八年級數(shù)學上冊專題12.2.3 三角形全等的判定3（ASA）（教師版）

專題12.2.3三角形全等的判定3（ASA）目標導航目標導航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用““ASA”條件判定兩個三角形全等；2.使學生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗操作、歸納得出數(shù)學結論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動，培養(yǎng)學生觀察分析圖形的能力及運算能力，培養(yǎng)學生樂于探索的良好品質以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識精講知識精講知識點01三角形全等的判定3：（ASA）知識點三角形全等的判定3：角邊角（ASA）文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應相等，那么這兩個三角形全等；圖形：符號：在與中，【微點撥】1.方法總結：利用全等三角形可以解決線段之間的關系，比如線段的相等關系、和差關系等，解決問題的關鍵是運用全等三角形的判定與性質進行線段之間的轉化．2.全等三角形對應邊上的高也相等.【知識拓展1】角邊角判定三角形全等的條件例1．（2021?宜興市期中）如圖，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根據(jù)“ASA”使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是．【分析】利用ASA定理添加條件即可．【解答】解：還需添加的條件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案為：∠B＝∠D．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．【即學即練】1.（2021?覃塘區(qū)期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF，那么需要補充的條件是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角邊角對應相等，只需找出一對對應角相等即可，進而得出答案．【解答】解：需要補充的條件是∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．故選：B．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵．【知識拓展2】利用ASA判定三角形全等（實際應用）例2．（2022·廣東·佛山市惠景中學七年級期中）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離．我軍戰(zhàn)士想到一個辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點；然后轉過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點上；最后，他用步測的辦法量出自己與點的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結論．【詳解】解：∵士兵的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點B，然后轉過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上，∴∠A=∠D，∵，，∴∠ACB=∠DFE=90°，∵AC=DF，∴判定△ABC≌△DFE的理由是ASA，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的應用，分析題意找到相等的角和邊判定三角形的全等是解題的關鍵．【即學即練】2.（2022·江蘇·八年級課時練習）小淇同學沿一段筆直的人行道行走，在由A處步行到達B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標語，其具體信息匯集如下：如圖，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足為D，已知AB＝25米，請根據(jù)上述信息求標語CD的長度．【答案】25m【分析】利用平行線的性質和題意證明△ABO≌△CDO，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得出結論．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO．∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°．∴∠ABO＝90°．即OB⊥AB．∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴OB＝OD．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA）．∴CD＝AB＝25（m）．答：標語CD的長度為25m．【點睛】本題考查了平行線的性質和全等三角形的判定和性質，靈活選用判定三角形全等的方法是解題的關鍵．3．（2022·廣東湛江·八年級期末）如圖，小明把一塊三角形的玻璃片打碎成三塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全相同的玻璃片，那么最省事的辦法是帶_________去．【答案】③【分析】根據(jù)全等三角形的判定可即可求解．【詳解】解：第①塊和第②塊都沒有保留完整的邊，而全等三角形的判定定理中，至少存在一條邊，第③塊保留了一邊邊和兩個角，則利用ASA判定定理可得到一個全等三角形，進而可帶③去，故答案為：③．【點睛】本題考查了全等三角形的條件，解題的關鍵是需要注意的是只靠一個角或兩條邊不能等得到全等．【知識拓展3】利用ASA證明三角形全等（求線段的長度）例3．（2021·陜西榆林·七年級期末）如圖，中，于，于，與交于點，，，則的長為（

）A．2 B．5 C．4 D．7【答案】A【分析】先證△ADC≌△BDE(ASA)，再由全等三角形的對應邊相等得DE=DC=3，再根據(jù)AE=AD-DE即可求解．【詳解】解：∵，∴∠ADC=∠BDE=90°，∠AFE=90°，又∵∠AEF=∠BED，∴∠CAD=∠EBD在△ADC與△BDE中∴△ADC≌△BDE(ASA)，∴DE=DC=3，∴AE=AD-DE=5-3=2．故答案為：2．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，解題關鍵是理清題意進行合理推理．【即學即練1】3．（2022·吉林長春·八年級期中）如圖，在中，過點A作的平分線的垂線交內(nèi)部于點P，交邊于點D，連結，若，的面積分別為4、2，則的面積是（

