高考數(shù)學(xué)高考試題-數(shù)學(xué)(湖南卷)(理)

高考數(shù)學(xué)普通高等等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若logzdVO,>1,則(D)

A.a>l,b>0B.a>l,b<0C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

2.對(duì)于非0向時(shí)a,b,"a〃b”的確良(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件I).既不充分也不必要條件

TT

3.將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移°（0K°V2萬(wàn)）的單位后，得到函數(shù)y二sin（x——）的

6

圖象，則。等于(D)

715乃1\TC

A.一B.---CD.——

66-T6

Y

4.如圖1,當(dāng)參數(shù)4=4時(shí)，連續(xù)函數(shù)丁=------（X>0）的圖像分別對(duì)應(yīng)曲線G和。2，

1+A,x

則

[B]

A0<A1<2Bo</<4

c4<0D4<4<0

5.從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入

選的不同選法的種數(shù)位[C]

A85B56C49D28

x-2y>0,,

6.已知D是由不等式組4',所確定的平面區(qū)域，則圓'2+》2=4在區(qū)域口內(nèi)

x+3y>0

的弧長(zhǎng)為[B]

7.正方體ABCD—4&GA的棱上到異面直線AB,CG的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（C）

A.2B.3C.4D.5

8.設(shè)函數(shù)y=/(x)在(-8,+oo)內(nèi)有定義。對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)

f(x),f(x)<K

fM=<

kKJ(x)>K

取函數(shù)/(x)=2—x—eL若對(duì)任意的xe(+oo,—oo),恒有/(x)=/(x),則

A.K的最大值為2B.K的最小值為2

C.K的最大值為1D.K的最小值為1【D】

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的

橫線上

9.某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)兵乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不

喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為」

10.在(1+%)3+(1+4>+(1+也)的展開(kāi)式中，X的系數(shù)為—?(用數(shù)字作答)

11、若xG(0,工)則2tanx+tan(工-x)的最小值為2a.

22一一'

12、已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°,

則雙曲線C的離心率為二

2

13、??個(gè)總體分為A,B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容

量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位50。

14、在半徑為13的球面上有A,B,C三點(diǎn)，AB=6,BC=8,CA=10,則

(1)球心到平面ABC的距離為12；

(2)過(guò)A,B兩點(diǎn)的大圓面為平面ABC所成二面角為(銳角)的正切值為

15、將正/ABC分割成〃2(n22,n€N)個(gè)全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了

n=2,3的情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于/ABC的三遍及平行于某邊的任

一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A,B,C處的三個(gè)

數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)=—,....f(n)=

3

-(n+l)(n+2)

6

三.解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

在A45C,已知2施.前=麗卜|尼卜38。2,求角A,B,C的大小。

解：設(shè)BC=a,AC=b,AB=c

由2而?怒=百|(zhì)麗川標(biāo)|得2AcosA=V^c,所以cosA

又人￡（0,左），因此A=—

6

由薪川怒卜38c2得be=0/,于是sinC?sinB=6sin2A-^-

所以sinOsin（區(qū)一C）=—^,sinC■（—cosC+—sinC）=,因此

64224

2sinC-cosC+2V3sin2C=>/3,sin2C-V3cos2C=0,既sin（2C-?）=0

.TVj_5兀兀c_7t47...

由人=一知0<C<—,所以一一，2C一—<——，從而

66333

2。一工=0,或2C—工=肛，既。=工，或。=紅，故

3363

4兀D2^-乃萬(wàn)D加「2萬(wàn)

636663

17.（本小題滿分12分）

為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)

工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.」、現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從

236

中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。

（I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率;

