2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題五　第3講　統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的分析38

第3講統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的分析[考情分析]高考對本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，常與概率綜合考查，中等難度．考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征核心提煉1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．例1(1)(多選)(2023·海南模擬)為了向社會輸送優(yōu)秀畢業(yè)生，中等職業(yè)學(xué)校越來越重視學(xué)生的實(shí)際操作(簡稱實(shí)操)能力的培養(yǎng)．中職生小王在對口工廠完成實(shí)操產(chǎn)品100件，質(zhì)檢人員測量其質(zhì)量(單位：克)，將所得數(shù)據(jù)分成5組：[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]．根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量在[99,101)內(nèi)的為優(yōu)等品．對于這100件產(chǎn)品，下列說法正確的是()A．質(zhì)量的平均數(shù)為99.7克(同一區(qū)間的平均數(shù)用區(qū)間中點(diǎn)值代替)B．優(yōu)等品有45件C．質(zhì)量的眾數(shù)在區(qū)間[98,100)內(nèi)D．質(zhì)量的中位數(shù)在區(qū)間[99,101)內(nèi)(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差易錯提醒(1)對于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率．跟蹤演練1(1)(多選)(2023·鹽城模擬)隨機(jī)抽取6位影迷對某電影的評分，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：92,93,95,95,97,98，則下列關(guān)于該樣本的說法中正確的有()A．平均數(shù)為95 B．極差為6C．方差為26 D．第80百分位數(shù)為97(2)(2023·葫蘆島模擬)游戲?qū)η嗌倌甑挠绊懢薮螅呈星嗌倌杲】倒芾砦瘑T會對該市下學(xué)年度青少年上網(wǎng)打游戲的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出如圖所示的人數(shù)變化走勢圖．根據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論正確的是()A．這半年中，青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)呈周期性變化B．這半年中，青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)不斷減少C．從青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)來看，10月份的方差小于11月份的方差D．從青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)來看，12月份的平均數(shù)大于1月份的平均數(shù)考點(diǎn)二回歸分析核心提煉求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時可省略)．(2)計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．例2(2023·唐山模擬)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元)與某類商品銷售額(單位：億元)的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\i\su(i＝1,10,x)ieq\i\su(i＝1,10,y)ieq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\x\to(y))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))379.6391246.904568.9m(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.以此推斷，y與x的線性相關(guān)程度是否很強(qiáng)？(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值與樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；(3)根據(jù)(2)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，計(jì)算第1個樣本點(diǎn)(32.2,25.0)對應(yīng)的殘差(精確到0.01)；并判斷若剔除這個樣本點(diǎn)再進(jìn)行回歸分析，eq\o(b,\s\up6(^))的值將變大還是變小？(不必說明理由，直接判斷即可)．附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\r(2.304)≈1.518，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易錯提醒(1)樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶．(3)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時，看|r|的大小，而不是r的大?。?4)區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值．跟蹤演練2(2023·雅安模擬)2023年5月17日，318·川藏線零公里自駕游大本營旅游推介暨“5·17我要騎”雅安站活動在雨城區(qū)拉開帷幕，318·川藏線零公里自駕游大本營再次成為關(guān)注焦點(diǎn).318·川藏線零公里自駕游大本營項(xiàng)目以“此生必駕318，首站打卡在雅安”，“世界第三極，雅安零公里”的交旅IP為文化指引，利用雅安交通區(qū)位和品牌資源優(yōu)勢，創(chuàng)新打造吸引力體驗(yàn)項(xiàng)目，提高雅安川藏游的話語權(quán)和影響力．近段時間某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對騎行情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分x與對應(yīng)用時y(單位：小時)如表：身體綜合指標(biāo)評分(x)12345用時(y/小時)9.58.67.876.1(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．參考數(shù)據(jù)和參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，eq\r(7060)≈84.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)核心提煉獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計(jì)算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．χ2越大，對應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大．例3我國綜合性太陽探測專用衛(wèi)星“夸父一號”是中國科學(xué)院空間科學(xué)二期先導(dǎo)專項(xiàng)研制的一顆空間科學(xué)衛(wèi)星，衛(wèi)星以“一磁兩暴”為科學(xué)目標(biāo)，即同時觀測太陽磁場和太陽．上兩類最劇烈的爆發(fā)現(xiàn)象——耀斑和日冕物質(zhì)拋射．某學(xué)校為了解該校某興趣小組對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識是否感興趣，對該興趣小組的100位學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，已知被調(diào)查學(xué)生中男生占調(diào)查人數(shù)的55%，其中感興趣的有45人，余下的不感興趣，在被調(diào)查的女生中，感興趣的有20人，其余人不感興趣．(1)請補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識感興趣與學(xué)生的性別有關(guān)聯(lián)？感興趣不感興趣合計(jì)男生女生合計(jì)(2)從興趣小組100人中任選1人，A表示事件“選到的人是男生”，B表示事件“選到的人對‘夸父一號’探測衛(wèi)星相關(guān)知識不感興趣”，求P(B|A)；(3)按隨機(jī)抽樣的方法從感興趣的學(xué)生中抽取4名男生和3名女生，組成一個容量為7的樣本，再從抽取的7人中隨機(jī)抽取3人，隨機(jī)變量X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和均值．附：參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：α0.150.100.050.010.005xα2.0722.7063.8416.6357.879________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易錯提醒(1)χ2越大兩分類變量無關(guān)的可能性越小，推斷犯錯誤的概率越小，通過表格查得無關(guān)的可能性．(2)在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為兩個變量有關(guān)，并不是指兩個變量無關(guān)的可能性為0.01.跟蹤演練3(2023·湖南四大名校聯(lián)考)某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.(1)①求王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；②如果王同學(xué)第2天去A餐廳用餐，求他第1天在A餐廳用餐的概率；(2)A餐廳對就餐環(huán)境、菜品種類與品質(zhì)等方面進(jìn)行了改造與提升，改造提升后，A餐廳對就餐滿意程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生的數(shù)據(jù)，如表(單位：人)．就餐滿意程度A餐廳改造提升情況合計(jì)改造提升前改造提升后滿意285785不滿意12315合計(jì)4060100依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對于A餐廳的滿意程度與餐廳的改造提升有關(guān)聯(lián)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________