）A．24 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】根據(jù)ASA可證，由全等的性質可得，，即P是中點，由等底同高可得，，，從而計算，故得出答案．【詳解】由題可得：，，，在與中，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，求等底同高的面積，掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．【知識拓展4】利用ASA證明三角形全等（求角的度數(shù)）例4．（2022·重慶市第九十五初級中學校七年級階段練習）如圖，已知，，點D在AC邊上，，AE和BD相交于點O．(1)求證：；(2)若，，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，即可求出．(1)解：證明：和相交于點，．在和中，，．又，，．在和中，，；(2)解：，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質與判定．【即學即練4】4.（2022?叢臺區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長AF至點D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．【分析】（1）要證明△ABE≌△ACF，由題意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，從而可以證明結論成立；（2）根據(jù)（1）中的結論和等腰三角形的性質可以求得∠ADC的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC80°．答：∠ADC的度數(shù)為80°．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質及三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【知識拓展5】利用ASA證明三角形全等（證明類）例5．（2021?岫巖縣月考）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD、CE相交于點G，BD＝DC，DF∥BC交AB于點F，連接FG．求證：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【分析】（1）由“ASA”可證△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性質可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可證△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得結論．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（ASA）；（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，在△DFA和△DFG中，，∴△DFA≌△DFG（SAS），∴FA＝FG．∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，找到正確的全等三角形是本題的關鍵．【即學即練5】5.（2021?漣源市八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，E為邊BC上的任意點，D為線段BE的中點，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求證：∠DAE＝∠C；（2）求證：AF＝BC．【分析】（1）由等腰三角形的性質可得AD⊥BC，由余角的性質可得∠C＝∠BAD，再證明∠BAD＝∠DAE即可解決問題．（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】證明：（1）∵AB＝AE，D為線段BE的中點，∴AD⊥BC，（三線合一沒有學習到，可以用全等證明）∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．能力拓展能力拓展考法01利用ASA證明三角形全等（探究類）【典例1】（2021?嶗山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點D在BC的延長線上，且BD＝AB．過點B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點E．（1）求證：△ABC≌△BDE；（2）請找出線段AB、DE、CD之間的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，進而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）證得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．變式1.（2021?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠1＝∠2．（1）說明△ADE≌△BFE的理由；（2）聯(lián)結EG，那么EG與DF的位置關系是，請說明理由．【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因為E是AB的中點，得AE＝BE，即可證明△ADE≌△BFE；【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中點，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA），（2）如圖，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的三線合一等知識，找出全等所需的條件是解題的關鍵．變式2．（2022·福建·泉州五中七年級期末）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線PQ過點A且PQ//BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且點D在直線PQ上（不與點A重合）．(1)如圖1，DE與AC交于點M，若DF⊥PQ于點D交AB于點F，求證：△BDF≌△MDA；(2)在圖2中，DE與CA延長線交于點M，試猜想線段BD、ED、EM的數(shù)量關系，并證明你的猜想．(3)在圖3中，DE與AC延長線交于點M，（2）中結論是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)BD＝ED?EM，證明見解析；(3)成立，證明見解析．【分析】（1）首先證明△ADF是等腰直角三角形，再根據(jù)ASA證明三角形全等；（2）過點D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點F，根據(jù)ASA證明△BDF≌△PDA，即可得到BD＝DM＝ED?EM；（3）過點D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點F，根據(jù)ASA證明△BDF≌△MDA，即可得到BD＝DM＝ED?EM．（1）證明：如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵PQ∥CB，∴∠DAF＝∠ABC＝45°，∴，∵DF⊥PQ，∴△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF，，，∵∠1＋∠FDE＝90°，∠FDE＋∠2＝90°，

