15.3 互斥事件和獨(dú)立事件 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊第15章概率15.3互斥事件和獨(dú)立事件第1課時互斥事件課標(biāo)闡釋1.了解事件間的相互關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解互斥事件、對立事件的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.會用概率的加法公式求某些事件的概率.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)【激趣誘思】在擲骰子試驗(yàn)中,定義如下事件:C1={出現(xiàn)1點(diǎn)},C2={出現(xiàn)2點(diǎn)},C3={出現(xiàn)3點(diǎn)},C4={出現(xiàn)4點(diǎn)},C5={出現(xiàn)5點(diǎn)},C6={出現(xiàn)6點(diǎn)},D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1},D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3},D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5},E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5},F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4},G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)},H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}.在上述事件中,請回答:(1)事件C1與事件C2的并事件是什么?(2)事件D2與事件G及事件C2間有什么關(guān)系?(3)事件C1與事件C2間有什么關(guān)系?(4)事件E與事件F間有什么關(guān)系?【知識梳理】

一、事件的關(guān)系

事件定義表示法圖示互斥事件若事件A與B不可能同時發(fā)生,則A,B為互斥事件若AB=?,則稱A,B為互斥事件

對立事件

對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件互斥事件A和事件C中必有一個發(fā)生.這時,我們稱A,C為對立事件,記作C=或A=___

若AC=?并且A+C=Ω,則稱A,B為對立事件

微思考在同一試驗(yàn)中,設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件,若A∩B=?,則稱A與B是兩個對立事件,此說法對嗎?提示

不對,若A∩B=?,僅能說明A與B的關(guān)系是互斥的,只有A∪B為必然事件,A∩B為不可能事件時,A與B才互為對立事件.微練習(xí)如果事件A,B互斥,那么(

)答案

B解析

二、概率的加法公式如果事件A,B互斥,那么事件A+B發(fā)生的概率,等于事件A,B分別發(fā)生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).

注意公式成立的條件名師點(diǎn)析

(1)對于P(A∪B)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個事件的情況.(2)如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(注:事件A1,A2,…,An中任何兩個事件都是互斥事件,那么稱事件A1,A2,…,An兩兩互斥)微練習(xí)若A,B事件互斥,且有P(A)=0.1,P(B)=0.3,那么P(A+B)=(

)A.0.6

B.0.4C.0.2 D.0.03答案

B解析

∵事件A,B是互斥事件,且P(A)=0.1,P(B)=0.3,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4三、對立事件的概率名師點(diǎn)析

若A與B互為對立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對立.微練習(xí)事件A與B是對立事件,且P(A)=0.2,則P(B)=

.

答案

0.8解析

因?yàn)锳與B是對立事件,所以P(A)+P(B)=1,即P(B)=1-P(A)=0.8.探究一互斥、互為對立事件的判斷例1判斷下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是對立事件,并說明理由.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.分析根據(jù)互斥事件、對立事件的定義來判斷.解

(1)是互斥事件.理由是在所選的2名同學(xué)中,“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)是選出“1名男生和1名女生”,它與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生,所以是互斥事件.不是對立事件.理由是當(dāng)選出的2名同學(xué)都是女生時,這兩個事件都沒有發(fā)生,所以不是對立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”這兩種結(jié)果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”這兩種結(jié)果,當(dāng)選出的是1名男生、1名女生時,它們同時發(fā)生.這兩個事件也不是對立事件.理由是這兩個事件能同時發(fā)生,所以不是對立事件.(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”這兩種結(jié)果,它與“全是女生”不可能同時發(fā)生.是對立事件.這兩個事件不能同時發(fā)生,且必有一個發(fā)生,所以是對立事件.反思感悟

1.判斷互斥事件和對立事件時,主要用定義來判斷.當(dāng)兩個事件不能同時發(fā)生時,這兩個事件是互斥事件;當(dāng)兩個事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生時,這兩個事件是對立事件.2.當(dāng)事件的構(gòu)成比較復(fù)雜時,可借助于集合的思想方法進(jìn)行互斥事件、對立事件的判定.延伸探究

在本例中,若從中任選3名同學(xué)呢?試分析問題(1)(2)的兩個事件之間的關(guān)系.解

(1)是互斥事件.理由是在所選的3名同學(xué)中“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)是選出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”實(shí)質(zhì)是選出“2名男生和1名女生”,顯然兩個事件不能同時發(fā)生,是互斥事件;兩個事件不是對立事件,因?yàn)楫?dāng)選出“3名男生”時,兩個事件可以同時不發(fā)生.綜上,兩個事件是互斥事件,但不是對立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三種結(jié)果;“至少有1名女生”則包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,顯然兩個事件可以同時發(fā)生,所以不是互斥事件,更不是對立事件.探究二互斥事件概率加法公式的應(yīng)用要點(diǎn)筆記

