八年級數(shù)學上冊專題14.2 乘法公式（學生版）

專題14.2乘法公式目標導航目標導航1、掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2、學會運用平方差公式、完全平方公式進行計算；了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3、能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。知識精講知識精講知識點01平方差公式知識點平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式：兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數(shù)的平方差。注：①字母a、b僅是一個表達式，即可以表示一個數(shù)字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。②在套用平方差公式時，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理?！局R拓展1】平方差公式的幾何背景例1．（2022·山東·昌樂七年級期末）下列選項中，能利用圖形的面積關系不能解釋平方差公式的是（

）A． B．C． D．【即學即練】1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)大瀝謝邊南橋?qū)W校七年級期中）從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后將其裁成2個長方形，然后將這兩個長方形拼成一個新的長方形（如圖所示），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式為（

）

A．B．C．D．2．（2022·安徽宣城·七年級期中）如圖1所示，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．(1)設圖1中的陰影部分的面積是，圖2中陰影部分，請直接用含，的代數(shù)式表示，；(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式：(3)試利用這個公式計算：【知識拓展2】平方差公式的基本運用例2．（2022·安徽·合肥七年級期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．個 B．個 C．個 D．個【即學即練】3．（2022·遼寧·朝陽市第八中學七年級期中）利用乘法公式計算：____________．4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·八年級期末）的結(jié)果是______．知識點02完全平方公式知識點完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積注：①a、b僅是一個符號，可以表示數(shù)、字母、單項式或多項式；②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導除一些變式①②注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導出來?！局R拓展1】完全平方公式的幾何背景例1．（2022·福建·三明一中七年級階段練習）如圖所示，請完成下列問題：(1)填空：最大正方形的面積可用兩種形式分別表示為______或______．(2)通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)一個重要的整式乘法公式，你能寫出嗎？若可以，請寫出來．【即學即練1】1．（2022·蘇州市平江中學校七年級期中）如圖，將甲圖中陰影部分無重疊、無縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關系得到的等式是（）A． B．C． D．2．（2022·吉林市第五中學八年級期末）如圖1，有甲、乙、丙三種紙片，其中甲是邊長為a的正方形，乙是長為a，寬為b的長方形，丙是邊長為b的正方形（a＞b）．(1)如圖2，用甲、丙紙片各1張，乙紙片2張，可以緊密拼接成一個大正方形，請根據(jù)圖形的面積寫出一個乘法公式；(2)若要用這三種紙片緊密拼接成一個邊長為（2a+b）大正方形，則需要取甲、乙、丙紙片各多少張．【知識拓展2】完全平方公式的基本運用例2．（2022·陜西八年級開學考試）若，則的值為（）A．2 B．5 C．8 D．10【即學即練2】3．（2022·福建月考）下列計算正確的是（）A．B．C．D．4．（2022·沭陽縣修遠中學）先化簡，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1【知識拓展3】完全平方公式的含參問題例3．（2022·山東·寧陽八年級階段練習）已知是完全平方式，則m的值為（

