，；(2)解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定．【即學(xué)即練4】4.（2022?叢臺(tái)區(qū)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．【分析】（1）要證明△ABE≌△ACF，由題意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，從而可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)可以求得∠ADC的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC80°．答：∠ADC的度數(shù)為80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．【知識(shí)拓展5】利用ASA證明三角形全等（證明類(lèi)）例5．（2021?岫巖縣月考）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD、CE相交于點(diǎn)G，BD＝DC，DF∥BC交AB于點(diǎn)F，連接FG．求證：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【分析】（1）由“ASA”可證△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可證△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（ASA）；（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，在△DFA和△DFG中，，∴△DFA≌△DFG（SAS），∴FA＝FG．∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，找到正確的全等三角形是本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】5.（2021?漣源市八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，E為邊BC上的任意點(diǎn)，D為線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求證：∠DAE＝∠C；（2）求證：AF＝BC．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，由余角的性質(zhì)可得∠C＝∠BAD，再證明∠BAD＝∠DAE即可解決問(wèn)題．（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】證明：（1）∵AB＝AE，D為線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，（三線(xiàn)合一沒(méi)有學(xué)習(xí)到，可以用全等證明）∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．能力拓展能力拓展考法01利用ASA證明三角形全等（探究類(lèi)）【典例1】（2021?嶗山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD＝AB．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線(xiàn)DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE；（2）請(qǐng)找出線(xiàn)段AB、DE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，進(jìn)而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）證得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1.（2021?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠1＝∠2．（1）說(shuō)明△ADE≌△BFE的理由；（2）聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，得AE＝BE，即可證明△ADE≌△BFE；【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA），（2）如圖，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的三線(xiàn)合一等知識(shí)，找出全等所需的條件是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·福建·泉州五中七年級(jí)期末）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)A且PQ//BC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且點(diǎn)D在直線(xiàn)PQ上（不與點(diǎn)A重合）．(1)如圖1，DE與AC交于點(diǎn)M，若DF⊥PQ于點(diǎn)D交AB于點(diǎn)F，求證：△BDF≌△MDA；(2)在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，試猜想線(xiàn)段BD、ED、EM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，（2）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BD＝ED?EM，證明見(jiàn)解析；(3)成立，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）首先證明△ADF是等腰直角三角形，再根據(jù)ASA證明三角形全等；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明△BDF≌△PDA，即可得到BD＝DM＝ED?EM；（3）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明△BDF≌△MDA，即可得到BD＝DM＝ED?EM．（1）證明：如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵PQ∥CB，∴∠DAF＝∠ABC＝45°，∴，∵DF⊥PQ，∴△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF，，，∵∠1＋∠FDE＝90°，∠FDE＋∠2＝90°，

∴∠1＝∠2，在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA）；（2）解：結(jié)論：BD＝ED?EM．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，由（1）知∠DAF＝∠ABC＝45°，則△ADF為等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2．在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED?EM；

（3）解：結(jié)論成立．證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∵PQ∥CB，∴∠FAD＝∠ABC＝45°，∴△ADF為等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，

∵∠BDF＝∠BDA＋∠ADF，∠MDA＝∠BDM＋∠ADB，且∠ADF＝∠BDM＝90°，∴，在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED?EM．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2021?浦東新區(qū)期末）根據(jù)下列已知條件，能作出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能畫(huà)出三角形，故本選項(xiàng)不合題意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能畫(huà)出唯一三角形，故本選項(xiàng)不合題意；C．當(dāng)∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC的唯一性；D．已知三個(gè)角，不能畫(huà)出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，正確把握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2022·河南焦作·八年級(jí)期末）如圖，聰聰書(shū)上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快畫(huà)了一個(gè)與書(shū)本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫(huà)圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫(huà)出．【詳解】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握判定定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3.（2021?簡(jiǎn)陽(yáng)市期中）如圖，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度數(shù)為（）A．