6.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

6.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理考法一分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期中）完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，6+4=10.故選：B.【一隅三反】1．（2023秋·廣東佛山）5名同學(xué)去聽同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個(gè)講座，且甲乙聽同一個(gè)講座，則不同選擇的種數(shù)是．【答案】【解析】根據(jù)題意，把甲乙看成一個(gè)同學(xué)，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同選擇的種類是．故答案為：.2．（2023·北京）一項(xiàng)工作可以用兩種方法完成．有5人只會(huì)用第一種方法完成，另有4人只會(huì)用第二種方法完成．從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，共有多少種不同的選法？【答案】【解析】利用第一種方法有：種，利用第二種方法有：種．故共有：種方法完成工作．3．（2023·云南）音樂播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任選一首歌曲進(jìn)行播放，有多少種不同的選法？【答案】【解析】依題意一共有種選法.考法二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例21】（2023春·新疆烏魯木齊）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，每個(gè)人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.故選：B.【例22】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【解析】由題意，可知每一人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種.故選：C．【一隅三反】1．（2023春·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）“聲東擊西”是游擊戰(zhàn)爭的一種戰(zhàn)術(shù)：聲東可以擊東、南、西、北中的任意一個(gè)方向，以此靈活地打擊或消滅敵人.同樣還有“聲南擊北”等不同的戰(zhàn)術(shù)，由此可知這類戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為（

）A．16 B．12 C．4 D．3【答案】A【解析】根據(jù)題意，聲的情況有4種，擊的情況也有4種，所以這類戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為.故選：A.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．196【答案】C【解析】按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。谝徊?，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為.故選：C.3．（2023·湖南）某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會(huì)，現(xiàn)要從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出若干人來主持這場晚會(huì)（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？(2)如果需要教師、男同學(xué)和女同學(xué)各一人共同主持，共有多少種不同的選法？【答案】(1)12(2)【解析】（1）從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出一人主持晚會(huì)，結(jié)果可分為3類：第一類，選一名教師主持，有3種選法；第二類，選一名男同學(xué)主持，有4種選法；第三類，選一名女同學(xué)主持，有5種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法．（2）從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中各選出一人共同主持晚會(huì)，可分3步：第一步，選出一名教師，有3種選法；第二步，選出一名男同學(xué)，有4種選法；第三步，選出一名女同學(xué)，有5種選法，以上3個(gè)步驟依次完成后，事情才算完成．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法．考法三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合運(yùn)用【例3】（2023秋·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計(jì)，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.【一隅三反】1．（2023春·陜西榆林·高二?？计谥校┤鐖D所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有，，，，五個(gè)水閘，若上游有充足的水源但下游沒有水，則這五個(gè)水閘打開或關(guān)閉的情況有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】①水閘關(guān)閉時(shí)，滿足要求，此時(shí)打開或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有種情況，②若水閘打開時(shí)，同時(shí)關(guān)閉時(shí)，滿足要求，此時(shí)打開或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有種情況，③若水閘打開時(shí)，同時(shí)關(guān)閉時(shí)，滿足要求，此時(shí)打開或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有種情況，上面②③兩種情況有重復(fù)的1種情況，就是水閘打開，同時(shí)關(guān)閉的情況，故共有種情況.故選：B2．（2023春·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球每個(gè)球有不同編號(hào)，現(xiàn)從中取出2個(gè)球．(1)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)題意分2類完成任務(wù)：第一類：白球紅球各一個(gè)有種，第二類：均為白球，種，所以共有種；（2）根據(jù)題意分2類完成任務(wù)：第一類：均為白球，種，第二類：均為紅球，種，所以共有種．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．那么，從甲地到丁地，如果每條路至多走一次，且每個(gè)地點(diǎn)至多經(jīng)過一次，有多少種不同的走法？【答案】種【解析】從甲地到丁地的走法可以分成兩類：第一類：從甲地經(jīng)由乙地到丁地．這類走法可以分成兩個(gè)步驟：先從甲地到乙地，有2種走法；再從乙地到丁地，有3種走法．根據(jù)乘法原理，這一類走法的種數(shù)為．第二類：從甲地經(jīng)由丙地到丁地．這類走法可以分成兩個(gè)步驟：先從甲地到丙地，有4種走法；再從丙地到丁地，有2種走法．根據(jù)乘法原理，這一類走法的種數(shù)為．根據(jù)加法原理，從甲地到丁地共有種不同的走法．考法四數(shù)字型【例4】（2023湖南）用0，1，…，9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的數(shù)?(1)三位整數(shù);(2)無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù);(3)小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù);(4)小于100的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).【答案】(1)900(2)648(3)288(4)91【解析】（1）百位上有9種選擇，十位和個(gè)位各有10種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是9×10×10=900.（2）由于數(shù)字不可重復(fù)，可知百位數(shù)字有9種選擇，十位數(shù)字也有9種選擇，但個(gè)位數(shù)字僅有8種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是9×9×8=648.（3）百位數(shù)字只有4種選擇，十位數(shù)字有9種選擇，個(gè)位數(shù)字有8種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是4×9×8=288.（4）小于100的自然數(shù)可以分為一位和兩位自然數(shù)兩類.一位自然數(shù):10個(gè).兩位自然數(shù):十位數(shù)字有9種選擇，個(gè)位數(shù)字也有9種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是9×9=81.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是10+81=91.【一隅三反】1．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）由0，1，2，3，5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（