）A．8 B． C．24 D．【即學即練3】3．（2022·山東·寧陽八年級階段練習）當__________時，是完全平方公式．【知識拓展4】完全平方公式的知二求二例4．（2022·湖南雙峰·七年級期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求和的值．【即學即練4】4．（2022·重慶七年級期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，則xy＝________．5．（2022·遼寧·丹東七年級期末）若，則的值為_______．知識點03乘法公式拓展知識點==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc同樣，a、b、c可以通過換元。如令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc立方和與立方差公式：；完全立方和與完全立方差：=【知識拓展1】三個數(shù)的完全平方公式例1．（2022·山東威?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形．（1）若用不同的方法計算這個正方形的面積，就可以得到一個等式，這個等式可以為______（只要寫出一個即可）；（2）請利用（1）中的等式解答下列問題：①若三個實數(shù)a，b，c滿足，，求的值；②若三個實數(shù)x，y，z滿足，，求的值．【即學即練1】1．（2022·福建）我們知道:有些代數(shù)恒等式可以利用平面圖形的面積來表示，如：就可以用如圖所示的面積關系來說明．(1)請根據(jù)如圖寫出代數(shù)恒等式,并根據(jù)所寫恒等式計算：(2)若求的值；(3)現(xiàn)有如圖中的彩色卡片:A型、B型、C型，把這些卡片不重疊不留縫隙地貼在棱長為的100個立方體表面進行裝飾，A型、B型、C型卡片的單價分別為0.7元/張、0.5元/張、0.4元/張，共需多少費用?【知識拓展2】立方公式例2．（2022·廣東·佛山市七年級階段練習）（1）用兩種不同方法計算同圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為a，寬為b（a＞b）的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之間的等量關系式．（2）類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：．（3）利用上面所得的結(jié)論解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值．②已知|a+b﹣5|+（ab﹣6）2＝0，求a3+b3的值．【即學即練2】2．（2022·四川·金堂七年級期中）用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為x，寬為y(xy)的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可得到、、xy三者之間的等量關系式：__________；如圖2所示的大正方體是若干個小正方體和長方體拼成的，用兩種不同的方法計算大正方體的體積，我們也可以得到一個等式：__________．利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；（2）已知，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．3．（2022·無錫市天一實驗學校七年級期中）（知識生成）通常情況下，用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式．（1）如圖1，根據(jù)圖中陰影部分（4個完全相同的小長方形）的面積可以得到的等式是：．（知識遷移）類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的情況，也可以得到一個恒等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割成8塊．（2）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為：．（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規(guī)律求的值．能力拓展能力拓展考法01整式乘法的歸納猜想問題【典例1】（2022·河南南陽·八年級階段練習）我國宋朝數(shù)學家楊輝年的著作《詳解九章算法》給出了在（為非負整數(shù)）的展開式中，把各項系數(shù)按一定的規(guī)律排成右表（展開后每一項按的次數(shù)由大到小的順序排列）．人們把這個表叫做“楊輝三角”．據(jù)此規(guī)律，則展開式中含項的系數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·四川·宣漢縣峰城中學七年級期中）探究應用：(1)計算：＝；＝；(2)上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：；（請用含a、b的字母表示）．(3)直接用公式計算：＝；＝．變式2．（2022·福建寧德·七年級期中）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考從簡單的情形入手，先分別計算下列各式的值：①；②；③；…你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考從簡單的情形入手．先分別計算下列各式的值：①；②；③；…(1)由此我們可以得到：①_______；②_______．(2)請你利用上面的結(jié)論，完成下面的計算：．考法02配方的運用【典例2】（2022·河南·鎮(zhèn)平九年級階段練習）閱讀材料例：求代數(shù)式的最小值．解：，可知x=-1時，有最小值，最小值是-8，根據(jù)上面的方法解決下列問題：(1)當x為何值時，取得最大值？最大值是多少？(2)直接寫出多項式最小值是．變式1．（2022·貴州遵義八年級階段練習）閱讀材料：若，求、的值．解：，，，，，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，求的值；(2)已知的三邊長、、都是正整數(shù)，且滿足，求的最大邊的值；(3)已知，，則．變式2．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)實驗初級中學八年級階段練習）由得，；如果兩個正數(shù)a，b，即，則有下面的不等式：，當且僅當時取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當且僅當時，即時，式子有最小值，最小值為4．請根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當，式子x+的最小值為；(2)當，代數(shù)式最大值為多少？并求出此時x的值；(3)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？分層提分分層提分題組A基礎過關練1．（2022·汕頭市八年級期末）若，，則的值為（）A． B． C． D．22．（2022·隆昌市知行中學月考）下列乘法中，能運用完全平方公式進行運算的是（）A．(x+a)(x-a)B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b)D．(a+b)(-a-b)3．（2022·綿陽市初二課時練習）如果，那么a、b的值分別為（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；254．（2022·杭州市七年級期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．則a2﹣4b2＝_____．5．（2022·四川甘孜·初二期末）已知，則__________．6．（2022·上海市羅南中學七年級階段練習）計算：_______________________7．（2022·山東·濱州市八年級期末）若代數(shù)式是一個完全平方式，則__．8．（2022·河北·原競秀學校七年級期中）如圖，有兩個邊長分別為a，b的正方形A，B（a＞b＞0），現(xiàn)將B放在A內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．（1）若a＝5，b＝3則圖甲陰影部分面積為______；（2）若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為m和n，則正方形A，B的面積之和為______（用含m，n的代數(shù)式表示）．9．（2022·河南南陽·八年級階段練習）已知，．求：(1)的值；(2)的值．10．（2022·杭州市七年級期中）先化簡，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．11．（2022·福建·漳州市七年級階段練習）運用整式乘法公式簡便計算：．題組B能力提升練1．（2022·河南·南陽市第十三中學校八年級階段練習）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）A．B．C．D．2．（2022·山東菏澤·七年級期末）如圖所示，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的等式為（