∴∠1＝∠2，在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA）；（2）解：結論：BD＝ED?EM．證明：如圖2，過點D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點F，由（1）知∠DAF＝∠ABC＝45°，則△ADF為等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2．在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED?EM；

（3）解：結論成立．證明：如圖3，過點D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點F，∵PQ∥CB，∴∠FAD＝∠ABC＝45°，∴△ADF為等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，

∵∠BDF＝∠BDA＋∠ADF，∠MDA＝∠BDM＋∠ADB，且∠ADF＝∠BDM＝90°，∴，在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED?EM．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、平行線的性質等知識點，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．（2021?浦東新區(qū)期末）根據(jù)下列已知條件，能作出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能畫出三角形，故本選項不合題意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能畫出唯一三角形，故本選項不合題意；C．當∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4時，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC的唯一性；D．已知三個角，不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，正確把握全等三角形的判定方法是解題關鍵．2．（2022·河南焦作·八年級期末）如圖，聰聰書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學知識很快畫了一個與書本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出．【詳解】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的判定的實際運用，熟練掌握判定定理并靈活運用是解題的關鍵．3.（2021?簡陽市期中）如圖，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度數(shù)為（）A．50° B．30° C．45° D．25°【分析】由題中條件易證得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性質可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC∠DOC＝25°．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質，三角形外角的性質等知識點，找到相應等量關系的角是解題的關鍵．4．（2022·山東濟南·七年級期末）在△ABC與△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，∠A＝∠D，能得到△ABC≌△DFE的方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理進行判斷即可得出答案．【詳解】解：在△ABC與△DFE中∴故選：C．【點睛】此題考查了三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．5．（2022·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．68° B．70° C．71° D．74°【答案】D【分析】用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=112°，用全等三角形的性質證明∠BED=∠BAD即可解決問題．【詳解】解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，∴∠BAC=112°，在△BMA和△BME中，．∴△BMA≌△BME（ASA），∴BA=BE，在△BDA和△BDE中，，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED=∠BAD=112°，∴∠CED=68°，∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，故選：D．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．6.（2022?鐵西區(qū)期末）如圖，點D是△ABC的邊AB上一點，F(xiàn)C∥AB，連接DF交AC于點E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，則BD的長是．【分析】先由全等三角形的判定定理ASA證明△AED≌△CEF，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等知AD＝CF，從而求得BD的長度．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF（全等三角形的對應邊相等），又∵AB＝7，CF＝4，AB＝AD+BD，∴BD＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．7.（2022?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點E，然后小華在自己家陽臺C處測得E處的俯角為∠1，小明站在E處測得眼睛F到AB樓端點A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．【分析】過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．【解答】解：過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，在△AFG與△ECD中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：單元樓AB的高39米．【點評】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．8．（2022·遼寧鐵嶺·七年級期末）如圖，點B、D、C、F在同一條直線上，，，．AB與DE相等嗎？說說你的理由．【答案】，理由見解析【分析】根據(jù)題中條件和平行線的性質證出≌，即可證明．【詳解】解：∵，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質和全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．9.（2021?蒼南縣一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為對角線BD上一點，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求證：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度數(shù)．【分析】（1）由“ASA”可證△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性質可得BD＝BC，由等腰三角形的性質可求解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，還考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，難度適中．10．（2022·廣東·八年級）已知銳角，，于，于F，交于E．