）．A．42個(gè) B．48個(gè) C．54個(gè) D．120個(gè)【答案】A【解析】若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，則有種情形；若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個(gè)位置有種情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得種情形．由分類計(jì)數(shù)原理可得所有無重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A．2．（2023春·上海）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字．(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？【答案】(1)125(2)100(3)30(4)36【解析】（1）三位數(shù)字的號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有(個(gè))．（2）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有(個(gè))．（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有(種)排法，因此有(種)排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．（4）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1，3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，從1，2，3，4中除去用過的一個(gè)，從剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步計(jì)數(shù)原理知共有(個(gè))．4．（2023春·浙江寧波·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）用0，1，2，3，，9這十個(gè)數(shù)字.(1)可組成多少個(gè)三位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)可組成多少個(gè)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】(1)900；(2)648；(3)379.【解析】（1）要確定一個(gè)三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；第三步，確定個(gè)位數(shù)，有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種.（2）要確定一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).（3）由已知，小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類，第一類，滿足條件的一位自然數(shù)：有10個(gè)，第二類，滿足條件的兩位自然數(shù)：有個(gè)，第三類，滿足條件的三位自然數(shù)：第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1，2，3，4，有4種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有，共有379個(gè)小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).考法五涂色【例51】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【解析】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜彛来斡貌煌念伾可?，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.【例52】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（

）A．240 B．300C．420 D．480【答案】C【解析】以S→A→B→C→D的順序分步染色．第1步，對(duì)S點(diǎn)染色，有5種方法．第2步，對(duì)A點(diǎn)染色，A與S在同一條棱上，有4種方法．第3步，對(duì)B點(diǎn)染色，B與S，A分別在同一條棱上，有3種方法．第4步，對(duì)C點(diǎn)染色，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類．當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420種．故選：C．【一隅三反】1．（2023春·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個(gè)廣場布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種【答案】C【解析】如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)與布置相同的花卉時(shí)，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有5種不同的選擇；再安排，有4種不同的選擇；最后安排，有4種不同的選擇，共有種.當(dāng)與布置不同的花卉時(shí)，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有種不同的選擇；再安排,有3種不同的選擇；最后安排，有3種不同的選擇，共有種.所以不同的布置方案有種.故選：C2．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法的有(

)種A．540 B．360 C．300 D．420【答案】D【解析】分兩種情況討論即可：(i)②和④涂同種顏色時(shí)，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有1種涂法，③有3種涂法，⑤有3種涂法，∴此時(shí)有5×4×1×3×3＝180種涂法；(ii)②和④涂不同種顏色時(shí)，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有3種涂法，③有2種涂法，⑤有2種涂法，∴此時(shí)有5×4×3×2×2＝240種涂法；∴總共有180＋240＝420種涂色方法．故選：D﹒3．（2023·湖北）如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（）A．192 B．420 C．210 D．72【答案】B【解析】按照的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，由分步計(jì)數(shù)原理有種不同的染色方法；第二類，A，C不同色，由分步計(jì)數(shù)原理有種不同的染色方法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的染色方法.故選：B.一、單選題1．（2022春·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┈F(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種【答案】D【解析】除100元人民幣以外的3張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去5張人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.2（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【解析】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故選：B.3．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)【答案】B【解析】分4步進(jìn)行分析：①對(duì)于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對(duì)于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;