（II）記J為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求J的

分布列及數(shù)學(xué)期望。

解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件

A，%G，i=i，2,3.由題意知A44相互獨(dú)立，4〃員相互獨(dú)立,aC2c3相互獨(dú)立，

A，B1，G(i，j，k=l,2,3,且i,j,k互不相同)相互獨(dú)立，目一P(4)=,P(B,)=|,

P(C,)=-

'6

(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率

P=3!P(AC,)=6P(A)P(8,)P(C3)=6x-x-x-=-

1231232366

(2)解法1設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為〃，由己已知，B(3,1),

且4=3〃°

所以P(J=0)=P(7/=3)=

P4=1)=P(7=2)=c^(j)3(|)=I

4

P(4=2)=P(7=1)=

9

P(g=3)=P(7=0)=C°

故&的分布是

40123

p1248

279927

J的數(shù)學(xué)期望E^=0x—+lx-+2x-+3x—=2

279927

解法2第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件2,

i=l,2,3,由此已知，D}?D,4相互獨(dú)立，且

11?

P(￡).)-(A,,C.)=P(A.)+P(C,)=—+—=—

11111263

221

K

所以久-8(3,§),既PC=K)=Cf(-)(])3-K,女=0,1,2,3.

故g的分布列是

40123

P1248

279927

18.（本小題滿分12分）

如圖4,在正三棱柱ABC—A?G中，AB=42AA

D是AM的中點(diǎn)，點(diǎn)E在4G上，且。E_L4E。

（I）證明平面AOEJ■平面ACGA

（II）求直線和平面ABC所成角的正弦值。

解（I）如圖所示，由正三棱柱ABC—4B￡的性質(zhì)知A%_L平面A4G

又DEU平面A|B|C],所以DE_LAA「

而DE_LAE。AA,P|AE=A所以DE_L平面ACgA〕，又DEU平面ADE,故平面ADE_L平面

ACCjA??

（2）解法1如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF,由正三楂柱ABC-A?B?Ci

的性質(zhì)及D是A|B的中點(diǎn)知A|B_1C|D,A|BJ,DF

又C|DnDF=D,所以A|B_L平面C|DF,

而AB〃A|B,所以

AB_L平面gDF,又ABU平面ABC,故

平面ABC]J■平面C]DF?

過(guò)點(diǎn)D做DH垂直C|F于點(diǎn)H,則DHL平面ABC1。

連接AH,貝ljNHAD是AD和平面ABC?所成的角。

由已知AB=J^AA「不妨設(shè)AA|=&,則AB=2,DF=痣，Dg=6,

V2xV3730

C]F=6AD=JAA：+AO?=百,DH=

GF亞一工

rriil.,DHVio

所以sinNHAD=-------=--------。

AD5

即直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為巫。

15

解法2如圖所示，設(shè)。使AC的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)建立空

間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

AA產(chǎn)正，則AB=2,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(0,-l70),B(V3,0,0),C](0,1,V2),—,V2)。

2

易知A8=(百，1,0),AC}=(0,2,V2),AD二,

設(shè)平面ABg的法向量為n=(x,y,z)，則有

jnAB-y/3x+y=0,

[w-AC,=2y+^l~2z—0,

解得x=-^^y,z=-V2y,

故可取n=(l,-V3,V6)o

所以，AD)=

cos(n?-

\n[ADVioxV35

由此即知，直線AD和平面AB3所成角的正弦值為

15

19.(本小題滿分13分)

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距機(jī)米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的

橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為X米的相鄰兩墩之間的橋面

工程費(fèi)用為(2+4)x萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，月.不考慮其他因素，

記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元。

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(II)當(dāng)機(jī)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？

解(I)設(shè)需要新建〃個(gè)橋墩，(〃+l)X=機(jī)，即11='一1

X

所以y=f(x)=256n+(n+l)(2+Vx)x=256(―-1)+—(2+Vx)x

xx

256x/—八”，

=-----FmyJx+2m-256.

x

,qA[33

(ID由(I)知，/'(》)=一^^+上〃比3=2(——512).

x22x

3

令/'(x)=0,得4=512,所以x=64

當(dāng)0<x<64時(shí)/'(x)<0,/(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；

當(dāng)64<x<640時(shí)，f\x)>0./(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，

640

所以/(x)在x=64處取得最小值，此時(shí)，—-1=9.

x64

故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小。

20(本小題滿分13分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F(3,0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍

之和記為d,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)忖，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和

(I)求點(diǎn)P的軌跡C；

(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M,N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最大值。

解(I)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則d=4而三二丁+3|x-2|

由題設(shè)

當(dāng)x>2時(shí)，由①得J(X-3)2+>2=6-;x,

化簡(jiǎn)得二+廣=1.

