2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）直線l：x+y+3＝0的傾斜角α為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（±5，0） B．（±1，0） C． D．3．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)為棱BB1的中點(diǎn)，則向量可用向量表示為（）A． B． C． D．4．（5分）若直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．5．（5分）設(shè)圓C1：x2+y2﹣2x+4y＝4，圓C2：x2+y2+6x﹣8y＝0，則圓C1，C2的公切線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．（5分）若直線y＝﹣x+b與曲線x有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[1，） D．（1，）7．（5分）已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且．若△PF1F2的面積為9，則實(shí)數(shù)b的值為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知點(diǎn)P為直線y＝x+1上的一點(diǎn)，M、N分別為圓C1：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4與圓：C2：x2+（y﹣4）2＝1上的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．5 B．6 C．2 D．1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知直線l：x+y﹣2＝0，則（）A．傾斜角為60° B．恒過(guò)點(diǎn)（0，2） C．直線l的方向向量為 D．在x軸上的截距為2（多選）10．（5分）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)m＞6或m＜2時(shí)，曲線C是雙曲線 B．當(dāng)2＜m＜6時(shí)，曲線C是橢圓 C．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m＞6 D．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2＜m＜4（多選）11．（5分）過(guò)點(diǎn)P（2，1）作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．四邊形PAOB的外接圓方程為x2+y2＝2x+y C．直線AB方程為y＝2x+1 D．三角形PAB的面積為（多選）12．（5分）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F（3，0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線y＝t（t＞0）與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的離心率是 B．線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是 C．△ABF的面積存在最大值 D．△AOB的周長(zhǎng)存在最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，則向量與的夾角為．14．（5分）雙曲線y21的漸近線方程為．15．（5分）若直線kx﹣y+1﹣2k＝0與圓x2+y2＝9分別交于M、N兩點(diǎn)．則弦MN長(zhǎng)的最小值為．16．（5分）已知雙曲線方程為，（a＞0，b＞0），兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線AB經(jīng)過(guò)F2與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，其中AB⊥AF1且2|AF2|＝|F2B|，則此雙曲線離心率為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC邊的垂直平分線DE所在直線方程；（2）求△ABC內(nèi)BC邊上中線AD方程．18．（10分）已知圓心為C（0，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓．（1）求此圓C的方程；（2）直線l：y＝ax與圓C相交于A、B兩點(diǎn)．若△ABC為等邊三角形，求直線l的方程．19．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．（1）求線段BC的長(zhǎng)度；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．21．（10分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB1⊥BC．（1）證明：BC⊥AB；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB＝BC＝2，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．22．（10分）已知橢圓的離心率為，F(xiàn)（﹣1，0）為其左焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求△OAB面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）直線l：x+y+3＝0的傾斜角α為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【解答】解：由于直線l：x+y+3＝0的傾斜角為α，則直線的斜率tanα，再由0°≤α＜180°，可得α＝120°，故選：C．2．（5分）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（±5，0） B．（±1，0） C． D．【解答】解：橢圓，a＝2，b，則，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）故選：B．3．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)為棱BB1的中點(diǎn)，則向量可用向量表示為（）A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)為棱BB1的中點(diǎn)，如圖所示，，∴，故選：D．4．（5分）若直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．【解答】解：直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，可得，得：m＝1，故選：A．5．（5分）設(shè)圓C1：x2+y2﹣2x+4y＝4，圓C2：x2+y2+6x﹣8y＝0，則圓C1，C2的公切線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解答】解：圓C1：x2+y2﹣2x+4y＝4?圓，則圓心C1（1，﹣2），半徑為3，圓C2：x2+y2+6x﹣8y＝0?圓，則圓心C2（﹣3，4），半徑為5，∵，∴C1與C2相交，∴有2條公切線．故選：B．6．（5分）若直線y＝﹣x+b與曲線x有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[1，） D．（1，）【解答】解：曲線x表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓在直線y＝0右側(cè)的部分，如圖所示，當(dāng)直線y＝﹣x+b與圓x相切時(shí)，b；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，b＝1，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)．∴實(shí)數(shù)b的范圍是1≤b，故選：C．7．（5分）已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且．若△PF1F2的面積為9，則實(shí)數(shù)b的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由題意得|PF1|+|PF2|＝2a，∵，△PF1F2的面積為9，∴，即|PF1|?|PF2|＝18，且，∴，即4a2﹣36＝4c2，∴a2﹣c2＝9，解得b＝3，故選：A．8．（5分）已知點(diǎn)P為直線y＝x+1上的一點(diǎn)，M、N分別為圓C1：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4與圓：C2：x2+（y﹣4）2＝1上的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．5 B．6 C．2 D．1【解答】解：如圖所示，由圓，可得圓心C1（4，1），半徑為r1＝2，圓，可得圓心C2（0，4），半徑為r2＝1，可得圓心距，所以|PM|+|PN|≥5﹣r1﹣r2＝2，當(dāng)M，N，C1，C2，P共線時(shí)，取得最小值，故|PM|+|PN|的最小值為2．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知直線l：x+y﹣2＝0，則（）A．