③對(duì)于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對(duì)于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：B4．（2024·安徽）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種【答案】C【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色.先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有6種選擇.故不同的涂色方案有種.故選：C5．（2022春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個(gè)位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤表示整數(shù)51）.若撥動(dòng)圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】B【解析】撥動(dòng)兩枚算珠可分為以下三類（1）在個(gè)位上撥動(dòng)兩枚，可表示2個(gè)不同整數(shù).（2）同理在十位上撥動(dòng)兩枚，可表示2個(gè)不同整數(shù).（3）在個(gè)位、十位上分別撥動(dòng)一枚，由分步乘法計(jì)數(shù)原理易得，可表示個(gè)不同整數(shù).所以，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一共可表示個(gè)不同整數(shù).故選：B.6．（2023·廣東梅州）用標(biāo)有1克，5克，10克的砝碼各一個(gè)，在一架無刻度的天平上稱量重物，如果天平兩端均可放置砝碼，那么可以稱出的不同克數(shù)（正整數(shù)的重物）有多少種?（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】①當(dāng)天平的一端放1個(gè)砝碼，另一端不放砝碼時(shí)，可以成量重物的克數(shù)有1克，5克，10克；②當(dāng)天平的一端放2個(gè)砝碼，另一端不放砝碼時(shí)，可以成量重物的克數(shù)有克，克，克；③當(dāng)天平的一端放3個(gè)砝碼，另一端不放砝碼時(shí)，可以成量重物的克數(shù)有克④當(dāng)天平的一端放1個(gè)砝碼，另一端也放1個(gè)砝碼時(shí)，可以成量重物的克數(shù)有克，克，克；⑤當(dāng)天平的一端放1個(gè)砝碼，另一端也放2個(gè)砝碼時(shí)，可以成量重物的克數(shù)有克，克，克；去掉重復(fù)的克數(shù)后，可稱重物的克數(shù)有10種，故選：A7.（2023福建）若、，，，且，則平面上的點(diǎn)共有（

）．A．21個(gè) B．20個(gè) C．28個(gè) D．30個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)題意，可取的值為，當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共7種；當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共6種；當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共5種；當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共4種；當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共3種；當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共2種；當(dāng)時(shí)，由題意可知可取的值為，共1種；則平面上的點(diǎn)共有個(gè)，故選：C8.（2023·福建廈門）元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種【答案】B【解析】解法1：設(shè)四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，當(dāng)A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時(shí)有三種不同的分配方式；同理，A拿c，d時(shí)也各有三種不同的分配方式，由分類加法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡共有（種）分配方式；解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，如果A先拿，有3種，此時(shí)被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，接下來，剩下的兩個(gè)人都各只有1種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．故選：B.二、多選題9．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）下列正確的是（