50° B．30° C．45° D．25°【分析】由題中條件易證得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性質(zhì)可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC∠DOC＝25°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，找到相應(yīng)等量關(guān)系的角是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）在△ABC與△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，∠A＝∠D，能得到△ABC≌△DFE的方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理進(jìn)行判斷即可得出答案．【詳解】解：在△ABC與△DFE中∴故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，AE⊥BD，垂足為M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．68° B．70° C．71° D．74°【答案】D【分析】用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=112°，用全等三角形的性質(zhì)證明∠BED=∠BAD即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，∴∠BAC=112°，在△BMA和△BME中，．∴△BMA≌△BME（ASA），∴BA=BE，在△BDA和△BDE中，，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED=∠BAD=112°，∴∠CED=68°，∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6.（2022?鐵西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥AB，連接DF交AC于點(diǎn)E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，則BD的長(zhǎng)是．【分析】先由全等三角形的判定定理ASA證明△AED≌△CEF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AD＝CF，從而求得BD的長(zhǎng)度．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），又∵AB＝7，CF＝4，AB＝AD+BD，∴BD＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.（2022?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓，他們想要測(cè)量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小華在自己家陽(yáng)臺(tái)C處測(cè)得E處的俯角為∠1，小明站在E處測(cè)得眼睛F到AB樓端點(diǎn)A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．【分析】過(guò)F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，在△AFG與△ECD中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：?jiǎn)卧獦茿B的高39米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·遼寧鐵嶺·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B、D、C、F在同一條直線(xiàn)上，，，．AB與DE相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．【答案】，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題中條件和平行線(xiàn)的性質(zhì)證出≌，即可證明．【詳解】解：∵，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．9.（2021?蒼南縣一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求證：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度數(shù)．【分析】（1）由“ASA”可證△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，還考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，難度適中．10．（2022·廣東·八年級(jí)）已知銳角，，于，于F，交于E．

求證：ΔBDE≌

若BD=8，DC=6，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）10．【分析】（1）由題意可得AD=BD，由余角的性質(zhì)可得∠CBE=∠DAC，根據(jù)“ASA”可證△BDE≌△ADC；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC，由三角形的面積公式可求BE的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：∵，∠ABC=45°∴∠ABC=∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DA⊥BC，BE⊥AC∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠CBE=90°∴∠CBE=∠DAC，∵AD=BD，∠ADC=∠ADB=90°∴△BDE≌△ADC{ASA）；（2）∵△BDE≌△ADC∴AD=BD=8，CD=DE=6，BE=AC∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2021·浙江杭州·八年級(jí)期中）已知，，，的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，根據(jù)中所對(duì)的邊與所對(duì)的邊相等，可判斷，中，角所對(duì)的邊未知，進(jìn)而不能與進(jìn)行全等判斷，故排除，即可求得答案．【詳解】在中，在中，，故D選項(xiàng)正確，在與中，在中，,為70°角所對(duì)的邊，在中，角所對(duì)的邊未知，故不能判斷A,B,C故選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在與判定三角形全等時(shí)，注意對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．2．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，已知OF平分，于D點(diǎn)，于E點(diǎn)，F(xiàn)是OF上的另一點(diǎn)，連接DF、EF．判斷圖中有幾對(duì)全等三角形（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義、垂直的性質(zhì)，可得，，由全等三角形的判定（角邊角）可得；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由全等三角形的判定（邊角邊）得出；利用全等三角形的性質(zhì)及，可得，，，根據(jù)全等三角形的判定（角邊角）得出．【詳解】OF平分，，，，．．，．．．．．共有3對(duì)全等三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的理解與運(yùn)用能力．涉及以下知識(shí)點(diǎn)：角平分線(xiàn)分得的兩個(gè)角相等，都等于該角的一半；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；兩全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．明確全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．（2021·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．【答案】(2,4)【分析】過(guò)點(diǎn)A作ACx軸，過(guò)點(diǎn)B作BDy軸，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)E，根據(jù)三角形全等判定定理得出?，即可得出AC、DE的長(zhǎng)，由此得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作ACx軸，過(guò)點(diǎn)B作BDy軸，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)E，∵，∴，，∵，，，∴，，在與中，，?，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目考查全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出相應(yīng)輔助線(xiàn)，構(gòu)造出全等三角形是解題關(guān)鍵．4．