）A． B．C． D．3．（2022·湖南岳陽·初一期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，例如利用如圖1可以得到，那么利用如圖2所得到的數(shù)學等式是（）.A． B．C． D．4．（2022·湖南雙峰·七年級期中）無論，為何值，代數(shù)式的值總是（）A．非負數(shù) B． C．正數(shù) D．負數(shù)5．（2022·廣西興業(yè)·月考）代數(shù)式的最小值為（）．A． B． C． D．6．（2022·山東威?！て吣昙壠谥校┤鐖D，現(xiàn)有甲，乙，丙三種不同的紙片．貝貝要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，她先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則她還需取丙紙片的塊數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．87．（2022·內(nèi)蒙古七年級階段練習）若，則的值是（

）A． B． C． D．8．（2021·江門市第二中學初二月考）若，則________________.9．（2022·湖南永州·七年級期末）根據(jù)，，，…的規(guī)律，則可以得出的末位數(shù)字是______．10．（2022·四川·大竹縣文星中學七年級期中）探究應用：(1)計算：①；②；(2)上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你能發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：______（請用含a，b的式子表示）(3)下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是（

）A．

B．C．

D．(4)直接用公式寫出計算結(jié)果：______．11．（2022·四川射洪中學月考）已知，求代數(shù)式的值．12．（2022·揚州七年級期中）閱讀材料：例題：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．參照上面材料，解決下列問題：（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．13.（2022·陜西咸陽·七年級期中）如圖1所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成4個小長方形，然后按圖2的方式拼成一個正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積；方法1：______；方法2：______；(2)由（1）寫出，，mn這三個代數(shù)式之間的等量關系：______；(3)根據(jù)（2）中得到的等量關系，解答問題：若，，求．14．（2022·江蘇·七年級期中）【知識生成】通過第九章的學習：我們已經(jīng)知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學等式，請結(jié)合圖形解答下列問題：(1)寫出圖1中所表示的數(shù)學等式_________．(2)如圖2，是用4塊完全相同的長方形拼成正方形，用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積，得到的數(shù)學等式是________．(3)【知識應用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；(4)【靈活應用】圖3中有兩個正方形A、B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得到圖甲，將A、B并列放置后構(gòu)造新的正方形得到圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為2和11，則正方形A，B的面積之和_______．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·江蘇·揚州市七年級期中）我國南宋數(shù)學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）．1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

……

……請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項的系數(shù)是（

）A．2022 B． C． D．40422．（2022·浙江瑞安.初一期中）已知是一個有理數(shù)的平方，則不能為（）A． B． C． D．3．（2022·鄭州七年級月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，則（m﹣53）2+（m﹣47）2的值為（）A．136 B．86 C．36 D．504．（2022·湖南·岳陽八年級階段練習）已知，則的值是___________．5．（2022·四川師范大學附屬實驗學校八年級期中）當k＝_____時，100－kxy+49是一個完全平方式．6．（2022·湖北·八年級期末）已知關于x的式子－x2＋4x，當x＝______時，式子有最_____值，這個值是______．7．（2022·江西撫州·七年級期中）如圖，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形（），把余下的部分剪拼成一個矩形．(1)通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是：_________A．

B．C．

D．(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：，，求的值；②計算：．