3627

當(dāng)xK2時(shí)由①得J(3+x)2+y2=3+x,

化簡(jiǎn)得y2=12x

22

故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓G：寶+言=1在直線x=2的右側(cè)

部分與拋物線：V=12x在直線x=2的左側(cè)部分(包括

它與直線x=2的交點(diǎn))所組成的曲線，參見(jiàn)圖1

(0)如圖2所示，易知直線x=2與G，的交點(diǎn)都是A

(2,276),

B(2,一2&)，直線AF,BF的斜率分另IJ為火.=一2遙，kBF=14b.

當(dāng)點(diǎn)P在G上時(shí)，由②知

|尸可=6一;X.(4)

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由③知

|PF|=3+x⑤

若直線I的斜率k存在，則直線I的方程為y=Mx-3)

(i)當(dāng)或即kW-2痛時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M(玉，y,),

N(x,y)都在C上，此時(shí)由④知

2，21?

IMF|=6-—x,|NF|=6-—x

2122

從而|MNI二IMF|+|NF|=(6-—x)+(6--x)=12--(x,+x)

22222

y=k(x-3)

22得（）則王，%是這個(gè)方程的兩根,

由，y3+4//-24/x+36^—108=0

-X----+1-------11

3627

24人2112k2

所以M+x=------7*IMN|=12-—(M+X)=12-

123+4/2123+4/

因?yàn)楫?dāng)女＜2#,或kN2j^l寸,％2?24,

與=—=與

F+4

當(dāng)且僅當(dāng)人=±26時(shí)，等號(hào)成立。

⑵當(dāng)L〈人<L，一2遙<k<2幾時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)”（XQJNQ,%）

分別在C,,C2上，不妨設(shè)點(diǎn)M在G上，點(diǎn)。2上，則④⑤知，

\MF\^6-^xt,\NF\^3+x2

設(shè)直線AF與橢圓C,的另一交點(diǎn)為E（%,%）,則與<X],X2<2.

q=6—gx1<6_（/=|EF|,|NF|=3+X2<3+2=?可

所以附時(shí)=1"/|+加邛<怪尸|+|4尸|=|4同。而點(diǎn)A,E都在G上，且

"￡=-2"，有⑴知卜目=一^,所以|A/N|<

若直線z的斜率不存在，則/=々=3，此時(shí)

|MN|=12—*+々）=9<與

綜上所述，線段MN長(zhǎng)度的最大值為國(guó)

11

21.（本小題滿分13分）

對(duì)于數(shù)列｛〃“｝若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意的〃eN',恒有

U

“J+\n-Un_\+...+\ll2-u\<M

則稱數(shù)列｛〃“｝為B-數(shù)列

（1）首項(xiàng)為1,公比為4（卜|<1）的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由;

請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；

A組：①數(shù)列｛%｝是B-數(shù)列②數(shù)列｛%｝不是B-數(shù)列

B組：③數(shù)列｛S.｝是B-數(shù)列④數(shù)列｛S“｝不是B-數(shù)列

請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（3）若數(shù)列｛6,｝,也｝都是5-數(shù)列，證明：數(shù)列｛a/,｝也是B-數(shù)列。

解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為｛《,｝,則為=/i,于是

\a?-八|=|廣,一廣21=同"一2卜_1,〃22

因此Ian+l-anI+Ian-an_xI+--?+Ia2-atI=,一1|（1+@+,「

因?yàn)橥?,所以1+同+|4+...+同1=上也＜一^，即

1-團(tuán)1-圖

K+l~an