（2020·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，已知的面積為12，平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則的面積為_(kāi)________________．【答案】6【分析】根據(jù)三角形中線(xiàn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴,∴E是AD的中點(diǎn)，在中，BE是AD邊上的中線(xiàn)，∴，在中，CE是AD邊上的中線(xiàn)，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，熟知三角形的中線(xiàn)可以將三角形的面積分為相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東·平遠(yuǎn)縣教師發(fā)展中心七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)．(1)如果CFBE，說(shuō)明：△BDE≌△CDF；(2)若CF，BE是△ABC的BC邊上的中線(xiàn)AD及其延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F，請(qǐng)猜想BF與CE的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BFCE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，通過(guò)兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等即可證明△BDE≌△CDF；（2）先證CFBE，利用（1）中結(jié)論得△BDE≌△CDF，推出，利用SAS證明△BDF≌△CDE，推出，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，可得BFCE．（1）證明：∵CFBE，∴∠FCD﹦∠EBD．∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴．在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF．（2）解：BFCE．理由如下：如圖，連接BF,CE．∵CF⊥AD于F，BE⊥AD于E，∴CFBE．由（1）的結(jié)論可知△BDE≌△CDF，∴．∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD=CD．在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE．∴，∴BFCE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，三角形中線(xiàn)的定義等，熟練掌握全等三角形的判定方法、平行線(xiàn)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知在與中，，點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，射線(xiàn)分別平分．(1)如圖1，試說(shuō)明的理由；(2)如圖2，當(dāng)交于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)，求與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1），，可知，進(jìn)而可說(shuō)明；（2）如圖1所示，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)K，分別平分，則設(shè)，為的外角，，同理，，得；又由（1）中證明可知，，進(jìn)而可得到結(jié)果；（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作，則，，可得，由（1）中證明可得，在中，，即，進(jìn)而可得到結(jié)果．(1)證明：又在和中．(2)解：．理由如下：如圖1所示，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)K分別平分則設(shè)為的外角同理可得即．又由（1）中證明可知由三角形內(nèi)角和公式可得即．(3)解：當(dāng)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作，則，即由（1）中證明可得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有即即即，解得：故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，連接并延長(zhǎng)，利用三角形外角性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖1，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC．（1）求證：ABDE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作PQ交AB于P，交DE于Q，求證：CP＝CQ．（3）如圖3，若AB＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接PQ，當(dāng)線(xiàn)段PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直接寫(xiě)出t的值為．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）1或2【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，可證AB∥DE；（2）由“ASA”可證△DCQ≌△BCP，可得CP＝CQ；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得DQ＝BP，列出方程可求解．【詳解】解：（1）證明：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，在△DCQ和△BCP中，，∴△DCQ≌△BCP（ASA），∴CP＝CQ；（3）解：由（2）可知：當(dāng)線(xiàn)段PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，△DCQ≌△BCP，可得DQ＝BP，∴4﹣3t＝t或3t﹣4＝t，∴t＝1或2．故答案為：1或2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇泰州·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線(xiàn)段AC于E．（1）當(dāng)∠BDA＝120°時(shí)，∠EDC＝；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）10°，?。唬?）當(dāng)DC等于4時(shí)，△ABD≌△DCE，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用平角的定義計(jì)算∠EDC的度數(shù)，幾何圖形可判斷點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變小；（2）先證明∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，則CD＝BA＝4時(shí)，可根據(jù)“ASA”判定△ABD≌△DCE．【詳解】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變?。还蚀鸢笧?0°，小；（2）當(dāng)DC等于4時(shí)，△ABD≌△DCE．理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，而∠B＝∠ADE＝50°，∴∠CDE＝∠BAD，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握判定定理是解答此題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1.（2021?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】證明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性質(zhì)可得PQ＝QH＝5，根據(jù)MQ＝NQ＝9，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵M(jìn)Q⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，，∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．2．（2022?高州市期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，AD，BE相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠FCD＝∠DAC；③CF⊥AB；④若BF＝2EC，則△FDC周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【分析】延長(zhǎng)CF交AB于H，先利用“ASA”證明△DBF≌△DAC，得出BF＝AC，DF＝DC，可判斷①符合題意；由∠FDC＝90°，得出∠DFC＝∠FCD＝45°，再由三角形外角的性質(zhì)，可判斷②不符合題意；由∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，得出∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，得出CF⊥AB，可判斷③符合題意；由BF＝2EC，BF＝AC，可證明BE垂直平分AC，得出AF＝CF，BA＝BC，得出△FDC的周長(zhǎng)＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，可判斷④符合題意；即可得出答案．