新教材2023版高中數學第1章數列1.3.1等比數列及其通項公式學生用書湘教版選擇性必修第一冊

1．3.1等比數列及其通項公式最新課程標準(1)理解等比數列的概念和通項公式的意義．(2)掌握等比數列的通項公式．(3)能在具體問題情景中，發(fā)現數列的等比關系，并解決相應的問題．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一等比數列的概念1．文字語言：一般地，如果一個數列從第________項起，每一項與它的前一項之比都等于________常數，那么這個數列稱為等比數列?，這個常數叫作等比數列的公比，公比通常用字母________表示．2．符號語言：an+1an＝q?(q為常數，n∈要點二等比數列的通項公式若數列{an}是等比數列，首項為a1，公比為q，則它的通項公式為an＝a1qn－1?.要點三等比中項在兩個數a，b中間插入數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．?批注?比是有順序的，不能有0項！批注?公比q是除0之外的任意實數，當q＝1時，此時為常數列，也是等差數列．批注?公式中有an，a1，q，n四個量，已知其中任意三個量，可以求得第四個量，其中a1，q為兩個基本量．批注?只有當a、b同號時a、b才有等比中項，并且有兩個等比中項，分別是ab與－ab；當a，b異號時沒有等比中項．基礎自測1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若一個數列為{an}，且滿足anan-1＝q(n≥2，q為不等于0的常數(2)在等比數列{an}中，若已知任意兩項的值，則可以求出首項、公比和數列任一項的值．()(3)G為a，b的等比中項?G2＝ab.()(4)若一個數列從第二項開始，每一項都是它前后兩項的等比中項，則這個數列是等比數列．()2．(多選)下列數列不是等比數列的是()A．2，22，3×22，…B．1a，1a2，C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0，0，0，…3．已知{an}是等比數列，a1＝1，a4＝22，則a3＝()A．±2B．2C．－2D．44.3－1與3＋1的等比中項是()A．2B．－2C．±2D．±25．已知等比數列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，則an＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1等比數列通項公式的應用例1在等比數列{an}中(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.方法歸納等比數列中求an的2種常用方法鞏固訓練1(1)在等比數列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，則a2等于()A．12B．18C．24D．36(2)已知{an}為等比數列，且a2＝2，a4＋a6＝1178，則{an}的公比q等于(A．23B．C．－32D．±題型2等比中項及其應用例2已知等比數列的前三項和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項．方法歸納(1)首項a1和q是構成等比數列的基本量，從基本量入手解決相關問題是研究等比數列的基本方法．(2)解題時應注意同號的兩個數的等比中項有兩個，它們互為相反數，而異號的兩個數沒有等比中項．鞏固訓練2如果－1，a，b，c，－9成等比數列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9題型3等比數列的實際應用例3某學校實驗室有濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為取濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液各300ml分別裝入兩個容積都為500ml的錐形瓶A，B中，先從瓶A中取出100ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再從B瓶中取出100ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上兩次混合過程完成后算完成一次操作．設在完成第n次操作后，A瓶中溶液濃度為ang/ml，B瓶中溶液濃度為bng/ml.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)(1)請計算a1，b1，并判定數列{an－bn}是否為等比數列？若是，求出其通項公式；若不是，請說明理由；(2)若要使得A，B兩個瓶中的溶液濃度之差小于0.01g/ml，則至少要經過幾次？方法歸納解等比數列應用題的一般步驟鞏固訓練3某教育網站本月的用戶為500人，網站改造后，預計平均每月的用戶都比上一個月增加10%，那么從本月起，大約經過幾個月可使用戶達到1萬人(精確到1)?易錯辨析忽略等比數列各項的符號規(guī)律致錯例4在等比數列{an}中，a5＝1，a9＝81，則a7＝()A．9或－9B．9C．27或－27D．－27解析：由等比中項的性質得a72＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比數列中的奇數項的符號相同，所以a7答案：B【易錯警示】出錯原因糾錯心得沒有弄清等比數列各項的符號規(guī)律，直接由等比中項得a7＝±9，錯選A.在等比數列中，奇數項的符號相同，偶數項的符號相同．解此類題時要小心謹慎，以防上當．1．3等比數列1．3.1等比數列及其通項公式新知初探·課前預習[教材要點]要點一1．2同一個q(q≠0)[基礎自測]1．(1)√(2)√(3)×(4)×2．解析：A中，222≠3×2222，A不是等比數列；B中，1a21a＝1a31a2＝…，B答案：ACD3．解析：設等比數列{an}的公比為q，則有1×q3＝22＝(2)3，∴q＝2，∴a3＝a4q答案：B4．解析：3－1與3＋1的等比中項是±3-13+1答案：C5．解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴a3a1＝q2＝-8-2＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an答案：－2n或(－2)n題型探究·課堂解透例1解析：(1)因為a4=由②①得q3＝4，從而q＝34，而a1q3＝于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1(2)方法一由已知可得a由②①得q＝12，從而a1又an＝1，所以32×12n-即26－n＝20，所以n＝6.方法二因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.鞏固訓練1解析：(1)設公比為q，由已知得6＋6q＋6q2＝78，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)．∴a2＝6q＝6×3＝18.(2)∵數列{an}為等比數列，∴a4＋a6＝a2q2＋a2q4＝2(q2＋q4)＝1178，即16q4＋16q2－117＝0∴(4q2＋13)(4q2－9)＝0，解得q2＝94，即q＝±32.經檢驗q＝±答案：(1)B(2)D例2解析：設該等比數列的公比為q，首項為a1，因為a2－a5＝42，所以q≠1，由已知，得a1所以a1因為1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝14所以q＝12所以a1＝4212若G是a5，a7的等比中項，則應有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a12q10＝962×1所以a5，a7的等比中項是±3.鞏固訓練2解析：∵－1，a，b，c，－9成等比數列，∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9，∴b<0，∴b＝－3.又b2＝ac，∴ac＝9.答案：B例3解析：(1)由題意，得b1＝0.2×300+2×a1＝0.65×100+200當n≥2時，bn＝1400(300bn－1＋100an－1)＝14(3bn－1＋an－1an＝1300(200an－1＋100bn)＝14(3an－1＋bn－1∴an－bn＝12(an－1－bn－1)∴等比數列{an－bn}的公比為12其首項a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，∴an－bn＝0.9·12(2)由題意可知，問題轉化為解不等