高考數(shù)學(xué)原創(chuàng)試題命制下的創(chuàng)新

ξ原創(chuàng)試題命制下的創(chuàng)新主講人：雍謙INNOVATIONINMATHCONTENT

一、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題命制的背景二、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題定義的界定三、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題命制的原那么四、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題命制的方法20世紀(jì)末，為了順應(yīng)時(shí)代的開展，世界各國紛紛制定了新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，提出了新的數(shù)學(xué)課程改革方案，而我國中小學(xué)教育也是在這樣的時(shí)代背景下，提出了素質(zhì)教育.如何為未來培養(yǎng)和選拔具有創(chuàng)造精神和創(chuàng)造能力的人才?高考就肩負(fù)了這個(gè)重任，命題人也試圖在高考試卷中以“情景新、結(jié)構(gòu)新和內(nèi)容新”的創(chuàng)新題來檢查考生的創(chuàng)新潛能和創(chuàng)新意識(shí).一、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題命制的背景：學(xué)界：認(rèn)為創(chuàng)新題是指以考生已有的知識(shí)為根底，并給出一定容量的新的定義信息，通過閱讀獲取有關(guān)信息，捕捉解題資料，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，找出解決方法，并應(yīng)用于新問題解答的一類題目.

二、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的界定著名的數(shù)學(xué)家張奠宙教授：簡單地說，創(chuàng)新題首先要首創(chuàng)，其次是創(chuàng)新，最后是有教育價(jià)值。一般地說，這類題都有特定的背景，它的背景可以是實(shí)際背景，也可以是數(shù)學(xué)情景。創(chuàng)新題的知識(shí)內(nèi)容大致是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所涉及的主體內(nèi)容而不是一些帶有競賽性或者是初等數(shù)學(xué)研究性的難題.創(chuàng)新題的類型沒有限制，可以是思考題、技巧題、開放題、情景題、應(yīng)用題等等.二、數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的界定◎科學(xué)性原那么◎適應(yīng)性原那么◎人文性原那么◎時(shí)代性、開展性原那么◎研究性、應(yīng)用性原那么三、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題命題原那么〔一〕情境創(chuàng)新法四、數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的命制方法

情境創(chuàng)新法指的是通過在題目中給定一些新信息(如新的概念、新的關(guān)系、新的運(yùn)算等)，或是依托有意義的、社會(huì)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的、對(duì)考生來說是“新”的問題情境(包括實(shí)際問題情境與數(shù)學(xué)問題情境)，來編擬試題的方法.考查考生通過觀察分析、閱讀理解，探索獲取有用的信息，與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)進(jìn)行同化，并靈活地將所學(xué)知識(shí)遷移到新的情境之中，從而創(chuàng)造性的解決問題.其包括實(shí)際問題情景和數(shù)學(xué)問題情景創(chuàng)新法.【例1】〔1998年全國卷〕向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與H水深的函數(shù)關(guān)系的圖像如下圖，那么水瓶的形狀是〔〕【簡解】利用直覺思維，認(rèn)真觀察四個(gè)幾何體的形狀與所給函數(shù)圖像的關(guān)系，抓住特殊位置，可以取OH的中點(diǎn)，從圖像可知，當(dāng)高為一半時(shí)，其體積過半，圖中只有B符合題意.而A,C,D的圖像應(yīng)該為以下圖所示.【評(píng)價(jià)】此題以日常生活中常見的容器注水問題創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情景，形式簡單，但是經(jīng)過修飾后，完全給人一種耳目一新的感覺:改變了傳統(tǒng)給定瓶子的形狀和尺寸，求注水量與水深的函數(shù)關(guān)系式及其圖像.這樣做不僅有些俗氣，而且主要考查計(jì)算、描點(diǎn)、畫圖，思辨性不強(qiáng)，并且以往考查函數(shù)圖像的試題大多是考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性等在圖像上的特征，此題的設(shè)計(jì)改變了這種固有的模式，摒棄具體的計(jì)算和畫圖，增加了思維量的考查.題中給定注水過程的體積與高度的函數(shù)圖像，讓瓶子的形狀置于選擇性，并且不給相關(guān)數(shù)據(jù)提示，考查考生抽象思維能力;同時(shí)，給定的注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系圖也把細(xì)節(jié)隱去，只突出函數(shù)圖形的起始和終止位置，以及圖像曲線的性態(tài)，沒有切實(shí)標(biāo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的定量關(guān)系.另一方面，題目把水瓶的形狀大都設(shè)計(jì)為立幾中的圓臺(tái)和圓柱，學(xué)生易聯(lián)想到它們的體積公式，假設(shè)正面列函數(shù)解析式可能性很大，結(jié)果花了時(shí)間又失了分.而正確解答沒有現(xiàn)成模式，解法具有較大的靈活性，這樣一來，解答此題的思路即是觀圖看勢，抓其特征.【例2】〔2001年全國卷〕如圖,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示他們有網(wǎng)絡(luò)相連，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，那么單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為〔〕(A)26(B)24(C)20(D)19【評(píng)價(jià)】此題以實(shí)際生活中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)傳輸信息容量為載體創(chuàng)設(shè)問題情景，具有時(shí)代特點(diǎn)隨著科學(xué)技術(shù)的開展，信息時(shí)代信息量的傳播快慢、信息容量多少與人民的生產(chǎn)、生活息息相關(guān).命題人以信息容量為切入點(diǎn)，以網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)傳輸容量—木桶原理為題坯.接下來就是構(gòu)題，首先在每條傳輸線路設(shè)置幾個(gè)節(jié)點(diǎn)，并從A點(diǎn)到B點(diǎn)設(shè)置多條線路，增加題設(shè)的干擾性，從而考查考生分析問題，合理取舍數(shù)據(jù)的能力.同時(shí)在設(shè)置每節(jié)線路的信息容量的數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)置相鄰數(shù)據(jù)，考查考生是否真正理解木桶原理.考生如假設(shè)不理解題意，利用常規(guī)不等式或函數(shù)最值的解法，就容易進(jìn)入誤區(qū).實(shí)際上，可根據(jù)直覺只要類比成“水流量”的最大值或理解為“木桶效應(yīng)”原理，木桶盛水的多少不取決于長的木板，而取決于最短的木板，即取每條線路的最小值之和，也就是從左到右最小值和:3+4十6+6=19.可以看出此題很好地表達(dá)考查目標(biāo):1.考察閱讀理解能力.要求考生在認(rèn)真閱讀、理解題意，提取相關(guān)信息點(diǎn)，如“最大信息量”、“從結(jié)點(diǎn)A到結(jié)點(diǎn)B傳遞信息”、“單位時(shí)間傳遞的最大信息量”，并加工、提煉信息，尋找突破口;2.考察考生的創(chuàng)新意識(shí)，創(chuàng)新潛能，創(chuàng)新思維，尤其是用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的能力.