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CF交AB于H，∵AD，BE分別為BC，AC邊上的高，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝45°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠DAC+∠ACB＝∠DBF+∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△DBF和△DAC中，，∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF＝AC，DF＝DC，∴①符合題意；∵∠FDC＝90°，∴∠DFC＝∠FCD＝45°，∵∠DFC＞∠DAC，∴∠FCD＞∠DAC，∴②不符合題意；∵∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，∴CF⊥AB，∴③符合題意；∵BF＝2EC，BF＝AC，∴AC＝2EC，∴AE＝EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，BA＝BC，∴△FDC的周長(zhǎng)＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，∴④符合題意；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江·臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】△ABC的角平分線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)P，∠PAB=∠BAC，∠ABP=∠ABC，∠PAB+∠ABP=45o，①∠APB=180o-(∠PAB+∠ABP)＝135°，②過(guò)P作PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，作PK⊥AB，則PK=PM=PN，證ΔANP≌ΔFMP（ASA）即可，③證ΔHNP≌ΔDMP（ASA）即可，④連接CP，因?yàn)镻N=PM，PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，則CP平分∠ACB．【詳解】△ABC的角平分線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)P，∠PAB=∠BAC,∠ABP=∠ABC,∠PAB+∠ABP=∠BAC+∠ABC=(∠BAC+∠ABC)=45o②∠APB=180o-(∠PAB+∠ABP)＝135°②過(guò)P作PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，作PK⊥AB，∵△ABC的角平分線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)P，∴則PK=PM=PN，∵AP⊥PF,∴∠APN+∠NPH=90o，∠FPM+∠NPH==90o，∴∠APN=∠FPM，∵∠ANP=∠FMP=90o，∴ΔANP≌ΔFMP（ASA），∴PA=PF，③∵∠ACB=90o，PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，∴則四邊形CMPA為矩形，又∵PM=PN，∴則四邊形CMPA為正方形，∵∠NPM=90o，AP⊥PF,∴∠NPH+∠MPH=90o，∠DPM+∠MPH=90o，∴∠NPH=∠DPM，∵∠MPH=∠HNP=∠DMP=90o，PN=PM，∴ΔHNP≌ΔDMP（ASA），∴PH=PD，④連接CP，因?yàn)镻N=PM，PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，則CP平分∠ACB．故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題考查兩內(nèi)角平分線(xiàn)的交角，全等三角形，證角平分線(xiàn)問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和，三角形全等，和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，會(huì)用這些知識(shí)解決問(wèn)題．4．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，△ABC的面積為10cm2，AP垂直∠B的平分線(xiàn)BP于P，則△PBC的面積為（

）A．3cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)垂直的平分線(xiàn)于，即可求出，又知和等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可得到的面積．【詳解】解：延長(zhǎng)交于，垂直的平分線(xiàn)于，，又知，，，，，和等底同高，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等判定，三角形面積的知識(shí)點(diǎn)．證明出三角形的面積和原三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系是解題的難點(diǎn)．5.（2021?揭陽(yáng)期末）已知△ABC，點(diǎn)D、F分別為線(xiàn)段AC、AB上兩點(diǎn)，連接BD、CF交于點(diǎn)E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如圖1所示，試說(shuō)明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如圖2所示，試說(shuō)明此時(shí)∠BAC與∠BEC的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，若∠BAC＝60°，試說(shuō)明：EF＝ED．【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠EBCABC，∠ECBACB，于是得到結(jié)論；（3）作∠BEC的平分線(xiàn)EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBCABC，∠ECBACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC；（3）作∠BEC的平分線(xiàn)EM交BC于M，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝90°BAC＝120°，∴∠FEB＝∠DEC＝60°，∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝60°，在△FBE與△EBM中，，∴△FBE≌△EBM（ASA），∴EF＝EM，同理DE＝EM，∴EF＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，垂直的定義，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵6．（2021·山東威?！て吣昙?jí)期中）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)____可以判定_____，得出______．這樣就能把線(xiàn)段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線(xiàn)AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線(xiàn)”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線(xiàn)”——把中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種做輔助線(xiàn)的方法稱(chēng)為“中線(xiàn)加倍”法．【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線(xiàn)，，，且．直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)＝______．【答案】（1）；；；；（2）見(jiàn)解析；（3）7．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進(jìn)而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線(xiàn)加倍”法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．7．（2022·甘肅蘭州·七年級(jí)期末）如圖①，OP是∠MON的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形．參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線(xiàn)，AD、CE相交于點(diǎn)F．求∠EFA的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)你判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明道理．（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（2）中所得結(jié)論