(1)公式P(A∪B)=P(A)+P(B),只有當(dāng)A,B兩事件互斥時才能使用,如果A,B不互斥,就不能應(yīng)用這一公式;(2)解決本題的關(guān)鍵是正確理解“A∪B”的意義.變式訓(xùn)練1在某一時期內(nèi),一條河流某處的年最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下表:計(jì)算在同一時期內(nèi),這條河流這一處的年最高水位(單位:m)在下列范圍內(nèi)的概率:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18).年最高水位(單位:m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)概率0.10.280.380.160.08解

記該河流這一處的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)分別為事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)的概率分別為0.82,0.38,0.24.探究三對立事件概率公式的應(yīng)用例3甲、乙兩人下棋,和棋的概率為,乙獲勝的概率為,求:(1)甲獲勝的概率;(2)甲不輸?shù)母怕?要點(diǎn)筆記

對立事件也是比較重要的事件,利用對立事件的概率公式求解時,必須準(zhǔn)確判斷兩個事件確實(shí)是對立事件時才能應(yīng)用.變式訓(xùn)練2袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1個,從中每次任取1個,有放回地抽取3次,求:(1)3個球顏色全相同的概率;(2)3個球顏色不全相同的概率.

素養(yǎng)形成思想方法——用逆向思維方法處理概率問題典例

甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有5個不同的題目.其中,選擇題3個,判斷題2個,甲、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題,另一個抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?解

把3個選擇題記為x1,x2,x3,2個判斷題記為p1,p2.用y1,y2分別表示甲、乙抽到的題目,則數(shù)組(y1,y2)可表示樣本點(diǎn).樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為20.設(shè)A=“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”,則A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6種;B=“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”,則B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共6種;C=“甲、乙都抽到判斷題”,則D={(p1,p2),(p2,p1)},共2種.方法點(diǎn)睛

在求解復(fù)雜的事件的概率時,通常有兩種方法,一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的對立事件的概率,再利用P(A)=1-P()來得出原問題的解,特別是在涉及“至多”或“至少”問題時,常常用此思維模式.這種處理問題的方法稱為逆向思維,有時能起到事半功倍的效果.

當(dāng)堂檢測1.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(

)A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7答案

C解析

∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.2.從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取兩球,下列情況中是互斥但不對立的兩個事件是(

)A.至少有一個紅球,至少有一個白球B.恰有一個紅球,都是白球C.至少有一個紅球,都是白球D.至多有一個紅球,都是紅球答案

B解析

對于A,“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球,“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球,故兩事件可能同時發(fā)生,所以不是互斥事件;對于B,“恰有一個紅球”,則另一個必是白球,與“都是白球”是互斥事件,而任取兩個球還有都是紅球的情形,故兩事件不是對立事件;對于C,“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白,與“都是白球”顯然是對立事件;對于D,“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白,與“都是紅球”是對立事件.3.若事件A,B滿足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,則P(B)=

.

答案

0.74.從集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個,若這個子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,則該子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是

.

5.口袋中裝有100個大小相同的紅球、白球、黑球,其中紅球45個,從口袋中摸出一個球,摸出白球的概率是0.23,則摸出黑球的概率是

.

答案

0.32解析

∵摸出紅球的概率P==0.45,∴摸出黑球的概率為1-0.45-0.23=0.32.高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊第15章概率15.3互斥事件和獨(dú)立事件第2課時獨(dú)立事件課標(biāo)闡釋1.理解相互獨(dú)立事件的意義,弄清事件“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個不同的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能夠綜合運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式解決一些較簡單的相關(guān)概率計(jì)算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,提高學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸的能力.(邏輯推理)思維脈絡(luò)【激趣誘思】常言道:“三個臭皮匠頂個諸葛亮.”怎樣從數(shù)學(xué)上來解釋呢?將問題具體化:假如對某事件諸葛亮想出計(jì)謀的概率為0.88,三個臭皮匠甲、乙、丙想出計(jì)謀的概率各為0.6,0.5,0.5.那這三個臭皮匠能勝過諸葛亮嗎?【知識梳理】