求證：ΔBDE≌

若BD=8，DC=6，求線段BE的長度．

【答案】（1）見解析；（2）10．【分析】（1）由題意可得AD=BD，由余角的性質可得∠CBE=∠DAC，根據(jù)“ASA”可證△BDE≌△ADC；（2）由全等三角形的性質可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC，由三角形的面積公式可求BE的長度．【詳解】（1）證明：∵，∠ABC=45°∴∠ABC=∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DA⊥BC，BE⊥AC∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠CBE=90°∴∠CBE=∠DAC，∵AD=BD，∠ADC=∠ADB=90°∴△BDE≌△ADC{ASA）；（2）∵△BDE≌△ADC∴AD=BD=8，CD=DE=6，BE=AC∴【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，靈活應用全等三角形的判定與性質成為解答本題的關鍵．題組B能力提升練1．（2021·浙江杭州·八年級期中）已知，，，的相關數(shù)據(jù)如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，根據(jù)中所對的邊與所對的邊相等，可判斷，中，角所對的邊未知，進而不能與進行全等判斷，故排除，即可求得答案．【詳解】在中，在中，，故D選項正確，在與中，在中，,為70°角所對的邊，在中，角所對的邊未知，故不能判斷A,B,C故選D【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，解題的關鍵在與判定三角形全等時，注意對應邊和對應角相等．2．（2022·湖北武漢·八年級期中）如圖，已知OF平分，于D點，于E點，F(xiàn)是OF上的另一點，連接DF、EF．判斷圖中有幾對全等三角形（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義、垂直的性質，可得，，由全等三角形的判定（角邊角）可得；根據(jù)全等三角形的性質可得，，由全等三角形的判定（邊角邊）得出；利用全等三角形的性質及，可得，，，根據(jù)全等三角形的判定（角邊角）得出．【詳解】OF平分，，，，．．，．．．．．共有3對全等三角形．故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定與性質的理解與運用能力．涉及以下知識點：角平分線分得的兩個角相等，都等于該角的一半；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；兩全等三角形的對應邊相等，對應角相等．明確全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．3．（2021·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，，，則點的坐標是___________．【答案】(2,4)【分析】過點A作ACx軸，過點B作BDy軸，兩直線相交于點E，根據(jù)三角形全等判定定理得出?，即可得出AC、DE的長，由此得出結論．【詳解】解：如圖所示：過點A作ACx軸，過點B作BDy軸，兩直線相交于點E，∵，∴，，∵，，，∴，，在與中，，?，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】題目考查全等三角形的判定與性質，根據(jù)題意作出相應輔助線，構造出全等三角形是解題關鍵．4．（2020·浙江杭州·八年級期末）如圖，已知的面積為12，平分，過點作于點，交于點，連結，則的面積為_________________．【答案】6【分析】根據(jù)三角形中線的性質可得，，據(jù)此計算即可．【詳解】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴,∴E是AD的中點，在中，BE是AD邊上的中線，∴，在中，CE是AD邊上的中線，∴，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，三角形中線的性質，熟知三角形的中線可以將三角形的面積分為相等的兩部分是解題的關鍵．6．（2022·廣東·平遠縣教師發(fā)展中心七年級期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點．(1)如果CFBE，說明：△BDE≌△CDF；(2)若CF，BE是△ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E、F，請猜想BF與CE的位置關系？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)BFCE，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，通過兩角及其夾邊對應相等即可證明△BDE≌△CDF；（2）先證CFBE，利用（1）中結論得△BDE≌△CDF，推出，利用SAS證明△BDF≌△CDE，推出，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得BFCE．（1）證明：∵CFBE，∴∠FCD﹦∠EBD．∵AD是BC邊上的中線，∴．在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF．（2）解：BFCE．理由如下：如圖，連接BF,CE．∵CF⊥AD于F，BE⊥AD于E，∴CFBE．由（1）的結論可知△BDE≌△CDF，∴．∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD．在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE．∴，∴BFCE．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，平行線的性質與判定，三角形中線的定義等，熟練掌握全等三角形的判定方法、平行線的性質定理和判定定理是解題的關鍵．7．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎谂c中，，點在同一直線上，射線分別平分．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，當交于點G時，設，求與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)當時，求的度數(shù)．【答案】(1)理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1），，可知，進而可說明；（2）如圖1所示，連接并延長至點K，分別平分，則設，為的外角，，同理，，得；又由（1）中證明可知，，進而可得到結果；（3）如圖2所示，過點C作，則，，可得，由（1）中證明可得，在中，，即，進而可得到結果．