河北省承德市部分高中2024屆高三上學(xué)期12月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省承德市部分高中2024屆高三上學(xué)期12月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：A.2.已知正方體為下底面的中心，為棱的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.直線與直線所成角為 B.直線與直線所成角為C.直線平面 D.直線與底面所成角為〖答案〗C〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，因?yàn)槭钦切?，故直線與直線所成角為，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，又，面，故，而平面，故面，所以直線，故與直線所成角為，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：同選項(xiàng)A結(jié)合正方體的性質(zhì)可知直線與AC不垂直，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由平面可知直線與底面所成角為，＝，故D正確.故選：C.3.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋裕?所以.故選：A.4.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B5.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，圓錐的高分別為和，側(cè)面積分別為和，若，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)都為，底面半徑分別為、，側(cè)面展開圖的圓心角分別為、，則，則，故，即有，，，即，同理，即，故.故選：D.6.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，若關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后為，由關(guān)于軸對(duì)稱，即有，解得，又，故的最小值為.故選：C.7.設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因，則，，兩式相減可得：，即，又因?yàn)?，所以，所以，故A，B錯(cuò)誤；，故C正確；因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，因此，即，即，又，所以函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，即恰有兩個(gè)解，即恰有兩個(gè)解，記函數(shù)，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值也是最大值為，作出的大致圖象如下：所以恰有兩個(gè)解，則，故，故選：A.二、選擇題9.已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：過m作平面交平面于l，如下圖，因?yàn)椋詍//l，而，所以，而，故，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：舉反例如下圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，符合題目條件，但不成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：舉反例如上圖，，但此時(shí)m//n，選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，由線面平行的性質(zhì)定理可得，D正確；故選：AD10.已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；D選項(xiàng)，時(shí)，，故，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為.若，且，則（）A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)C.有最大值 D.沒有極值〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，，故恒成立；當(dāng)時(shí)，，，，，故恒成立.所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.故選：AD.12.已知數(shù)列滿足，，則（）A.數(shù)列單調(diào)遞減 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A選項(xiàng)：由，，則，依次類推可得當(dāng)時(shí)，有，故，故數(shù)列單調(diào)遞減，即A正確；對(duì)B選項(xiàng)：由，則，由，當(dāng)時(shí)，，故，即，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：，則，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)：由，故，即，故有，，，，累加有，即，故，，故，即有，又，故當(dāng)時(shí)，，，，，又，累加有，，即，即，故，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知，，則_____________．〖答案〗〖解析〗由可知，則，則，故〖答案〗為：.14.河北省正定縣的須彌塔是中國(guó)建筑寶庫(kù)的珍貴遺產(chǎn)，是我國(guó)建筑之精品，是中國(guó)古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證．一名身高的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為_____________m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）〖答案〗42〖解析〗如圖，，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，所以，其中，故，又，且，所以，又該同學(xué)身高，所以塔高約為.故〖答案〗為：42.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為_____________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為．故〖答案〗為：16.如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動(dòng)點(diǎn)，且，則滿足條件的所有點(diǎn)圍成的幾何體的體積為________；若動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則線段長(zhǎng)的最小值為___________．〖答案〗〖解析〗由可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的球面，所以圍成的球的體積為，過作，由，則由等面積法可得,由于在直三棱柱中，平面平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，均為，又，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的球與側(cè)面的截面圓，該截面圓的半徑為,圓心為,且滿足，因此點(diǎn)的最小距離為，故，故〖答案〗為：，四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若平面經(jīng)過點(diǎn)，且與棱交于點(diǎn)．請(qǐng)作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．（1）證明：連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面平面，所以平面．（2）解：如圖，過作直線與平行，則，故共面．延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．因?yàn)榈酌媸钦叫?，是的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，所以．19.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）若，，求的面積；（2）求的最小值，并求出此時(shí)的大小．解：（1）由題意得，因?yàn)椋?，故，又，所以．因?yàn)?、是的?nèi)角，所以為鈍角，所以，所以，所以是等腰三角形，則，所以．（2）由（1）可知，在中，，即為鈍角，則，因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，結(jié)合為鈍角，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是5，此時(shí)．20.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿足，證明：．（1）解：，所以，令，得．當(dāng)時(shí)，；；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，；；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，．不妨設(shè)，則．令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增．因，所以存在，使得，且，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以得證．21.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：；（2）在上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以．?）解：設(shè)，則為正方形的中心，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若平面平面，平面平面，平面平面，所以．因?yàn)?、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)，所以，所以，，又是的中點(diǎn)，所以，所以，所以．故上存在一點(diǎn)，使平面平面，此時(shí)值為．22.