一、相互獨(dú)立事件一般地,對于兩個隨機(jī)事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么稱A,B為相互獨(dú)立事件.這兩種描述是等價(jià)的名師點(diǎn)析

(1)A,B為相互獨(dú)立事件也可以認(rèn)為A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率;微思考不可能事件與任何一個事件相互獨(dú)立嗎?必然事件與任何一個事件相互獨(dú)立嗎?提示

(1)相互獨(dú)立.因?yàn)椴豢赡苁录陌l(fā)生對任何一個事件的發(fā)生沒有影響.(2)相互獨(dú)立.必然事件的發(fā)生對任何一個事件的發(fā)生沒有影響.微練習(xí)甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊,設(shè)事件A=“甲擊中目標(biāo)”,事件B=“乙擊中目標(biāo)”,則事件A與事件B(

)A.相互獨(dú)立但不互斥

B.互斥但不相互獨(dú)立C.相互獨(dú)立且互斥

D.既不相互獨(dú)立也不互斥答案

A解析

對同一目標(biāo)射擊,甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的,所以事件A與事件B相互獨(dú)立;對同一目標(biāo)射擊,甲、乙兩射手可能同時擊中目標(biāo),也就是說事件A與事件B可能同時發(fā)生,所以事件A與事件B不是互斥事件.二、獨(dú)立事件的推廣獨(dú)立事件可以推廣到n個事件的情形(n∈N,n>2).一般地,如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

可以說成A1,A2,…,An任意兩個事件彼此獨(dú)立

微練習(xí)答案

C探究一相互獨(dú)立事件的判斷例1從一副撲克牌(除去大小王,共52張)中任抽一張,設(shè)A=“抽到K”,B=“抽得紅牌(方塊和紅桃)”,判斷:事件A與B是否相互獨(dú)立?是否互斥?是否對立?為什么?技巧方法

兩種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性(1)定義法:直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法:檢驗(yàn)P(AB)=P(A)P(B)是否成立.變式訓(xùn)練1擲一枚正方體骰子一次,設(shè)事件A:“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,事件B:“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則事件A,B的關(guān)系是(

)A.互斥但不相互獨(dú)立 B.相互獨(dú)立但不互斥C.互斥且相互獨(dú)立 D.既不相互獨(dú)立也不互斥答案

B探究二相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率例2(2021浙江溫州期末)本著健康、低碳的生活,租共享電動自行車出行的人越來越多,某共享電動自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)2元(20分鐘及以內(nèi)),超過20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元(不足10分鐘的部分按10分鐘計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙、丙三人來該租車點(diǎn)租車是相互獨(dú)立的(各租一車一次),設(shè)甲、乙、丙不超過20分鐘還車的概率分別為,20分鐘以上且不超過30分鐘還車的概率分別為,三人租車時間都不會超過40分鐘.(1)求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用不完全相同的概率;(2)求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為10元的概率.要點(diǎn)筆記

解決此類問題要明確互斥事件和相互獨(dú)立事件的意義,若A,B相互獨(dú)立,則

也是相互獨(dú)立的,代入相互獨(dú)立事件的概率公式求解.(1)答案

B解析

由比分可知甲需勝3局,輸1局,且甲第四局勝,第1局或第2局輸,故在比分為24∶24平且甲隊(duì)發(fā)球的情況下,甲隊(duì)以27∶25贏下比賽的概率為探究三相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用例3小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.反思感悟

明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.一般地,已知兩個事件A,B,它們的概率分別為P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A+B.(2)A,B都發(fā)生為事件AB.延伸探究

在例3中條件不變,試求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.變式訓(xùn)練3某機(jī)械廠制造一種汽車零件,已知甲機(jī)床的正品率是0.96,乙機(jī)床的次品率是0.05,現(xiàn)從它們制造的產(chǎn)品中各任意抽取一件,試求:(1)兩件產(chǎn)品都是正品的概率;(2)恰有一件是正品的概率;(3)至少有一件是正品的概率.

素養(yǎng)形成思想方法——概率問題中的數(shù)學(xué)思想典例

在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān),只要其中有1個開關(guān)能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)閉合的概率都是0.7,計(jì)算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率.分析該線路是并聯(lián)電路,當(dāng)且僅當(dāng)三個開關(guān)都不閉合時,線路才不通,故本題可采用對立事件求解.解

分別記這段時間內(nèi)開關(guān)JA,JB,JC能夠閉合為事件A,B,C.由題意知,這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響.根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的乘法公式,得這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概率是方法點(diǎn)睛

概率