(1)證明：又在和中．(2)解：．理由如下：如圖1所示，連接并延長至點K分別平分則設為的外角同理可得即．又由（1）中證明可知由三角形內(nèi)角和公式可得即．(3)解：當時，如圖2所示，過點C作，則，即由（1）中證明可得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有即即即，解得：故．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質、角平分線的性質等知識，連接并延長，利用三角形外角性質證得是解題的關鍵．8．（2022·全國·八年級）如圖1，AE與BD相交于點C，AC＝EC，BC＝DC．（1）求證：ABDE；（2）如圖2，過點C作PQ交AB于P，交DE于Q，求證：CP＝CQ．（3）如圖3，若AB＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿A→B→A方向以3cm/s的速度運動，點Q從點D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)．當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（s）．連接PQ，當線段PQ經(jīng)過點C時，直接寫出t的值為．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）1或2【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，可證AB∥DE；（2）由“ASA”可證△DCQ≌△BCP，可得CP＝CQ；（3）由全等三角形的性質可得DQ＝BP，列出方程可求解．【詳解】解：（1）證明：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，在△DCQ和△BCP中，，∴△DCQ≌△BCP（ASA），∴CP＝CQ；（3）解：由（2）可知：當線段PQ經(jīng)過點C時，△DCQ≌△BCP，可得DQ＝BP，∴4﹣3t＝t或3t﹣4＝t，∴t＝1或2．故答案為：1或2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解本題的關鍵．9．（2021·江蘇泰州·七年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，點D在線段BC上運動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDA＝120°時，∠EDC＝；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由．【答案】（1）10°，?。唬?）當DC等于4時，△ABD≌△DCE，證明見解析．【分析】（1）利用平角的定義計算∠EDC的度數(shù)，幾何圖形可判斷點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變??；（2）先證明∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，則CD＝BA＝4時，可根據(jù)“ASA”判定△ABD≌△DCE．【詳解】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變??；故答案為10°，?。唬?）當DC等于4時，△ABD≌△DCE．理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，而∠B＝∠ADE＝50°，∴∠CDE＝∠BAD，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA）．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握判定定理是解答此題的關鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1.（2021?德城區(qū)校級月考）如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】證明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性質可得PQ＝QH＝5，根據(jù)MQ＝NQ＝9，即可解決問題．【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，，∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．（2022?高州市期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，AD，BE相交于點F，連接CF，則下列結論：①BF＝AC；②∠FCD＝∠DAC；③CF⊥AB；④若BF＝2EC，則△FDC周長等于AB的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【分析】延長CF交AB于H，先利用“ASA”證明△DBF≌△DAC，得出BF＝AC，DF＝DC，可判斷①符合題意；由∠FDC＝90°，得出∠DFC＝∠FCD＝45°，再由三角形外角的性質，可判斷②不符合題意；由∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，得出∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，得出CF⊥AB，可判斷③符合題意；由BF＝2EC，BF＝AC，可證明BE垂直平分AC，得出AF＝CF，BA＝BC，得出△FDC的周長＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，可判斷④符合題意；即可得出答案．【解答】解：如圖，延長CF交AB于H，∵AD，BE分別為BC，AC邊上的高，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝45°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠DAC+∠ACB＝∠DBF+∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△DBF和△DAC中，，∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF＝AC，DF＝DC，∴①符合題意；∵∠FDC＝90°，∴∠DFC＝∠FCD＝45°，∵∠DFC＞∠DAC，∴∠FCD＞∠DAC，∴②不符合題意；∵∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，∴CF⊥AB，∴③符合題意；∵BF＝2EC，BF＝AC，∴AC＝2EC，∴AE＝EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，BA＝BC，∴△FDC的周長＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，∴④符合題意；故選B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，外角的性質，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．