傾斜角為60° B．恒過(guò)點(diǎn)（0，2） C．直線l的方向向量為 D．在x軸上的截距為2【解答】解：對(duì)于A，直線l：x+y﹣2＝0，即y，故直線斜率k，傾斜角為120°，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)（0，2）滿足方程x+y﹣2＝0，故B正確；對(duì)于C，直線l的斜率為，（1，）與原點(diǎn)連線斜率也是，與直線平行，故直線l的方向向量為，故C正確；對(duì)于D，直線l：x+y﹣2＝0，令y＝0，解得x，故在x軸上的截距為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．（多選）10．（5分）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)m＞6或m＜2時(shí)，曲線C是雙曲線 B．當(dāng)2＜m＜6時(shí)，曲線C是橢圓 C．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m＞6 D．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2＜m＜4【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，若曲線C為雙曲線，則（6﹣m）（m﹣2）＜0，解得m＞6或m＜2，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，若曲線C為橢圓，則，解得2＜m＜4或4＜m＜6，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m﹣2＞6﹣m＞0，解得4＜m＜6，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則6﹣m＞m﹣2＞0，解得：2＜m＜4，∴D正確．故選：AD．（多選）11．（5分）過(guò)點(diǎn)P（2，1）作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．四邊形PAOB的外接圓方程為x2+y2＝2x+y C．直線AB方程為y＝2x+1 D．三角形PAB的面積為【解答】解：對(duì)于A，由題意，，由勾股定理可得，|PA|，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知，PB⊥OB，則PO為所求圓的直徑，所以線段PO的中點(diǎn)為，半徑為，則所求圓的方程為，化為一般方程為x2+y2＝2x+y，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由題意，其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），不妨設(shè)為點(diǎn)B，則AB⊥OP，又，所以kAB＝﹣2，所以直線AB的方程為y＝﹣2x+1，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)镻O⊥AB，且直線OP的方程為，直線AB的方程為y＝﹣2x+1，聯(lián)立方程組，解得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則|BD|，|PD|，故△PBD的面積為，所以△PAB的面積為，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．（多選）12．（5分）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F（3，0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線y＝t（t＞0）與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的離心率是 B．線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是 C．△ABF的面積存在最大值 D．△AOB的周長(zhǎng)存在最大值【解答】解：對(duì)于A：由題意得半圓的方程為x2+y2＝9（x≤0），設(shè)半橢圓的方程為，又橢圓的短軸與半圓的直徑重合，即b＝c＝3，則，則半橢圓的方程為，則橢圓的離心率，故A正確；對(duì)于B：直線y＝t（t＞0）與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C：不妨設(shè)A（x1，t），B（x2，t），則由t2＝9（x1≤0）得，由（x2≥0）得；則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D：△OAB的周長(zhǎng)為，則l（t）在（0，3）上單調(diào)遞減，則△OAB的周長(zhǎng)不存在最大值，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，則向量與的夾角為．【解答】解：因?yàn)?，，，，故答案為：?4．（5分）雙曲線y21的漸近線方程為y．【解答】解：因?yàn)殡p曲線，焦點(diǎn)在y軸，a＝1，，漸近線方程為．故答案為：．15．（5分）若直線kx﹣y+1﹣2k＝0與圓x2+y2＝9分別交于M、N兩點(diǎn)．則弦MN長(zhǎng)的最小值為4．【解答】解：由圓x2+y2＝9，可得圓心O（0，0），半徑為3，又直線kx﹣y+1﹣2k＝0，可化為k（x﹣2）﹣y+1＝0，∴直線過(guò)定點(diǎn)P（2，1），又22+12＜9，∴點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，∴當(dāng)圓心到直線MN距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)MN最小，此時(shí)OP⊥MN，此時(shí)，故答案為：4．16．（5分）已知雙曲線方程為，（a＞0，b＞0），兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線AB經(jīng)過(guò)F2與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，其中AB⊥AF1且2|AF2|＝|F2B|，則此雙曲線離心率為．【解答】解：連接BF1，設(shè)|AF2|＝m，則|F2B|＝2m，由雙曲線的定義可得|F1B|＝|F2B|+2a＝2m+2a，|F1A|＝|F2A|+2a＝m+2a，在直角△AF1B中，，即（2a+m）2+（3m）2＝（2m+2a）2，化簡(jiǎn)可得，在直角△AF1F2中，，即（2a+m）2+m2＝（2c）2，將代入上式，可得，整理可得，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC邊的垂直平分線DE所在直線方程；（2）求△ABC內(nèi)BC邊上中線AD方程．【解答】解：（1）由B（2，1），C（﹣2，3）可得線段BC的中點(diǎn)為（0，2），，因?yàn)镈E是BC邊的垂直平分線，所以kDE＝2，則DE所在直線方程：y﹣2＝2x即2x﹣y+2＝0；（2）由（1）可得線段BC的中點(diǎn)為（0，2），故BC邊上中線AD方程為即2x﹣3y+6＝0，所以△ABC內(nèi)BC邊上中線AD方程：2x﹣3y+6＝0（﹣3＜x＜0）．18．（10分）已知圓心為C（0，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓．（1）求此圓C的方程；（2）直線l：y＝ax與圓C相交于A、B兩點(diǎn)．若△ABC為等邊三角形，求直線l的方程．【解答】解：（1）因?yàn)閳A心為C（0，3），所以圓C的方程設(shè)為x2+（y﹣3）2＝r2，該圓過(guò)，所以，所以圓C的方程為x2+（y﹣3）2＝3；（2）由（1）可知該圓的半徑為因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，所以該等邊三角形的高為，所以圓心C到直線l：y＝ax的距離為，即，所以直線l的方程為或．19．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．（1）求線段BC的長(zhǎng)度；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，∴以DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)BC＝2a，則D（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（2a，1，0），M（a，1，0）、A（2a，0，0），∴，，∵PB⊥AM，∴，解得，∴；（2）∵，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，取，∴cos，∴直線PA與平面PBC所成角正弦值為．20．（15分）已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．【解答】解：（1）∵2c＝6，∴c＝3，又橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a，∴橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為2a+2c＝16．∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2﹣c2＝16，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，