）A．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個(gè)三位密碼D．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)【答案】ACD【解析】由數(shù)字1，2，3，4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個(gè)，故A正確；若三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位可以是2，4，則共有沒有重復(fù)數(shù)字有個(gè)，故B錯(cuò)誤；數(shù)字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個(gè)，故C正確；若三位數(shù)比320大，則百位是4時(shí)，有個(gè)，若百位是3，則十位可以是2，3，4時(shí)，個(gè)位可以是1，2，3，4，共有個(gè)，則比320大的三位數(shù)有個(gè)，故D正確．故選：ACD．10.（2023·廣東佛山）現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有種選法，故A正確；選項(xiàng)B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，故共有種選法，故B正確；選項(xiàng)C，分兩步：第一步選老師，第二步選學(xué)生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；選項(xiàng)D，若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有13種不同選法，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．（2022春·廣東湛江·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)字，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個(gè)C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個(gè)D．組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個(gè)【答案】AB【解析】對(duì)A：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，其他數(shù)位有5種情況，則組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，在剩下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)，排在后面3個(gè)數(shù)位，有種情況，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：若0在個(gè)位，有個(gè)四位偶數(shù)，若0不在個(gè)位，有個(gè)四位偶數(shù)，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有個(gè)四位偶數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個(gè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB.12．（2023春·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）如圖，用種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，若同色，共有48種涂法C．當(dāng)時(shí)，若不同色，共有48種涂法D．當(dāng)時(shí)，總的涂色方法有420種【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由于區(qū)域與均相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，此時(shí)按照的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有種涂法，涂時(shí)，由于同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，涂有種，當(dāng)不同色（D只有一種顏色可選），此時(shí)四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂只能用與同色，此時(shí)共有24種涂法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，此時(shí)按照的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有種涂法，涂時(shí)，當(dāng)同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與同色的顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，當(dāng)不同色，此時(shí)四塊區(qū)域所用顏色各不相同，共有，只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂此時(shí)共有種涂法，綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，故選：ABD三、填空題13．（2024·北京）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.【答案】72【解析】觀察圖形知，2區(qū)與4區(qū)不相鄰，3區(qū)與5區(qū)不相鄰，且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色，因此計(jì)算涂色方法可用3色和4色，使用3種顏色，則2區(qū)與4區(qū)同色，3區(qū)與5區(qū)必同色，涂2區(qū)與4區(qū)有4種方法，涂3區(qū)與5區(qū)有3種方法，涂1區(qū)有2種方法，則涂色方法有（種）；使用4種顏色，選取同色的方案有2種，涂同色的兩塊有4種方法，涂另外3塊依次有3，2，1種方法，則涂色方法有（種），所以不同的涂色方法共有（種）.故答案為：7214．（2022春·山東煙臺(tái)·高二萊州市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，要給地圖上、、、四個(gè)區(qū)域分別涂上種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有種．【答案】48【解析】方法一：按的順序分步涂色．第1步，涂區(qū)域，有種不同的涂法；第2步，涂區(qū)域，從剩下的種顏色中任選種顏色，有種不同的涂法；第3步，涂區(qū)域，再從剩下的種不同顏色中任選種顏色，有種不同的涂法；第4步，涂區(qū)域，從與、區(qū)域不同的種不同顏色中任選種，有種不同的涂法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的涂法；方法二：按所用顏色的多少分類涂色．第1類：用三種顏色，則、區(qū)域所涂顏色相同，有種不同的涂法；第2類：用四種顏色，有種不同的涂法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的涂法．故答案為：.15．（2024·江蘇）用5種不同的顏色給如圖標(biāo)有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，且相鄰（有公共邊）兩部分不同顏色，則不同的涂色方法共有.【答案】【解析】當(dāng)B，D兩部分顏色相同時(shí)，先涂B，D兩部分，有5種選擇，再分別涂A，C均有4種選擇，故共種情況；當(dāng)B，D兩部分顏色不相同時(shí)，先涂B，D兩部分，有種選擇，再分別涂A，C均有3種選擇，故共種情況；故總共有種情況.故答案為：16．（2023春·湖北十堰·高二校考階段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有種（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】如圖，用表示個(gè)區(qū)域，分4步進(jìn)行分析：①，對(duì)于區(qū)域，有5種顏色可選；②，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；③，對(duì)于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；④，對(duì)于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有3種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，則不同的涂色方案有種.故答案為：.解答題17．（2023·廣西）某市的有線電視可以接收中央臺(tái)12個(gè)頻道、本地臺(tái)10個(gè)頻道和其他省市46個(gè)頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？(2)如果有3個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？【答案】(1)68(2)66【解析】（1）當(dāng)所有頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)選看的節(jié)目可分為3類：第一類，選看中央臺(tái)頻道的節(jié)目，有12個(gè)不同的節(jié)目；第二類，選看本地臺(tái)頻道的節(jié)目，有10個(gè)不同的節(jié)目；第三類，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個(gè)不同的節(jié)目．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看個(gè)不同的節(jié)目．（2）因?yàn)橛?個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，即這3個(gè)頻道轉(zhuǎn)播的節(jié)目只有1個(gè)，而其余頻道共有個(gè)正在播放互不相同的節(jié)目，所以一臺(tái)電視機(jī)共可以選看個(gè)不同的節(jié)目．18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．(1)從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？(2)從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？(3)從這些書中取不同科目的書共兩本，有多少種不同的取法？【答案】(1)14(2)90(3)63【解析】（1）由于書架上有本書，則從中任取一本，共有14種不同的取法.（2）由題意分步完成，第一步：取任取一本數(shù)學(xué)書，有3種取法；第二步：取任取一本語文書，有5種取法；第三步：取任取一本英語書，有6種取法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種不同的取法.（3）取兩本不同科目的數(shù)，可以分三種情況：①一本數(shù)學(xué)書和一本語文書，有種情況；②一本數(shù)學(xué)書和一本英語書，有種情況；③一本語文書和一本英語書，有種情況；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種情況.19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在300和800之間，有多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？【答案】176【解析】一個(gè)三位奇數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字必是奇數(shù)，且因?yàn)椴辉试S有重復(fù)數(shù)字出現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)奇數(shù)字（1、3、5、7、9）作為個(gè)位數(shù)時(shí)，它就不能作為百位數(shù)．所以符合條件的數(shù)可以按百位上的數(shù)字是奇數(shù)或偶數(shù)分成兩類：第一類：百位上的數(shù)字是偶數(shù)．這樣的三位數(shù)可以由以下三個(gè)步驟確定：第一步，百位上的數(shù)字從4和6中任選一個(gè)，有2種選法；第二步，個(gè)位上的數(shù)字從1、3、5、7、9中任選一個(gè)，有5種選法；第三步，十位上的數(shù)字從余下的8個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有8種選法．根據(jù)乘法原理，這一類奇數(shù)的個(gè)數(shù)為．第二類：百位上的數(shù)字是奇數(shù)．這樣的三位數(shù)可以由以下三個(gè)步驟確定：第一步，百位上的數(shù)字從3、5、7中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，個(gè)位上的數(shù)字從余下的4個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)，有4種選法；第三步，十位上的數(shù)字從余下的8個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有8種選法．根據(jù)乘法原理，這一類奇數(shù)的個(gè)數(shù)為．根據(jù)加法原理，在300和800之間共有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)．20．（2023秋·山東臨沂·高二校考階段練習(xí)）