【題源】此題的背景即是歷史上著名的米勒問題:1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下有趣的問題:在地球外表的什么部位，一根垂直的懸干呈現(xiàn)最長?在米勒的家鄉(xiāng)哥尼斯城堡，稱這個(gè)問題為雷奇奧莫塔努斯極大值問題，此題作為載入世界數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名極值問題的第一個(gè)問題而引人注目.它是這樣描述的:設(shè)點(diǎn)M,N是銳角A0B的一邊OA上的兩點(diǎn)，在另外一邊OB邊上找一點(diǎn)P，使得角MPN最大.【點(diǎn)評(píng)】此題很好地表達(dá)了能力立意，以能力立意命題，不僅是命題方式的變化，更是命題理念和原那么的變化.根據(jù)這一指導(dǎo)思想，高考數(shù)學(xué)以具有開展能力價(jià)值，富有開展?jié)摿Φ?，再生性?qiáng)的能力、方法和知識(shí)為切入點(diǎn)，從測量學(xué)生的開展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手，突出能力考查.在情節(jié)構(gòu)造上，命題人以歷史上著名的米勒問題切入，并在觀塔問題情景中創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情景，具有一定的新穎性.“觀塔”平時(shí)隨處可見，但我們并沒留意其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理，而命題人沒有放過這一細(xì)節(jié)，并且將觀塔問題進(jìn)行加工與修飾成考生所能理解的數(shù)學(xué)語言，這對(duì)教育學(xué)生善于觀察、思考問題具有很好的意義.同時(shí)，為了便于考生理解觀塔問題，題目呈現(xiàn)了兩幅關(guān)聯(lián)圖，一幅具有生活背景，另一幅舍去了無關(guān)細(xì)節(jié)問題，增加了試題來源于生活的真實(shí)性.設(shè)問時(shí)，以角度立意，且讓角度置于一般三角形之中，這不僅需要考生靈活選取方法轉(zhuǎn)化角度問題，而且要將生活化的米勒問題數(shù)學(xué)化.〔二〕知識(shí)內(nèi)容創(chuàng)新法根據(jù)新課標(biāo)2003年4月教育部公布的《普通高中數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)要求》為不同開展方向的學(xué)生特意安排的新內(nèi)容:新課程增加了二分法、矩陣、數(shù)學(xué)史、算法、歐拉公式與閉曲面積分、三等分角、數(shù)列與差分、對(duì)稱與群、統(tǒng)籌法、圖論初步、球面幾何、數(shù)學(xué)史局部、開關(guān)電路與布爾代數(shù)、數(shù)域擴(kuò)充、數(shù)論初步以及信息平安與密碼等.這些新增內(nèi)容為拓廣考生的知識(shí)面，高考考試提供更廣泛的素材，都具有重要的作用.【例4】〔2010年江西卷〕如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面局部的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，那么導(dǎo)函數(shù)y=s'(t)的圖像大致為【簡解】解答此題可以不必做任何計(jì)算，實(shí)際上.y=S’(t)的積分幾何意義就是五角星露出水面的面積，也就是曲線與x軸圍成的面積，分析由初始時(shí)刻和最終時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C;總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B;考察A,D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔儯a(chǎn)生中斷，應(yīng)選就可以選出正確答案A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是新增內(nèi)容—導(dǎo)數(shù)的幾何意義的實(shí)際運(yùn)用，情景新穎，考查內(nèi)容也較新穎.考查的能力因素是直覺思維，直覺思維是一種心智活動(dòng)，是人類思維的一種根本形式.現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為，直覺思維是一種非邏輯的、無意識(shí)的認(rèn)知加工活動(dòng).直覺思維可以幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象、猜測數(shù)學(xué)命題、頓悟解題思路、縮短思維過程、培育數(shù)學(xué)靈感等.情節(jié)關(guān)系上，命題人借助五角星在圓柱形水柱中運(yùn)動(dòng)的清景，綜合導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行考查.題目的精彩之處在于沒有選取三邊形、四邊形，這些簡單易于想象的圖形，選擇了一個(gè)具有對(duì)稱性且在運(yùn)動(dòng)變化的過程中凸顯函數(shù)特殊變化關(guān)系的五角星圖形.并且五角星露出水面的運(yùn)動(dòng)變化過程，具有很好的思考型.數(shù)量關(guān)系上也是以字母代替具體數(shù)據(jù)，具有抽象性.同時(shí)選項(xiàng)設(shè)置上也具有很強(qiáng)的干擾性，對(duì)于檢查考生理解函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象意義及相互關(guān)系具有重要作用.