3．（2022·浙江·臺州市書生中學八年級期中）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結論：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，∠PAB=∠BAC，∠ABP=∠ABC，∠PAB+∠ABP=45o，①∠APB=180o-(∠PAB+∠ABP)＝135°，②過P作PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，作PK⊥AB，則PK=PM=PN，證ΔANP≌ΔFMP（ASA）即可，③證ΔHNP≌ΔDMP（ASA）即可，④連接CP，因為PN=PM，PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，則CP平分∠ACB．【詳解】△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，∠PAB=∠BAC,∠ABP=∠ABC,∠PAB+∠ABP=∠BAC+∠ABC=(∠BAC+∠ABC)=45o②∠APB=180o-(∠PAB+∠ABP)＝135°②過P作PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，作PK⊥AB，∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，∴則PK=PM=PN，∵AP⊥PF,∴∠APN+∠NPH=90o，∠FPM+∠NPH==90o，∴∠APN=∠FPM，∵∠ANP=∠FMP=90o，∴ΔANP≌ΔFMP（ASA），∴PA=PF，③∵∠ACB=90o，PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，∴則四邊形CMPA為矩形，又∵PM=PN，∴則四邊形CMPA為正方形，∵∠NPM=90o，AP⊥PF,∴∠NPH+∠MPH=90o，∠DPM+∠MPH=90o，∴∠NPH=∠DPM，∵∠MPH=∠HNP=∠DMP=90o，PN=PM，∴ΔHNP≌ΔDMP（ASA），∴PH=PD，④連接CP，因為PN=PM，PM⊥AC于N，PN⊥BC于M，則CP平分∠ACB．故選擇：D．【點睛】本題考查兩內(nèi)角平分線的交角，全等三角形，證角平分線問題，關鍵是掌握三角形內(nèi)角和，三角形全等，和角平分線的性質，會用這些知識解決問題．4．（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，△ABC的面積為10cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（

）A．3cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【分析】延長交于，根據(jù)垂直的平分線于，即可求出，又知和等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可得到的面積．【詳解】解：延長交于，垂直的平分線于，，又知，，，，，和等底同高，．故選：B．【點睛】本題主要考查三角形全等判定，三角形面積的知識點．證明出三角形的面積和原三角形的面積之間的數(shù)量關系是解題的難點．5.（2021?揭陽期末）已知△ABC，點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如圖1所示，試說明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如圖2所示，試說明此時∠BAC與∠BEC的數(shù)量關系；（3）在（2）的條件下，若∠BAC＝60°，試說明：EF＝ED．【分析】（1）根據(jù)余角的性質得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到結論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠EBCABC，∠ECBACB，于是得到結論；（3）作∠BEC的平分線EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根據(jù)角平分線的性質得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根據(jù)全等三角形的性質得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到結論．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBCABC，∠ECBACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC；（3）作∠BEC的平分線EM交BC于M，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝90°BAC＝120°，∴∠FEB＝∠DEC＝60°，∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝60°，在△FBE與△EBM中，，∴△FBE≌△EBM（ASA），∴EF＝EM，同理DE＝EM，∴EF＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，垂直的定義，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵6．（2021·山東威?！て吣昙壠谥校?shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)____可以判定_____，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．【答案】（1）；；；；（2）見解析；（3）7．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質以及三角形三邊的關系求解即可；（2）延長ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質得到，然后利用SAS證明，得到，，進而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長AD交EC的延長線于點F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質得到，最后根據(jù)全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長AD交EC的延長線于點F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定方法，三角形的三邊關系，“中線加倍”法的運用，解題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線構造全等三角形．7．（2022·甘肅蘭州·七年級期末）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．求∠EFA的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，請你判斷FE與FD之間的數(shù)量關系，并說明道理．（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（2）中所得結論